單通道控制旋轉彈系統動力學建模與Hopf分岔

許艷麗，岳寶增，趙良玉

(北京理工大學宇航學院， 北京 100081)

0 引 言

旋轉彈是一類在飛行前進過程中彈體繞自身縱軸連續滾轉的飛行器，具有簡化控制系統組成、減少制造誤差影響、提高突防能力等諸多優勢[1]。然而，彈體的自旋同時也會帶來新的問題，如馬格努斯效應[2]、陀螺效應[3]下的以不收斂錐形運動所表現出動態失穩現象，會對導彈的射擊精度及射程指標產生不可忽略的影響[4-5]，許多學者針對此類問題進行了研究。文獻[6]創造性地在非旋轉彈體坐標系下建立了旋轉彈的角運動動力學模型，推導了彈體角運動的充要穩定性條件，并首次提出了陀螺穩定與動態穩定的判定準則。文獻[7]針對高攻角情形下的旋轉彈無控飛行，考慮了更高階的非線性偏航力矩系數，深入研究了旋轉彈的“轉速閉鎖”和“災變偏航”問題。文獻[8]針對旋轉對稱導彈自旋偏航閉鎖的非線性模型，分析了非線性氣動系數對自旋偏航閉鎖的影響，并建立了非線性氣動系數的優化模型以獲得所需的閉鎖運動，實現其在彈箭設計中的應用。文獻[9]針對柔性旋轉彈的動力學問題，在考慮轉速的作用下，建立了計入陀螺力矩及隨動推力影響的運動方程，并分析了系統的動力穩定性問題。

隨著現代戰爭對常規兵器要求的不斷提高，帶有控制系統的旋轉彈得到了越來越廣泛的應用。文獻[1，10-11]系統研究了帶有制導控制系統的旋轉彈動態穩定性問題，尤其是在旋轉彈控制耦合和控制系統穩定性分析及控制系統設計方面取得了重大進展。與一般導彈所采用的雙通道(俯仰、偏航)控制方式及三通道(俯仰、偏航、滾轉)控制方式不同，帶有一對舵面的旋轉彈可通過彈體自旋，實現單一的控制通道對俯仰與偏航通道的操縱。國內外對于該類系統的數值氣動分析、系統動力學建模、控制器設計等方面均開展了相關研究[12-14]。但對于表現出大攻角的旋轉彈系統的建模及非線性動力學特性的研究涉及較少，還有待進一步發展與完善。

隨著非線性動力學理論和方法的不斷發展，其在飛行器及航天器的非線性動態問題分析中已得到越來越廣泛的應用[15-20]。文獻[15-17]將延拓算法和分岔理論應用到飛行器在大攻角飛行情況下的縱向與橫側向失穩問題的研究中。對各類飛行器的非線性運動進行了系統的分析，并提出相應控制方法。文獻[18]運用了中心流形定理的局部降維，分析了輕微不對稱旋轉彈的局部分岔和穩定性，同時采用數值方法研究了旋轉彈的全局分岔，定量分析了旋轉彈系統的動態特性。文獻[19]采用中心流形定理并結合規范形理論，以空氣密度作為分岔參數，對火箭彈非線性角運動的分岔特性進行了分析。文獻[20]通過CFD/RBD方法，研究了縱向不穩定彈的自由飛行動力學特性，同時引入非線性理論對導彈動力學系統展開了鞍節分岔分析，并進一步探討了導彈失穩后的非線性行為。因此，分岔方法已經成為復雜飛行動力學非線性領域中的一個非常流行且有力的工具。然而，以上研究結果基本上采用的是數值方法對旋轉彈的動態特性進行的分析，還沒有給出旋轉彈發生分岔的一般解析式條件。

基于單通道控制的低通濾波特性，本文建立了具有面對稱性旋轉彈系統的復系數動力學模型。基于復系數方程的穩定性理論推導了面對稱性旋轉彈的穩定性條件，研究了系統的局部分岔特性，探索了系統關鍵參數對穩定條件及非線性動力學特性的影響規律，并進一步發現了系統耦合動力學模型所表現出的擬周期運動及混沌運動在內的復雜非線性動力學行為。本文的研究結果對旋轉彈的控制參數及結構參數設計具有一定的指導意義。

1 單通道控制旋轉彈系統動力學建模

旋轉彈可利用一對鴨舵同時控制俯仰和偏航通道，不同于兩對鴨舵的控制，一對舵片偏轉的氣動效應只具有面對稱性而不再具備滾轉對稱性[12]。為了能準確描述單通道旋轉彈所表現出來的旋轉不對稱性，先將旋轉彈動力學模型建立在彈體坐標系下隨后將其轉換到準彈體坐標系下。如圖1與圖2所示，O為彈體質心，Ci(i=1,2)為兩鴨舵的壓心；OBxByBzB是彈體坐標系，簡記為坐標系-1；ONxNyNzN是準彈體坐標系；OVxVyVzV是速度坐標系；OCixCiyCizCi(i=1,2)為鴨舵坐標系，分別簡記為坐標系-2與坐標系-3,其相應的基矢量定義為iCi,jCi和kCi。

注1. 原點OB，ON及OV與質心O重合。

圖1 坐標轉換示意圖Fig.1 Coordinate transformation diagram

圖2 彈體坐標系與鴨舵坐標系的坐標轉換示意圖Fig.2 Coordinate transformation in OBxByBzB and C1xC1yC1zC1

由彈道理論，彈體坐標系OBxByBzB下的橫向動力學方程可表示為：

(1)

俯仰與偏航通道的力與力矩包括氣動力與控制力及相應產生的氣動力矩，其中彈體系下的氣動力與氣動力矩表示成如下形式[1,12]：

(2)

注2. 文中規定j(·)(j=1,2,3)表示任一矢量在相應序號坐標系下的坐標矩陣。

考慮鴨舵舵面偏轉引起的彈體氣動載荷的變化，需將鴨舵的舵偏角轉換為全攻角，圖2是鴨舵的結構示意圖。兩片鴨舵壓心在彈體系下的坐標矩陣分別為[12]：

(3)

式中：Δxc與Δyc為在iB和jB方向上鴨舵的壓心到質心的距離。

由速度合成定理，鴨舵壓心的速度矢量在彈體坐標系下的坐標矩陣可表示為：

(4)

式中：[·]×表示為矢量叉乘矩陣，且VO表示彈體質心相對于慣性坐標系的速度矢量，其坐標矩陣為1VO=[u,v,w]T,ω為彈體坐標系相對于慣性坐標系的角速度矢量，其坐標矩陣為1ω=[p,q,r]T。

由圖2可知，彈體坐標系與鴨舵坐標系的轉換關系矩陣為：

(5)

則鴨舵坐標系下的壓心速度可表示為：

2VC1=T211VC1,3VC2=T311VC2

(6)

進而求得鴨舵坐標系下由鴨舵偏轉引起的氣動力為：

(7)

式中：CxC為鴨舵面的軸向阻力系數，CNC為舵面法向力系數對舵偏角的偏導數，且

(8)

通過式(5)與(7)，可得鴨舵產生的力與力矩在彈體系下的坐標矩陣為：

(9)

將式(2)和(9)在yB與zB方向的坐標分量代入式(1)，并將其表達為如下矩陣形式：

(10)

式中：

(11)

由圖1可知，只考慮yB與zB方向的彈體坐標系與準彈體坐標系的轉換矩陣為：

(12)

則有

(13)

式中：“～”表示為在準彈體坐標系下。

(14)

式中：

(15)

且旋轉彈的復橫向角速度表示為：

(16)

式中：i表示虛數單位。

將式(15)和(16)對s求導，可以得到如下的關系式：

(17)

且：

(18)

聯立式(14)～(18)，可求得復數形式的質心橫向運動方程與繞質心轉動方程：

(19)

在考慮大攻角引起的非線性因素情況下，靜力矩系數導數CMα，馬格努斯力矩系數導數CMpα，阻尼力矩系數導數CMq可分別表示為[1]：

(20)

將式(20)代入式(19)，聯立求解得復數形式的角運動方程：

(21)

式中：

(22)

對式(21)中的變量做如下變換：

τ=[|M0|/κ]1/2s,

則方程(21)整理如下：

(23)

2 旋轉彈系統局部穩定性研究

對于系統(23)，相對應的齊次復數方程與平衡點處的二階復數特征方程為：

(24)

(25)

根據復數方程的穩定性判據[1]，由式(25)決定的單通道旋轉彈系統的穩定條件為：

(26)

引入陀螺穩定因子與動態穩定因子[1,6]：

(27)

則穩定性條件(26)可整理為：

(28)

以Sd為橫坐標，1/Sg為縱坐標，由穩定性條件(28)即可獲得圖3所示的動穩定性邊界。如圖所示，1/Sg=1以下的區域滿足陀螺穩定條件，為陀螺穩定域;坐標軸Sd以下的區域為靜穩定區域；且當Sd在區間(-1, 1)范圍內，靜穩定旋轉彈一定是動態穩定的，而在(-1, 1)區域之外，靜穩定彈的轉速、氣動參數等需滿足條件(28)才能使其動態穩定。而靜不穩定旋轉彈當Sd在(-1, 1)范圍內可通過提高轉速了來達到動態穩定，但在(-1, 1) 之外企圖通過提高轉速使其動態穩定已無法實現。因此，由式(27)并結合圖3可知，馬格努斯力矩過大或者阻尼力矩過小均使得旋轉彈系統難以達到動態穩定。馬格努斯力矩過大，Sd<-1；阻尼力矩過小，Sd>1。

圖3 旋轉彈的穩定性邊界Fig.3 The dynamic stability boundary of a spinning projectile

圖4 靜穩定旋轉彈的動態穩定域Fig.4 The dynamic stability region of a static spinning projectile

圖4給出了轉速、靜力矩、馬格努斯力矩與阻尼力矩之比的變化對旋轉彈系統穩定性的影響，其中有顏色部分為穩定區域，由圖可知，靜力矩的減少會降低轉速的動態穩定性區域，即考慮鴨舵帶來的非對稱影響計算得到的轉速范圍要比不考慮非對稱計算得到的轉速范圍小，若按照旋轉對稱求得的穩定性條件設計旋轉彈，可能會存在一定轉速范圍的偏差，造成旋轉彈系統的失穩現象。

3 旋轉彈系統Hopf分岔分析

根據非線性系統的分岔理論[21]，對旋轉彈系統進行Hopf分岔分析，解析推導旋轉彈系統Hopf分岔發生的條件，并通過計算第一Lyapunov系數給出極限環穩定性的判定準則。

(29)

F(x)=

則式(29)的特征多項式為：

(30)

假設系統(29)的特征方程有純虛根λ1,2=±iω, (ω>0)，將其代入式(30)所對應的特征方程，分離實部與虛部后，最終得到的旋轉彈系統分別在不同參數下發生Hopf分岔的解析式條件為：

對靜不穩定旋轉彈，有

(31)

對靜穩定旋轉彈，有

(32)

注3. 文中( )u表示靜不穩定彈，( )s表示靜穩定彈，( )h表示發生Hopf分岔的臨界值。

對靜不穩定旋轉彈，有

(33)

對靜穩定旋轉彈，有

(34)

對靜不穩定旋轉彈，有

(35)

對靜穩定旋轉彈，有

(36)

證. 通過式(31)～(36)可知，系統(29)存在一對純虛根，在不同參數下，它們滿足：

則對于靜不穩定彈，有：

(j=1,2)；

式中：

(j=1,2)。

對靜穩定彈，有：

(j=1,2)；

式中：

(j=1,2)。

為了分析Hopf分岔的方向，接下來解析推導系統(29)在中心流形上的第一Lyapunov系數，以檢測Hopf分岔周期解的穩定性。

(37)

式中：

系統(29)只含有三次非線性項。因此由兩個向量x=(x1,x2,x3,x4)∈R4與y=(y1,y2,y3,y4)∈R4定義的雙線性函數B(x,y)≡0；由三個向量x,y及z=(z1,z2,z3,z4)∈R4定義的三線性函數C(x,y,z)可表示為：

(38)

通過式(37)和(38)可得到

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

式中：j=1,2。

4 數值仿真與結果分析

為了驗證上述旋轉彈系統的動態穩定性條件及Hopf分岔發生條件的正確性與有效性，以下將采用數值方法研究馬格努斯效應對旋轉彈系統分岔特性的影響規律。利用時間歷程圖、相圖、分岔圖等探討旋轉彈動力學模型所表現出的復雜非線性動力學行為，以揭示旋轉彈系統錐形運動的形態，并對其進行預測。

仿真過程中，要將其轉換為彈體的攻角與側滑角。由圖1可知，彈體坐標系與速度坐標系的轉換矩陣為：

(46)

則攻角與側滑角可計算為：

(47)

圖5 旋轉彈系統的分叉圖Fig.5 Bifurcation diagram of rolling projectile

圖6 旋轉彈系統的收斂運動Fig.6 Convergent motion of rolling projectile

圖7 旋轉彈系統的極限環運動Fig.7 Limit cycle motion of rolling projectile

圖8 旋轉彈系統的擬周期運動Fig.8 Quasi periodic motion of rolling projectile

圖9 旋轉彈系統的混沌運動Fig.9 Chaotic motion of rolling projectile

圖9(b)表明，兩個不同初始條件的響應在10 s左右出現了差異，體現了混沌運動對初始條件敏感性。這些結果均證明了旋轉彈錐形運動形態的多樣性。

通過數值模擬可以發現，文中所建立的判斷條件可以很好地預測旋轉彈不收斂錐形運動的臨界參數值，為非線性旋轉彈系統的控制與結構設計提供了理論參考依據。研究表明為了保證旋轉彈錐形運動的穩定性，可通過對系統引入氣動參數以及結構參數，從而預測錐形運動的形式并確立其發生的條件，由此改進控制設計及結構設計以避免旋轉彈運動的失穩。

5 結 論

本文建立了適應于處理大攻角運動的具有面對稱性的非線性旋轉彈動力學模型；推導了單通道控制旋轉彈系統的穩定性條件及Hopf分岔條件，并給出了Hopf分岔發生所產生極限環的穩定性定理。文中給出的仿真結果證明了該條件的正確性與有效性。本文的研究結果還揭示了旋轉彈錐形運動的多種表現形態，其中包括收斂的錐形運動、周期運動、擬周期運動與混沌運動。通過文本的研究結果，可以對旋轉彈系統錐形運動形態發生的可能性及發生的條件做出預先判定，對旋轉彈系統的控制設計及結構設計具有指導意義。