利用30°角構造三角形外心解題

30°角作為數學中一個非常常見而又簡單的特殊角,其有著特殊的性質。筆者通過對近幾年平面幾何中含30°角(或能構造出30°角)的試題的研究,發現很多試題可以用統一的解法來解答,即本文所介紹的構造內角為30°的三角形的外心,利用三角形外心的性質解決問題。

1.求角問題

例1如圖1 所示,已知點P在△ABC內,滿足∠ABP=20°,∠PBC=10°,∠ACP=20°和∠PCB=30°,則∠CAP為多少度?

解：如 圖1 所 示,取△BCP的外心為點O,連接OB,OC,OP,則∠BOP=2∠BCP=60°,從而△BOP為正三角形。由題意得∠CBO=∠ACB=50°,所以OB∥AC。又易得∠BAC=∠OCA=100°,于是梯形BOCA為等腰梯形。因此BA=OC=OB=BP,從而∠BAP=80°,故∠CAP=20°。

注：本題也可證△ABP≌△COP。

圖2

2.證明線段相等問題

例2如圖2 所示,已知△ABC中,BA=BC,∠ABC=80°,∠BCD=20°,∠CAD=10°。求 證：AB=AD。

證明：如圖2 所示,取△ACD的外心為點O,連接OA,OB,OC,OD。由題意得∠ACD=30°,所以∠AOD=2∠ACD=60°,從而△AOD為正三角形。由BA=BC,OA=OC易知OB垂直平分AC,于是因為∠OAC=∠OAD-∠CAD=50°,所以∠AOB=40°,故AB=AO=AD。

注：本題也可以由∠OAC=50°易知四邊形OABC為菱形得證,或由∠OAC=50°證明△ABC≌△AOC來求證。

3.證明等式問題

圖3

例3(《中等數學》2009年第4期初248題)如圖3所示,在△ABC中,AD為內角平分線,∠ADC=60°,點E在AD上,滿足DE=DB,射線CE交AB于點F。求證：AF·AB+CD·CB=AC2。

證明：如圖3所示,取△BCE的外心為點O,連接OC,OE,連接DO并延長交AB于點G。因為∠EDC=60°,DE=DB,所以∠EOC=2∠EBC=60°,從而E,O,D,C四點共圓。于是∠EDO=60°,進而有△ADC≌△ADG,所以DC=DG。又易知∠BDG=60°=∠EDC,所以△BDG≌△EDC,于是∠DEC=∠DBG,故B,D,E,F四點共圓。因為S△ABD-S△BDG=S△ACD,所以BD·ADBD·CD=AD·CD,故AF·AB+CD·CB=AE·AD+CD·CB=(AD-BD)·AD+CD·(CD+BD)=AD2-BD·AD+CD2+BD·CD=AD2-AD·CD+CD2=AC2。

4.其他問題

圖4

例4如圖4所示,已知D是△ABC的AC邊上一點,AD∶DC= 2∶1,∠C=45°,∠ADB=60°。求證：AB是△BCD的外接圓的切線。

證明：如圖4所示,在BD上取點E使得∠DAE=30°。設△ADE的外心為點O,則O為AD的中點。連接OE,CE,顯然△ODE為正三角形。因為AD=2DC,∠ADB=60°,所以ED=OE=OA=CD。又∠AOE=∠CDE=120°,從而△DCE≌△OAE,于是EA=EC。又由∠C=45°得∠EBC=∠ECB=15°,所以EB=EC=EA。因此∠ABD=45°=∠C,故AB是△BCD的外接圓的切線。