萬有引力定律的分析與應(yīng)用

考情分析：萬有引力定律的相關(guān)內(nèi)容在近幾年的高考中幾乎都有涉及,且多數(shù)出現(xiàn)在與人造衛(wèi)星及航天知識相聯(lián)系的綜合題目里。預(yù)測在今后的高考中,萬有定律與牛頓第二定律、圓周運動等綜合在一起出題的概率還會增加,且與實際問題、現(xiàn)代科技相聯(lián)系的內(nèi)容也會有所增多。

一、應(yīng)用萬有引力定律的兩種特殊思維方法

1.補償法(運用“補償法”解題的關(guān)鍵是緊扣規(guī)律適用的條件,先填補后運算)。

圖1

例1如圖1 所示,一質(zhì)量為M的球形物體,密度均勻,半徑為R,在距球心為2R處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點,若將球體挖去一個半徑為的小球(兩球心和質(zhì)點在同一直線上,且挖去的小球的球心O2在原來球心O1和質(zhì)點連線的中間,兩球表面相切),求剩余部分對質(zhì)點的萬有引力的大小。

解析：萬有引力定律公式適用于求兩質(zhì)點間的萬有引力,為滿足萬有引力定律的適用條件,可應(yīng)用“等效填補法”,先將被挖去的部分補上。小球未被挖去時,大球?qū)|(zhì)點的萬有引力,由體積公式可知,被挖去的小球的質(zhì)量M'=,它在被挖去前對質(zhì)點的萬有引力F2=。因此小球被挖去后剩余部分對質(zhì)點的萬有引力

2.比例法(可利用萬有引力定律直接求比值,也可以先先求出某一物理量的比值,再利用萬有引力相關(guān)公式求其他物理量的比值)。

例2火星的半徑為地球半徑的一半,火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的,那么地球表面質(zhì)量為50kg的人受到地球的萬有引力約為火星表面同質(zhì)量物體受到火星萬有引力的多少倍?

解析：設(shè)火星質(zhì)量為M1,地球質(zhì)量為M2,火星半徑為R1,地球半徑為R2,由萬有引力定律可知

二、常見的三種估算題型

1.根據(jù)已知量估算“中心天體質(zhì)量”。

此類題型的已知量一般為圍繞中心天體運動的星體的公轉(zhuǎn)周期、軌跡半徑等,根據(jù)這些已知量一般可估算出中心天體的質(zhì)量,比如已知月地距離和月亮繞地球的公轉(zhuǎn)周期,可估算出地球的質(zhì)量;已知日地距離和地球繞太陽的公轉(zhuǎn)周期,可估算出太陽的質(zhì)量。需要注意的是求出的是中心天體的質(zhì)量,而不是繞其運動的星體的質(zhì)量。

例3我們把地球繞太陽的公轉(zhuǎn)看成是勻速圓周運動,運行軌道平均半徑為1.5×108km,已知引力常量G= 6.67 ×10-11N·m2/kg2,則可估算出太陽的質(zhì)量大約是多少? (結(jié)果取一位有效數(shù)字)

解析：地球繞太陽的公轉(zhuǎn)周期為365天,即T=365×24×3600s=3.154×107s,萬有引力提供地球繞太陽做勻速圓周運動所需的向心力,則1030kg。

2.根據(jù)“黃金代換式”計算。

一般情況下,星球表面物體的重力近似等于星球?qū)ξ矬w的萬有引力,則mg=習(xí)慣上,我們稱公式GM=gR2為“黃金代換式”。

(1)若題目中已知g、R,即相當(dāng)于知道了GM,則根據(jù)星體運動規(guī)律可求解其他物理量。

例4已知地球表面重力加速度為g,地球半徑為R,求地球同步衛(wèi)星離地面的高度h。

解析：地面上質(zhì)量為m的物體其重力等于地球?qū)λ娜f有引力,則。地球同