基于增量諧波平衡法的含時(shí)滯半主動(dòng)懸架的動(dòng)力學(xué)分析

屈文濤，郝宇軒，徐劍波，呂 曌

(西安石油大學(xué)，陜西 西安 710065)

0 引 言

車(chē)輛懸架作為車(chē)身與車(chē)輪間的傳力連接裝置，對(duì)乘坐的舒適性和行駛安全性有重要影響。半主動(dòng)懸架能夠在一定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)阻尼，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，工作時(shí)幾乎不消耗車(chē)輛動(dòng)力[1-2]，成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)。雖然半主動(dòng)懸架系統(tǒng)有較好的綜合控制效果，但系統(tǒng)內(nèi)時(shí)滯因素是始終存在且不可避免的，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)失去穩(wěn)定性。時(shí)滯因素主要包括：由傳導(dǎo)線和A/D、D/A轉(zhuǎn)換裝置產(chǎn)生的傳輸時(shí)滯、振動(dòng)結(jié)構(gòu)的阻尼時(shí)滯和控制器建立控制引起的計(jì)算時(shí)滯等[3]。因此半主動(dòng)懸架動(dòng)力學(xué)特性的深入研究有助于時(shí)滯控制技術(shù)的開(kāi)發(fā)，合理有效地利用時(shí)滯帶來(lái)的影響。

當(dāng)前針對(duì)半主動(dòng)懸架動(dòng)力學(xué)特性的研究已開(kāi)展一定的研究工作，文獻(xiàn)[4]采用改進(jìn)的平均法研究非線性懸架系統(tǒng)的解析解，并與數(shù)值積分結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。增量諧波平衡法(Incremental harmonic balance method，簡(jiǎn)稱IHB法)最早由Lau等將增量法與諧波平衡法結(jié)合提出的一種半數(shù)值半解析方法，能以很高的精度研究非線性系統(tǒng)的振動(dòng)分析[5]。蔡銘等[6]將增量諧波平衡法應(yīng)用于求解多自由度機(jī)翼的顫振問(wèn)題，為解決多自由度強(qiáng)非線性系統(tǒng)的自激振動(dòng)提供新途徑。劉上等[7]應(yīng)用增量諧波平衡法研究流量調(diào)節(jié)器系統(tǒng)在入口壓力擾動(dòng)下的強(qiáng)迫振蕩問(wèn)題，其結(jié)果與數(shù)值積分結(jié)果良好吻合。已有的研究表明增量諧波平衡法在處理非線性系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)，但應(yīng)用在含時(shí)滯因素的懸架非線性系統(tǒng)的研究并沒(méi)有。汽車(chē)懸架系統(tǒng)作為復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)時(shí)滯因素的疊加效應(yīng)影響著系統(tǒng)的穩(wěn)定性，嚴(yán)重時(shí)會(huì)出現(xiàn)輪跳現(xiàn)象等懸架失穩(wěn)問(wèn)題。將增量諧波平衡法應(yīng)用于含時(shí)滯半主動(dòng)懸架系統(tǒng)，一方面可以為求解懸架非線性系統(tǒng)的振動(dòng)分析提供新的途徑，另一方面便于得到解的表達(dá)式，可靈活選擇控制參數(shù)同時(shí)保持高精度。

1 含時(shí)滯懸架系統(tǒng)模型

半主動(dòng)懸架作為控制阻尼力可變的自反饋控制系統(tǒng)，控制策略采用天棚阻尼控制，但在實(shí)際系統(tǒng)控制中，由于信號(hào)采集傳輸?shù)娇刂茊卧治鎏幚磉M(jìn)而作動(dòng)器作出反應(yīng)，時(shí)滯因素的疊加效應(yīng)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制效果。因此，考慮時(shí)滯因素和非線性阻尼因素，建立1/4車(chē)輛懸架系統(tǒng)的模型，如圖1所示，其中：zs和zu分別為簧載質(zhì)量與非簧載質(zhì)量的垂向位移，ms和mu分別為簧載質(zhì)量與非簧載質(zhì)量，k1、k2、k3分別為非線性懸架彈簧剛度的一次、二次、三次擬合系數(shù)，cs為基值阻尼系數(shù)，ck為可控阻尼減振器的阻尼系數(shù)，q為路面垂向激勵(lì)，q=sinωt，B為激勵(lì)幅值，ω為激勵(lì)頻率。

圖1 兩自由度含時(shí)滯懸架模型

根據(jù)達(dá)朗貝爾定理建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：

(1)

實(shí)際反饋控制系統(tǒng)可變阻尼力的控制規(guī)律是：

(2)

令x=zs，y=zs-zu，將式(2)帶入式(1)后寫(xiě)成矩陣形式：

(3)

2 增量諧波平衡過(guò)程

(4)

設(shè)X0和ω0表示某一時(shí)刻的解，則其臨近狀態(tài)可表示為增量形式：

X=X0+ΔX，ω=ω0+Δω

(5)

將式(5)代入式(4)，展開(kāi)并省略其中高階小量得：

(6)

將精確解和增量解傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)：

(7)

=CsΔAj

(8)

令S=diag[CsCs]，A=[A1A2]T，ΔA=[ΔA1ΔA2]T，diag表示取對(duì)角線元素，Cs=[1 cosτcos 2τ… cos nτsinτsin 2τ… sin nτ]T，Cs=[1 cosτcos 2τ… cos nτsinτsin 2τ… sin nτ]T。應(yīng)用伽遼金法(Galerkin)將增量方程式(6)左乘δ(ΔX)T，并對(duì)τ在[0,2π]上積分，得到以精確解X0和增量ΔX為未知量的方程組：

KmcΔA=R-RmcΔω

Kmc=ω02M+ω0C(1)+ω0C(2)+K(1)+

2K(21)+3K(31)

R=P(1)-[ω02M+ω0C(1)+ω0C(2)+K(1)+

K(21)+K(31)]A

(9)

其中：

Rmc=[2ω0M+C(1)+C(2)]A

3 數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證IBH法求解系統(tǒng)近似解析解的精確性，需要通過(guò)數(shù)值方法對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解驗(yàn)證。由于非線性方程組難以直接進(jìn)行求解，因此利用龍格庫(kù)塔(Runge-Kutta)迭代計(jì)算求解方程(3)。通過(guò)MATLAB仿真計(jì)算得到圖2，路面激勵(lì)幅值B=0.025 m，激勵(lì)頻率ω=5.0 Hz。其中，實(shí)線部分是采用增諧波平衡法進(jìn)行分析的仿真結(jié)果，虛線部分是四階龍格庫(kù)塔法處理的仿真結(jié)果。通過(guò)對(duì)比可看出兩種曲線的吻合較好，從而驗(yàn)證了通過(guò)增量諧波平衡法得到的近似解析解具有良好的精度。

圖2 系統(tǒng)的位移響應(yīng)對(duì)比

4 仿真過(guò)程

汽車(chē)行駛時(shí)影響舒適性的因素主要是由路面不平度引起的，其中舒適性是指駕駛員和乘員對(duì)汽車(chē)振動(dòng)的適應(yīng)程度。Smith[8]驗(yàn)證了加速度均方根值作為舒適性評(píng)價(jià)參考的合理性，加速度均方根值越小說(shuō)明舒適性越好，因此簧載質(zhì)量的加速度均方根值大小能客觀地反應(yīng)路面激勵(lì)對(duì)舒適性的影響程度。參考路面不平度狀況和人體對(duì)振動(dòng)的敏感頻率范圍，仿真中路面激勵(lì)頻率為0～10 Hz，路面激勵(lì)幅值為0.01～0.10 m。

圖3 不同時(shí)滯因素下系統(tǒng)的加速度響應(yīng)曲線

取B=0.070 m，ω=6 Hz，以時(shí)滯ε作為控制參數(shù)，作出不同時(shí)滯狀態(tài)下的系統(tǒng)的加速度響應(yīng)曲線如圖3。時(shí)滯是影響舒適性的因素，時(shí)滯因素的改變不僅影響運(yùn)動(dòng)幅值也影響運(yùn)動(dòng)周期。不同時(shí)滯狀態(tài)時(shí)系統(tǒng)的加速度均方根值分別為：0.002 9、0.002 4、0.003 5，ε=0.25時(shí)系統(tǒng)的加速度均方根值最小。由圖4可看出，當(dāng)懸架系統(tǒng)參數(shù)一定時(shí)，隨著時(shí)滯量的增大，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)幅值呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)，系統(tǒng)保持穩(wěn)定作周期運(yùn)動(dòng)。因此，當(dāng)時(shí)滯ε=0.25時(shí)系統(tǒng)的加速度均方根值和幅值最小，懸架有更好的衰減振動(dòng)的能力和舒適性。

圖4 不同時(shí)滯因素下系統(tǒng)的幅值響應(yīng)曲線

圖5 不同時(shí)滯因素下系統(tǒng)的相平面圖

懸架系統(tǒng)存在的時(shí)滯因素也會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可通過(guò)相平面法分析其對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響[9]。圖5(a)、(b)為不同時(shí)滯狀態(tài)下系統(tǒng)的相平面圖。通過(guò)對(duì)無(wú)時(shí)滯和有時(shí)滯狀態(tài)下幅值影響曲線對(duì)比，不考慮時(shí)滯因素，系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)，但考慮時(shí)滯因素的影響后，小時(shí)滯范圍內(nèi)系統(tǒng)是擬周期運(yùn)動(dòng)的。圖5(a)可知ε=0.55時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)確實(shí)呈擬周期性，系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定。但在超出一定范圍后，由5(b)可看出當(dāng)ε=0.95時(shí)系統(tǒng)遠(yuǎn)離穩(wěn)定區(qū)域處于雜亂無(wú)章且無(wú)規(guī)則的混沌運(yùn)動(dòng)，不穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)使得車(chē)身處于高頻變化的垂向運(yùn)動(dòng)行為，進(jìn)而影響汽車(chē)的舒適性乃至對(duì)行駛安全造成威脅。

5 結(jié) 論

考慮時(shí)滯和非線性阻尼因素，建立了二自由度含時(shí)滯半主動(dòng)懸架的動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)增量諧波平衡法展開(kāi)得到系統(tǒng)的近似周期解，與數(shù)值法對(duì)比驗(yàn)證增量諧波平衡法的準(zhǔn)確性。通過(guò)對(duì)有時(shí)滯和無(wú)時(shí)滯因素的系統(tǒng)響應(yīng)分析與對(duì)比，不考慮時(shí)滯因素的系統(tǒng)是周期運(yùn)動(dòng)的；考慮時(shí)滯因素的系統(tǒng)幅值隨著時(shí)滯增大呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)，其中ε=0.25時(shí)系統(tǒng)的加速度均方根值和幅值最小，懸架有更好的衰減振動(dòng)的能力和舒適性。小范圍內(nèi)時(shí)滯的存在確實(shí)能減少系統(tǒng)的幅值響應(yīng)，對(duì)舒適性的提高起到促進(jìn)作用。此外還通過(guò)相平面圖對(duì)懸架系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析。懸架系統(tǒng)的舒適性受到時(shí)滯因素的影響且對(duì)系統(tǒng)時(shí)滯的變化敏感，結(jié)論對(duì)系統(tǒng)時(shí)滯控制策略的研究具有參考價(jià)值。