一道合情推理的三角恒等式變式的探究

1.變式呈現(xiàn)

試題：觀察下列等式：

2.證法探究

證明：設(shè)A0,A1,…,An-1是復(fù)平面單位圓上的n個(gè)等分點(diǎn),有…,n-1)。與A0,A1,…,An-1對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z0,z1,…,zk-1是方程zn-1=0的n個(gè)根,顯然有(z-z0)(z-z1)(z-z2)·…·(zzn-1)=zn-1。當(dāng)z≠z0時(shí)有(z-z1)(z-在上式中,令z→z0,并利用洛必達(dá)法則,就得到|z0-z1||z0-z2|·…·|z0-zn-1|=

3.觸類旁通

那么對(duì)于其他的三角恒等式的三角函數(shù)有沒(méi)有類似①式的恒等式呢? 經(jīng)探究有如下結(jié)論

證明：由①可知有上面兩式相除,就得到

證明：設(shè)由③可知所以

4.進(jìn)一步探究

以上各個(gè)恒等式左邊的角的分母都是奇數(shù),那么當(dāng)分母為偶數(shù)時(shí),會(huì)有什么樣的結(jié)果呢? 筆者對(duì)此進(jìn)行探索,給出

證明：由②可知有

例如：當(dāng)n=1時(shí),有當(dāng)n=2時(shí),有當(dāng)n=3 時(shí),有當(dāng)n=4 時(shí),有當(dāng)n=5時(shí),有

證明：設(shè)由①可知所以

證明： 由⑥可知

證明：由④可知有

利用以上方法及上述三角恒等式,還可以得到更多的相關(guān)三角恒等式,有興趣的讀者可繼續(xù)研究。