帶有時間約束的再入滑翔軌跡設(shè)計

韓嘉俊, 王小虎, 郝 昀, 張后軍

(1. 北京機電工程總體設(shè)計部，北京 100854； 2. 中國航天科工集團有限公司第二研究院，北京 100854； 3. 北京控制與電子技術(shù)研究所，北京 100038)

0 引 言

近年來，對臨近空間飛行器的研究投入的資源越來越多，而其中滑翔式飛行器作為其中的代表更是受到了廣泛的關(guān)注。其具有飛行距離遠、速度快、機動能力強等特點，諸多優(yōu)點使得該類飛行器執(zhí)行特定飛行任務(wù)成為了可能。時至今日，針對特定任務(wù)的飛行約束越來越多，諸如為滿足探測需求，必要的地理約束則須被考慮在內(nèi)。在此方面，各國學者已經(jīng)開展了大量學術(shù)研究，如文獻[1]中提出了在復(fù)雜約束條件下，一種帶有禁飛區(qū)約束的再入滑翔軌跡在線快速規(guī)劃算法。

然而，現(xiàn)階段單飛行器的任務(wù)能力提高已進入瓶頸期。所以，多飛行器協(xié)同問題已成為國內(nèi)外研究的熱點，而作為其中的關(guān)鍵研究方向，帶有時間約束的軌跡設(shè)計受到了國內(nèi)外學者的重點關(guān)注。而在此類問題的研究中，剩余飛行時間的估計成為了研究的關(guān)鍵。一方面，一些學者著重于設(shè)計對時間估計誤差不敏感的制導(dǎo)律，如文獻[2]。而在文獻[3]在研究具有落角約束的末制導(dǎo)律過程中，重點分析了剩余飛行時間估計誤差對制導(dǎo)精度的影響。另一方面，現(xiàn)階段時間估計方法大都采用剩余航程與近似飛行速度比值進行估計，而不同的導(dǎo)引方法對以上二者均有較大影響，因此部分學者針對不同制導(dǎo)律研究了剩余時間的高精度估計方法。文獻[4]針對傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引法(Proportional navigation guidance, PNG)提出了一種剩余飛行時間估計方法，根據(jù)該導(dǎo)引方法特性，在導(dǎo)引末段，軌跡近似于直線，估計較為準確，并且對初始航向角偏差為0的條件下，針對最優(yōu)制導(dǎo)律推導(dǎo)了其一般剩余時間估計方法。文獻[5]在此基礎(chǔ)上，進一步對PNG方法進行了改進，提出了一種帶有剩余時間估計并結(jié)合IACG(Impact angle constrained guidance)的制導(dǎo)方法——ITACG，同時考慮了飛行時間與落角約束。更進一步地，文獻[6]中提出了彈目視線平均速度法估計剩余飛行時間。上述方法均為末制導(dǎo)剩余時間估計方法設(shè)計，此段飛行距離、時間較短，可以將研究對象視為勻速運動或者加速度恒定。而對滑翔飛行器的再入過程，其非線性特性較強，上述方法均難以直接應(yīng)用。因此，部分學者采用了滑模控制方法解決此類問題，如文獻[7]中，將該類問題轉(zhuǎn)化為設(shè)計給定時間的飛行軌跡控制器來解決。相似地，文獻[8]中，設(shè)計了滿足落角和飛行時間約束的末制導(dǎo)方法，文獻[8]是基于傳統(tǒng)終端滑模的滑模導(dǎo)引律只保證有限時間收斂。然而，在大多數(shù)實際制導(dǎo)應(yīng)用中，在均勻有限時間內(nèi)快速收斂到所需的落角是非常重要的。也就是說，閉環(huán)收斂時間可以通過制導(dǎo)參數(shù)先驗估計。文獻[9]設(shè)計了一種新的自適應(yīng)快速固定時間滑模導(dǎo)引律，該導(dǎo)引律可以從任意初始航向角以理想的沖擊角截獲機動目標，并解決了系統(tǒng)抖振問題。在采用滑模控制方法解決飛行時間約束方面，文獻[10]設(shè)計了一種時變滑模面，針對靜止或機動幅度較小的目標，做了攔截效果分析。文獻[11]中討論了脫靶情況下距離未知或丟失時,利用導(dǎo)引頭測得的角度和角速度信息預(yù)測剩余飛行時間以及其它參數(shù)。以上方法，均為針對末制導(dǎo)段的導(dǎo)引方法設(shè)計，其均假設(shè)飛行器速度或者加速度恒定，并且末制導(dǎo)段飛行距離較短，都為飛行時間的估計帶來了方便。對于飛行環(huán)境更為復(fù)雜，飛行距離更長，飛行速度變化劇烈的滑翔段開展的研究較少，而滑翔段軌跡對于特定飛行任務(wù)完成起到至關(guān)重要的作用。

文獻[12]提出一種彈道參數(shù)的解析估算方法，該方法從能量的角度出發(fā)，利用準平衡滑翔條件建立滑翔射程和飛行時間的解析估算公式；在此基礎(chǔ)上定量地分析研究升阻比、初始速度等彈道參數(shù)對滑翔射程和時間的影響規(guī)律；同時在理論上分析了最小能量橢圓彈道的射程和飛行時間特性。文獻[13]采用將升力系數(shù)分解的思路獲得了滑翔段高度及射程、彈道偏角、經(jīng)度、緯度和速度的解析解。為實現(xiàn)在線快速進行彈道規(guī)劃奠定了基礎(chǔ)。

文獻[14]設(shè)計了一種非線性飛行控制和非線性狀態(tài)觀測器，將飛行時間控制問題轉(zhuǎn)化為非線性最優(yōu)控制問題，通過攝動過程近似求解相關(guān)的哈密頓—雅可比貝爾曼方程，設(shè)計了一個閉式最優(yōu)控制律。進而提出了一種基于虛擬目標的多飛行器協(xié)同攻擊制導(dǎo)方法。但其研究模型為帶有推進動力，速度可控的飛行器，其控制方法具有一定的局限性。文獻[15]提出了一種基于態(tài)勢評估的多飛行器協(xié)同攻擊多目標任務(wù)決策方法,研究了基于D-S證據(jù)理論的態(tài)勢評估數(shù)學模型和基于博弈論的任務(wù)決策數(shù)學模型，但是并未提出具體導(dǎo)引方法。

在軌跡協(xié)同設(shè)計方面，文獻[16]復(fù)雜動態(tài)環(huán)境下勻速率多無人飛行器的動態(tài)障礙規(guī)避問題,針對此類問題的不等式約束引入松弛變量并結(jié)合滑模變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計松弛變量動力學實現(xiàn)對一個或多個或同時多個動態(tài)障礙的安全規(guī)避。文獻[17]設(shè)計了一種分布式一體化協(xié)同制導(dǎo)與控制律，保證從彈在位置和速度上協(xié)同一致地趨近于期望空間構(gòu)型并使得從彈有和領(lǐng)彈近乎相同的攻擊角度。文獻[18]針對吸氣式高超聲速飛行器突防問題，提出了以終端橫縱向位置偏差最大和控制能量最小為性能指標，基于優(yōu)化模型預(yù)測靜態(tài)規(guī)劃算法。在滿足控制輸入飽和限制情況下得出了飛行器的突防軌跡，通過對控制輸入和期望終端狀態(tài)偏差權(quán)重矩陣的自適應(yīng)調(diào)整，保證了飛行器控制輸入飽和限制情況下的收斂速度，有效增強了不同初始設(shè)置和約束情況下的收斂魯棒性。

基于上述考慮，本文開展了帶有時間約束的滑翔軌跡設(shè)計研究。首先，將再入模型合理簡化并對再入軌跡進行分段。而后，推導(dǎo)了剩余飛行時間與剩余航程的解析估算式，采用預(yù)測校正的思想，在滑翔段確定傾側(cè)角翻轉(zhuǎn)時機與幅值大小。通過時間調(diào)整段與能量管理段配合滿足滑翔段飛行時間約束與交班點狀態(tài)要求。最后，通過數(shù)學仿真校驗了本文算法的有效性與魯棒性。

1 問題描述與分析

1.1 再入運動學模型

假設(shè)地球為靜止圓球模型，描述飛行器運動狀態(tài)的變量包括地心距r、經(jīng)度λ、地心緯度φ、速度大小V、當?shù)厮俣葍A角θ、航跡偏角σ、攻角α以及傾側(cè)角υ。以時間t為自變量的高超聲速滑翔飛行器運動方程為：

(1)

式中：g=μ/r2為地球引力加速度，μ為地球引力常數(shù)；而L，D分別為升力加速度和阻力加速度的大小，即：

(2)

(3)

且二者滿足關(guān)系：

(4)

式中:M為飛行器質(zhì)量；Sr為參考面積；CL,CD為升力系數(shù)和阻力系數(shù)，通常為攻角α和飛行器馬赫數(shù)Ma的函數(shù)；ρ為大氣密度，有：

(5)

式中:Hs=7110 m,ρ0=1.225 kg/m3，H為飛行器飛行高度。

1.2 再入軌跡分段設(shè)計

本文將再入軌跡分為如圖1所示各段。AB段為初始下降段，在此階段以較大攻角與0傾側(cè)角飛行，保證飛行器盡快進入再入飛行走廊，同時給后續(xù)飛行時間留有足夠的調(diào)節(jié)余量。BC段為拉起段，使得飛行器平穩(wěn)過渡至滑翔段并朝向目標飛行。CE段為準平衡滑翔段，其中，CD段為時間調(diào)整段，在滑翔末段DE段，本文采取能量管理方法，滿足終端約束要求。EF為下壓段，飛行器轉(zhuǎn)入末制導(dǎo)階段。本文主要針對AE段進行設(shè)計。

圖1 再入軌跡分段示意圖Fig.1 Gliding trajectory segmentation

綜上，針對本文研究帶有時間約束的滑翔段軌跡設(shè)計問題可以描述為，滿足各項過程約束的前提下，在滑翔末端(E點)滿足位置、高度以及速度大小約束以及飛行時間約束，即λE=λc，φE=φc，hE=hc，VE=Vc，tE=tc。其中，(λc,φc,hc,Vc,tc)為要求末端約束狀態(tài)。

2 再入段制導(dǎo)律設(shè)計

首先，在速度系中構(gòu)建以下運動學方程：

(6)

(7)

2.1 初始下降段制導(dǎo)律設(shè)計

在再入滑翔過程中，飛行器在臨近空間長時間高速飛行，借鑒航天飛機再入攻角剖面的設(shè)計經(jīng)驗。在初始段以大攻角飛行，可以減輕熱防護的負擔，盡快進入再入飛行走廊。所以本階段導(dǎo)引律為：

αc=αmax，υc=0

(8)

2.2 拉起段制導(dǎo)律設(shè)計

該階段導(dǎo)引任務(wù)為：將飛行器平穩(wěn)過渡至平衡滑翔段，并使飛行器朝向目標飛行，因此，需要分別構(gòu)建縱向與側(cè)向制導(dǎo)律。

根據(jù)本文飛行器飛行特性，在拉起段，攻角α=α0，由此，可以得到：

(9)

結(jié)合式(1)及準平衡滑翔條件，可以得到：

(10)

由此，可以得到期望高度變化率為：

(11)

(12)

結(jié)合式(5)，可以得到：

(13)

將式(13)代入式(12)，可以得到：

(14)

為了消除飛行器飛行過程中所產(chǎn)生的長周期震蕩，使飛行器的軌跡傾角變化率小，實現(xiàn)平穩(wěn)滑翔引入了高度變化反饋。結(jié)合式(9)，可以得到縱向?qū)б蔀椋?/p>

(15)

2.3 滑翔段制導(dǎo)律設(shè)計

為了完成帶有時間約束的滑翔段制導(dǎo)律設(shè)計，需要對剩余時間有較為準確的估計。因此，本節(jié)首先根據(jù)準平衡滑翔條件推導(dǎo)剩余時間表達式，同時，以剩余待飛距離為指標，對滑翔末段進行能量管理，采用預(yù)測—校正方法可以得到本段到導(dǎo)引律。

由于飛行器高度H遠小于地球半徑Re，即r/Re≈1,結(jié)合式(1)可以得到：

(16)

即：

(17)

對上式兩邊進行積分，得到：

(18)

由此，可以得到剩余飛行時間的解析估算表達式為：

(19)

下面進行剩余航程解析估算式推導(dǎo)。由式(1)得到：

(20)

結(jié)合式(17)，可以得到：

(21)

同樣地，對上式進行積分，可以得到：

(22)

由此，可以得到剩余航程的估算表達式：

(23)

結(jié)合式(19)以及式(23)，可以得到：

(24)

(25)

將式(24)代入式(25)可以得到：

(26)

(27)

(28)

2.4 能量管理段制導(dǎo)律設(shè)計

本段導(dǎo)引任務(wù)為：根據(jù)先前解析預(yù)測末速度與滿足時間約束末速度比較，在本段通過改變傾側(cè)角幅值與大小，消耗多余能量，從而滿足終端約束。與上節(jié)類似，首先確定傾側(cè)角大小，而后通過側(cè)向邊界確定調(diào)整傾側(cè)角符號。

(29)

根據(jù)上式，需要的傾側(cè)角可以通過下式計算：

(30)

(31)

3 仿真校驗

為了驗證本文時間制導(dǎo)律效果，首先在理想情況下，選取了3組初始再入條件不同的飛行器進行仿真比較。而后在第3.2節(jié)中，給出存在大氣密度偏差、氣動系數(shù)偏差、以及再入質(zhì)量偏差等條件下本文算法仿真計算結(jié)果，進一步驗證本文算法的導(dǎo)引效果。

3.1 算例一

本算例中主要校驗不同初始狀態(tài)條件下，本文方法導(dǎo)引效果。初始點經(jīng)緯高分別為(0°，12.2°，80 km)，(-0.12°，12.0°，80 km)，(0°，12.1°，80 km)。目標點為(0°，53.4°，32.5 km)，初始速度大小分別為6000 m/s，6080 m/s，5920 m/s。初始彈道傾角為-3°，初始方位角為0°，要求飛行時間為1235 s，末速度大小為1450 m/s。

仿真結(jié)果如圖2所示：

圖2 高度隨時間變化曲線Fig.2 Altitude vs time

圖3 經(jīng)度隨時間變化曲線Fig.3 Longitude vs time

圖4 滑翔全段緯度隨時間變化曲線(0～1235 s)Fig.4 Latitude vs time (0～1235 s)

圖5 緯度隨時間變化局部曲線(430～510 s)Fig.5 Latitude vs time(430～510 s)

圖6 緯度隨時間變化局部曲線(1129～1132 s)Fig.6 Latitude vs time(1129～1132 s)

圖7 攻角隨時間變化曲線Fig.7 Attack angle vs time

圖8 傾側(cè)角隨時間變化曲線Fig.8 Bank angle vs time

導(dǎo)引結(jié)果如表1所示：

表1 本文方法導(dǎo)引結(jié)果Table 1 Guidance results

以上仿真結(jié)果表明,圖2,7表明為了快速進入飛行走廊，初始段采用固定最大攻角20°飛行，由于三者再入速度大小差異，導(dǎo)致拉起高度分別為46.06 km，46.54 km，45.95 km。圖3,7,8表明在時間調(diào)整段，飛行器2由于速度最大，從223.8 s開始較先采用大傾側(cè)角40°的制導(dǎo)方案，進行側(cè)向機動實現(xiàn)減速，其他兩飛行器開始側(cè)向機動時間分別為252.7 s、405.6 s，同時為了滿足末端能量要求，三者均進行了側(cè)向機動，最大機動幅度分別為15.85 km、17.81 km、13.39 km且機動幅度呈現(xiàn)遞減趨勢，側(cè)向偏差逐步收斂至0。圖5，6分別為時間調(diào)整段和能量調(diào)整段緯度隨時間變化圖線，其結(jié)果表明，在滑翔初段，受初始飛行條件不同影響，各飛行器緯度差值最大為0.08°，而在能量調(diào)整段，各飛行器緯度差值最大已不超過0.01°。同樣地，速度偏差在400～800 s內(nèi)，最大差值為55 m /s；在800～1235 s內(nèi)，最大僅為12 m/s，即在滑翔末段，各飛行器飛行狀態(tài)趨于一致，時間約束指標給定較為合理。從表1可以得到，各飛行器均能精確滿足時間約束，緯度偏差最大為0.02°，高度偏差最大為80.4 m。此算例結(jié)果表明，本文導(dǎo)引方法能精確滿足飛行時間約束，并且其他終端約束偏差較小，能順利實現(xiàn)交班。

3.2 算例二

第3.1節(jié)在理想情況下進行了仿真計算，本節(jié)算例考慮在存在大氣密度偏差Δρ與氣動力系數(shù)偏差ΔCL,ΔCD，初始質(zhì)量偏差Δm的情況下，校驗本文方法。

表2中的仿真結(jié)果表明,結(jié)合表1，表2導(dǎo)引結(jié)果，飛行器初始狀態(tài)偏差對飛行時間以及終端飛行狀態(tài)影響不大，其他干擾項對導(dǎo)引結(jié)果影響較為顯著。進一步由仿真結(jié)果可以看出，在考慮再入質(zhì)量偏差，氣動系數(shù)偏出以及大氣密度偏差的情況下，本文導(dǎo)引方法結(jié)果，飛行時間偏差最大僅為7.0 s，經(jīng)緯高最大偏差分別為0.03°、0.01°、1.41 km。總體而言，本文終端狀態(tài)誤差較小，導(dǎo)引方法具有一定魯棒性。

表2 本文方法導(dǎo)引結(jié)果Table 2 Guidance results

3.3 算例三

在本節(jié)中，首先在剩余時間和剩余射程估算方面，采用本文方法與文獻[7]方法進行了仿真對比。仿真初始條件及過程約束均采用3.1節(jié)中飛行器1相關(guān)參數(shù)。仿真結(jié)果如表3所示。其次，針對具體飛行任務(wù)，應(yīng)用本文和文獻[7]方法進行了多組對比仿真。結(jié)果如表4所示。由表3可以看出，本文剩余飛行時間和航程估算方法具有較高精度，剩余航程最大相對偏差為1.20%，剩余飛行時間最大相對偏差為3.28%，并且在接近交班點過程中估計誤差迅速降低，收斂至仿真結(jié)果。而文獻[7]方法對剩余航程與剩余飛行最大相對偏差為24.62%、10.56%。對比文獻[7]方法，本文估算方法大大提高了解析估算精度，對滑翔軌跡剩余航程及時間估測具有良好適用性，為滿足時間約束的制導(dǎo)方法設(shè)計奠定了基礎(chǔ)。從表4也可以看出，本文制導(dǎo)方法可以精確滿足時間約束，最大相對偏差在0.1%內(nèi)。而文獻[7]導(dǎo)引結(jié)果最大相對偏差為13.08%，無法滿足工程需求。

表3 對比仿真結(jié)果Table 3 Comparison of simulation results

表4 導(dǎo)引方法對比仿真結(jié)果Table 4 Comparison of guidance laws simulation results

4 結(jié) 論

本文在復(fù)雜約束條件下，完成了一種帶有時間約束的再入滑翔軌跡的設(shè)計方法研究。仿真結(jié)果表明：在可行的給定時間約束范圍內(nèi)，本文制導(dǎo)方法能滿足各項過程約束和端點約束，實現(xiàn)與末制導(dǎo)的順利交班，并且本文提出的制導(dǎo)方法具有一定的魯棒性。相較于文獻[7]提出的方法而言，本文方法具有較高估算精度，并且導(dǎo)引方法可以精確滿足末端約束。更為重要的是，本文方法并沒有諸如速度恒定或者加速度恒定等嚴苛假設(shè)，更有利于工程實現(xiàn)。為無動力滑翔式飛行器協(xié)同飛行制導(dǎo)方法設(shè)計提供了一定的參考。