直線與圓錐曲線相交過定點問題的統(tǒng)一性質

《數(shù)學教學》2010年10月刊登有夏新橋老師的《讀刊有感——引領學生跨越思維障礙》,給出了解答問題的關鍵,如何利用坐標法簡化解答,突破思維障礙,獲得“完美”解答,讀來頗是受益。筆者從該問題的另一角度思考探究,得出直線與圓錐曲線過定點問題的一些性質,并從幾何特征出發(fā)獲得該問題的一般解法。

原題過橢圓x2+2y2=2右焦點F的直線與橢圓相交于A,B兩點,經過點B與x軸平行的直線交右準線于C點,求證：直線AC過一定點。

性質1：過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于A,B兩點,經過點B與x軸平行的直線交右準線于B'點,F'為準線與x軸的交點,則AB'過FF'的中點。

圖1

證明：當AB∥l時,結論顯然成立。當不平行時,如圖1所示。設直線AB的方程為x=my+c,點A,B的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則設G為FF'的中點,則有聯(lián)立直線與橢圓的方程得消去x,可得b2(my+c)2+a2y2-a2b2=0,化簡得(b2m2+a2)y2+2b2mcy-b4=0。所以y1+,所以kAG=,把x1=my1+c代入kAG,得kAG=kAG-kB'G=-=②。

把①代入②得kAG-kB'G=0,即kAG=kB'G,則A,B',G三點共線,所以G為AB'的中點,即AB'過FF'的中點。

圓錐曲線中橢圓具有的性質,雙曲線和拋物線有嗎? 經筆者認真探索,于是有：

性質2：過雙曲線=1(a＞0,b＞0)右焦點F的直線與雙曲線相交于A,B兩點,經過點B與x軸平行的直線交右準線l：于點B',準線與x軸的交點為F',則AB'過FF'的中點。

此性質仿照性質1 的證明即可完成,此處略。

性質3：過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,經過點B作平行于拋物線對稱軸的直線AB交準線l：于點B',準線與x軸的交點為F',則AB'過FF'的中點(即為拋物線的頂點)。(證明略)