利用平移坐標軸法巧解方形波電場問題

在兩個相互平行的金屬板間加周期性交變電壓時,兩板間便可獲得交變電場。此類電場的電場強度的大小、方向都可以隨時間周期性變化。交變電壓波形有方形波、鋸齒波、正弦波等。由鋸齒波和正弦波等電壓產生的交變電場,因帶電粒子穿過電場的時間遠遠小于電場變化的周期,故可認為在任一時間內電場不變。帶電粒子在由方形波電壓產生的交變電場中運動時,若通過全面分析粒子的受力特點和運動規律,抓住粒子的運動具有周期性和在空間上具有對稱性的特征,根據力和運動的關系、牛頓第二定律及運動學規律或功能關系,求解粒子運動過程中的速度、位移、電場力做功或確定與物理過程相關的邊界條件,則較為煩瑣,若采用由v-t圖像法延伸出的平移坐標軸法,則可以快速、準確地得出結果。

圖1

例題如圖1(a)所示平行正對的金屬板A、B間加有如圖1(b)所示的交變電壓,一重力可忽略不計的帶正電粒子,被固定在兩板的正中間P處。已知粒子的質量為m、電荷量為q、交變電壓大小為U0、周期為T、兩板板間距為d。

(1)若在t=0 時刻由靜止釋放該粒子,求粒子在一個周期T內的位移(粒子在一個周期T內未打到金屬板上)。

(2)若在某時刻由靜止釋放該粒子,粒子會先向B板運動,再向A板運動,并最終打在A板上,求該時刻的取值范圍。

圖2

解析：(1)t=0時刻由靜止釋放該粒子,粒子先向右做加速運動,后向右做減速運動畫出粒子在兩個周期內的v-t圖像,如圖2所示,則圖像兩橫軸圍成的面積等于粒子向右運動的距離,即

(2)某時刻由靜止釋放該粒子,粒子先向B板運動,則要求粒子開始運動時刻的電壓為正;粒子再向A板運動,則要求粒子先向右減速至零再反向加速;粒子最終打在A板上,則要求向右運動的位移大小小于向左運動的位移大小,即t軸上方面積小于下方面積。

圖3

圖4

解法一(v-t圖像法)：在圖2的基礎上加畫在時刻由靜止釋放粒子的v-t圖像,如圖3所示,則在時刻進入電場的粒子的v-t圖像中t軸上方面積等于下方面積。同理畫出在不同時刻由靜止釋放的粒子的v-t圖像,如圖4所示,觀察圖4可知,在時間內某時刻進入電場的粒子先向B板運動。綜合圖3和圖4可知,在時間內某時刻進入電場的粒子的v-t圖像中t軸上方面積小于下方面積。考慮周期性,則滿足題意的時刻范圍為nT(n=0,1,2,…)。

解法二(平移坐標軸法)：根據(1)問中畫出的在t=0時刻進入電場的粒子v-t圖像,通過平移坐標軸(將坐標原點移動至粒子進入的時刻),找到需要在時間內滿足t軸上方面積小于下方面積的時刻,其臨界值是t軸上方面積等于下方面積的時刻。

圖5

圖6

圖7