三個二次巧轉化,數學問題妙求解

一元二次不等式與其對應的二次函數、一元二次方程三者之間存在著密切的聯系。同學們在解決相應的數學問題時,要充分注意三個“二次”之間的相互聯系,并在一定條件下可以相互轉換與應用。數形結合思想是解決二次方程、二次函數和二次不等式問題中的重要數學思想之一,具體解題時,要充分利用圖像的直觀性反映相應問題的本質,重視用函數觀點處理相應的方程或不等式問題。

1.二次方程的轉化

在解決二次方程的根的存在、根所在的區間等問題時,利用二次方程所對應的二次函數的圖像與性質來轉化,綜合相應不等式(組)的求解來達到分析與求解的目的。

例1已知關于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0有兩個根x1,x2,其中x1∈(-1,0),x2∈(1,2),求m的取值范圍。

解析：設f(x)=x2+2mx+2m+1,根據題意,畫出示意圖如圖1 所示,由圖可得,m滿足不等式組解得

圖1

2.二次函數的轉化

同學們在解決二次函數的解析式、確定二次函數的圖像等問題時,可把問題轉化為與之相關的方程根的分布問題、不等式的求解問題,結合數形結合思想,通過函數、方程與不等式之間的相互關系,巧妙轉化,達到求解的目的。

例2已知二次函數f(x)=mx2-2mx-1(m≠0),若 對 于x∈[1,3],函 數f(x)的圖像恒在y=-2m+4的下方,求實數m的取值范圍。

解析：由題意可知f(x)＜-2m+4 在[1,3]上恒成立,則mx2-2mx+2m-5＜0,即m(x-1)2+m-5＜0 在x∈[1,3]上恒成立。令g(x)=m(x-1)2+m-5,x∈[1,3]。

當m＞0 時,g(x)在[1,3]上是增函數,所以g(x)max=g(3)=5m-5＜0,解得m＜1,則0＜m＜1;

當m＜0 時,g(x)在[1,3]上是減函數,所以g(x)max=g(1)=m-5＜0,解得m＜5,結合條件可得m＜0。

綜上可知,實數m的取值范圍是{m|m＜0 或0＜m＜1}。

3.二次不等式的轉化

對于一元二次不等式的恒成立問題,往往根據相應的二次函數圖像與x軸的交點情況來確定對應的判別式的符號,以及結合一元二次方程的根、判別式公式等來轉化,進而解決相應的恒成立問題。

例3試問是否存在實數m,對x∈R,不等式mx2-2x-m+2＜0 恒成立? 若存在,則求出實數m的取值范圍;若不存在,請說明理由。

解析：若不等式mx2-2x-m+2＜0恒成立,則知函數f(x)=mx2-2x-m+2的圖像全部在x軸的下方。當m=0時,原不等式可化為2-2x＜0,解得x＞1,不滿足題意x∈R;當m≠0時,此時函數f(x)=mx2-2x-m+2為二次函數,則需滿足二次函數的圖像開口向下且相應的二次方程mx2-2x-m+2=0無解,則有此不等式組的解集為空集,即m無解。綜上可知,不存在這樣的實數m使得不等式mx2-2x-m+2＜0恒成立。