一道數學模擬題的命制歷程與反思

在中學數學中考查平面幾何的綜合運用試題,常以三角形或四邊形為載體,考查角度或線段長度的計算、線段的位置關系和數量關系、動點問題的最值、特殊三角形的存在性等。下面將一道數學競賽題改編為中等難度的幾何綜合運用題,來談談對平面幾何題目命制的感悟。

圖1

競賽原題：如圖1 所示,在三角形ABC中,AB=AC,D是BC的中點,點E在射線AC上運動,連接ED,作∠EDF=∠BAC,且點F滿足DE=DF,G是AB的中點,直線FG,AC交于點H,證明：BH⊥AC。

圖2

改編題：如圖2 所示,在三角形ABC中,AB=AC,D是BC的中點,點E在射線AC上運動,連接ED,作∠EDF= ∠BAC,且點F滿足DE=DF,BH垂直AC于點H,直線FH,AB交于點G。

(1)證明：BC·EF=2CH·DF。

(2)若AH=3,CH=1,求線段AG的長度。

圖3

(3)如圖3所示,在(2)的條件下,過點C作GH的平行線交AB于點J,求的最大值。

命制過程：改編題雖然來源于競賽題,但也只采用了競賽題中兩個等腰三角形的位置,即把等腰三角形EDF的頂角放在等腰三角形ABC底邊的中點。經過研究我們發現點E在射線AC上運動時,點F的軌跡在腰AB的中點與腰AC邊上的垂足所連成的直線上,在這個基礎上設置了三小問。其中(1)問是為了讓考生不那么容易地猜到哪兩個三角形相似,利用中點考查了四條線段的2 倍關系。(2)問由AH=3,CH=1,就能求等腰三角形ABC的腰長和底邊的長,當一個等腰三角形的腰和底的比值定了,這個三角形的形狀就確定了,利用(1)問的結果,考生比較容易想到旋轉全等,可以得到較多相等的角,進而慢慢推導,找到解題思路。(3)問考查最值,過點C作GH的平行線交AB于點J,易知EJ-DE有最大值。基于(3)問命題目的是拉開分差,命題者設置了門檻,要求考生的最大值,因為EF,所以最終呈現出的是求的最大值。

解題思路：

(1)證明△CDH相似于△EDF。

(2)先證明△EDC≌△FDH,得到∠DCE=∠DHF,所以∠DCE-∠DHC=∠DHF-∠DHC,即∠CDH=∠CHF,由于△ABC～△DEF～△DCH,得∠CDH=∠BAC。利用對頂角相等轉化,證得∠GAH=∠AHG,所以AG=GH。又由BH⊥AC,得到AG=BG=GH,因為AB=4,所以AG=2。

(3)用勾股定理算出AB=4,BC=2 2,得到AB∶BC= 2,由△ABC～△DEF～△DCH,得到DE∶EF= 2,因此,由三角形兩邊之差小于第三邊,得到EJ-DE＜DJ。當點E運動到直線DJ與射線AC的交點時,EJ-DE=DJ,因此由CJ平行GH,求出過點J作JM垂直BC于點M,用相似或三角函數算出JM=放在Rt△DJM,用勾股定理求出DJ,則