PMSM驅(qū)動的機器人規(guī)定性能反步自抗擾控制

薛曄　于海生　吳賀榮

摘要：為提高機器人軌跡跟蹤的精度與抗擾動能力，本文以永磁同步電機機（permanent magnet synchronous motor，PMSM）驅(qū)動的二自由度剛性關節(jié)機器人為研究對象，提出規(guī)定性能的反步自抗擾位置控制。該方法結(jié)合反步法與自抗擾技術(shù)，通過擴展狀態(tài)觀測器（extend states observers，ESO）補償不確定的動態(tài)和擾動，利用跟蹤微分器（track differentiator，TD）代替虛擬控制信號的導數(shù)，消除非線性函數(shù)的重復微分引起的“計算爆炸”，設計規(guī)定性能函數(shù)提高位置跟蹤的速度和精度，并結(jié)合電機矢量控制策略，設計反步電流控制器。通過輸入狀態(tài)穩(wěn)定定理進行穩(wěn)定性分析，證明系統(tǒng)狀態(tài)能漸進收斂到原點的任意小鄰域內(nèi)。仿真結(jié)果表明，相比于無規(guī)定性能控制，本文提出的規(guī)定性能反步自抗擾控制，控制精度更高，收斂速度更快，有良好的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。該控制方法具有較高的位置跟蹤精度和較強的抗干擾能力。

關鍵詞：機器人關節(jié)驅(qū)動系統(tǒng); PMSM; 規(guī)定性能; 反步法; 自抗擾

中圖分類號： TP242.2; TM921.54; TP276文獻標識碼： A

文章編號： 1006-9798（2020）02-0075-08; DOI： 10.13306/j.1006-9798.2020.02.012

收稿日期： 2020-01-10; 修回日期： 2020-02-20

剛性關節(jié)機器人由機械臂、驅(qū)動電機及傳動裝置等構(gòu)成，是具有強非線性和不確定性的系統(tǒng)，針對剛性關節(jié)機器人的研究，為了簡化控制器設計，僅從機器人動力學角度出發(fā)，忽略了電機和傳動裝置的動態(tài)特性[1-2]。一方面，閉環(huán)系統(tǒng)性能難以保證，甚至導致系統(tǒng)不穩(wěn)定，另一方面，電機動力學是整個機器人動力學的重要組成部分，尤其在高速運動和高變化載荷情況下，考慮電機的動態(tài)性能，在機器人高精度位置控制中很有必要[3-5]。目前，在關節(jié)機器人位置控制中，反步控制提出虛擬控制律的概念，將高階系統(tǒng)劃分為若干低階系統(tǒng)，遞推構(gòu)建出整個系統(tǒng)的控制算法。李雅普諾夫函數(shù)的選擇和控制器設計時具有較大的靈活性，然而隨著系統(tǒng)階數(shù)增加，虛擬控制律的復雜導數(shù)計算將導致“計算爆炸”，而通過模糊或神經(jīng)網(wǎng)絡在線辨識虛擬變量導數(shù)，針對高階系統(tǒng)十分費力[6]。J. A. Farrell等人[7]提出命令濾波反步控制，使用命令濾波近似虛擬變量的導數(shù)，并構(gòu)造輔助狀態(tài)減少濾波誤差;Pan Y P等人[8]提出一種自適應的二階命令濾波，控制性能更好;韓京清[9]提出自抗擾控制方法，其中微分跟蹤器給出跟蹤信號的導數(shù)，可以同反步法結(jié)合，消除非線性函數(shù)重復微分引起的“計算爆炸”，同時擴張狀態(tài)觀測器，對系統(tǒng)總擾動進行觀測，具有更強的魯棒性;C. P. Bechlioulis等人[10]首次提出通過構(gòu)造規(guī)定性能函數(shù)，保證跟蹤誤差收斂到指定的性能邊界，收斂速度不小于給定值，保證了控制系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，這對防止機器人性能退化和系統(tǒng)損壞具有重要意義?；诖?，本文將隱極式PMSM作為驅(qū)動電機，設計規(guī)定性能的反步自抗擾位置控制器，通過擴張狀態(tài)觀測器補償不確定的擾動，不依賴精確的數(shù)學模型，利于跟蹤微分器，解決反步法“計算爆炸”問題，構(gòu)造性能函數(shù)，約束位置跟蹤誤差的跟蹤速度與精度，同時結(jié)合電機矢量控制策略，設計反步電流控制器，實現(xiàn)電流快速跟蹤，進而完成對機器人系統(tǒng)的整體控制。該研究對機器人系統(tǒng)控制具有重要意義。

1機器人模型

1.1剛性關節(jié)機器人本體動力學模型

根據(jù)歐拉-拉格朗日方程，忽略電機和傳動裝置，僅考慮二自由度剛性機器人本體，其動力學模型為[11]

其中，q、、∈R2分別為機器人關節(jié)轉(zhuǎn)動位置、角速度、加速度向量;τR∈R2為機器人關節(jié)輸入力矩向量;Dq∈R2×2為對稱正定慣性矩陣;Cq，∈R2×2為哥式力與離心力矩陣;Gq∈R2為重力矩向量;Ff（）為機器人本體側(cè)摩擦力向量。

1.2PMSM驅(qū)動的剛性關節(jié)機器人模型

傳動裝置是將電機的力和運動傳遞給機器人本體的中間裝置，剛性關節(jié)機器人的關節(jié)輸入力矩同電機負載轉(zhuǎn)矩存在線性關系，隱極永磁同步電機的動力學模型為[12]

式中，qm、m、m∈R2為電機位置、機械角速度、角加速度向量;qm=η-1q;τL∈R2為電機負載轉(zhuǎn)矩，τL=ητR，η為傳動裝置減速比矩陣;τ∈R2為電機電磁轉(zhuǎn)矩。結(jié)合式（1）、式（2）及PMSM數(shù)學模型[13]，PMSM驅(qū)動的剛性關節(jié)機器人模型為

式中，（q）=ηD（q）+η-1Jm;（q，）=ηC（q，）;（q）=ηG（q）;f（）=ηFf（）;id、iq∈R2分別為d軸和q軸的定子電流向量;ud、uq∈R2分別為電機d軸和q軸的定子電壓向量;Ld、Lq∈R2×2分別為d軸和q軸的定子電感矩陣;Rs∈R2×2為定子電阻矩陣;np∈R2×2為電機磁極對數(shù)矩陣;Jm∈R2×2為電機轉(zhuǎn)動慣量矩陣;Φ∈R2×2為電機轉(zhuǎn)子永磁體產(chǎn)生的磁鏈矩陣。

2機器人控制方案

永磁同步電機采用矢量控制策略，二自由度關節(jié)機器人驅(qū)動系統(tǒng)控制框圖如圖1所示。

2.1規(guī)定性能函數(shù)

定義x1=q，x2=，期望位置x1d=[qd1qd2]T，機器人位置誤差e1=x1-x1d。為嚴格規(guī)定e1的性能，選擇性能函數(shù)[14]

其中，常數(shù)μ0>μ1，kc>0;μ（t）是值域內(nèi)單調(diào)遞減的光滑函數(shù)，且limt→∞μ（t）=μ1。規(guī)定e1i的范圍為

其中，i=1，2;常數(shù)δ1、δ2∈（0，1）。通過誤差變換

將約束（5）的非線性系統(tǒng)變換等效為無約束系統(tǒng)[15]，Φ（si）∈（-δ1，δ2）為光滑且單調(diào)遞增函數(shù)，定義為

其中，p（ei1）=1，e1i≥00，e1i<0，則si=Φ-1ei1μ（t），結(jié)合式（7），得

定義s=[s1s2]T，s的導數(shù)為

其中，γ=diag{γ1，γ2}，且γi>1，則

只要確保si有界，那么在t≥0時刻，e1i滿足式（5）規(guī)定的性能要求[16]。

2.2規(guī)定性能的反步自抗擾位置控制

將式（3）重寫為

其中，F(xiàn)1（x1，x2）=x2-c2x2;F2（x1，x2，τ）=-1（q）（τ-（q，）x2-（q）-f（q））-c3τ;c2和c3為兩個正常數(shù)。位置誤差導數(shù)為

其中，H1（x1，x2，x1d）=F1（x1，x2）-1d。設計關節(jié)1和關節(jié)2的二階擴張狀態(tài)觀測器[17]為

式中，i=1，2;常數(shù)α1∈（0，1）;β1>0，β2>0;eE1_i為ESO的估計誤差;z11_i和z12_i為觀測器輸出;sign為符號函數(shù)。z12=[z12_1z12_2]T是H1（x1，x2，x1d）的估計值。

選擇虛擬控制律x2d為

其中，x2d=[x2d_1x2d_2]T;k1=diag{k11，k12}。定義e2=x2-x2d，Lyapunov函數(shù)V1=12sTs，結(jié)合式（4），式（9）和式（14），V1的導數(shù)為

根據(jù)楊氏不等式，由式（15）得

其中，I2為二維單位矩陣。根據(jù)輸入狀態(tài)穩(wěn)定定理，如果e2=0時，式（12）輸入狀態(tài)是穩(wěn)定的，那么只要H1-z12有界，e1就有界[18-19]。使用跟蹤微分器，估計虛擬控制x2d的導數(shù)為

其中，v1i和v2i為跟蹤微分器的狀態(tài)變量，i=1，2;常數(shù)λ>0;α∈（0，1）是待設計參數(shù);v2=[v21v22]T是2d的估計值。對e2進行微分可得

設計二階擴張狀態(tài)觀測器，估計F2（x1，x2，τ）的值為

式中，i=1，2;常數(shù)α2∈（0，1）;β3>0，β4>0;eE2_i為ESO的估計誤差;z21_i和z22_i為觀測器輸出;z22=[z22_1z22_2]T是F2（x1，x2，τ）的估計值。設計控制器為

其中，k2=diag{k21，k22}。定義Δτ=τ-τc，選擇Lyapunov函數(shù)為

將式（21）結(jié)合式（16）和式（20），可得V2的導數(shù)為

由于式（18）輸入狀態(tài)穩(wěn)定，只要H1-z12，F(xiàn)2-z22，v2-2d有界，那么e2有界。令ESO和TD的總誤差為

其中，ε=[ε1ε2]T。通過選擇合適的ESO和TD參數(shù)，可以使總誤差充分小。則

常數(shù)η1=2min（k11-1）γ21，（k12-1）γ22，k21-1-c22+c232，k22-1-c22+c232，ζ=12ΔτTΔτ+12εTε。那么，由式（24）可得

選擇參數(shù)滿足k11>1，k12>1，k21>1+c22+c232，k22>1+c22+c232，由式（22）和式（25）得s和e2是一致有界的，e1i可以滿足規(guī)定性能要求。

2.3反步電流環(huán)控制

隱極PMSM期望d軸電流idc=0，利用電機q軸電流與電磁轉(zhuǎn)矩的映射關系，得到期望電流為

設計電流控制器，取電流跟蹤誤差為

結(jié)合式（3），對電流跟蹤誤差求導得

取d軸電流控制器為

其中，k3=diag{k31，k32}>0，選取Lyapunov函數(shù)V3=12eTded，虛擬控制器udc代替式（28）中的ud，得到3=eTdd=-eTdk3ed。

取q軸電流控制器為

式中，矩陣k4=diag{k41，k42}>0，取Lyapunov函數(shù)V4=V3+12eTqeq，uqc代替式（28）中的uq，得

2.4穩(wěn)定性證明

取整個系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)V=V2+V4，由式（24）和式（31）分析可知

其中，η2=2min12η1，k31，k32，k41，k42，根據(jù)式（32）和V的定義可知，s、e2、ed、eq一致有界，輸入穩(wěn)定性定理可知e1有界，期望位置x1d有界，由式（20）得τc有界，則閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號都有界。只要ESO和TD設計參數(shù)恰當，就能實現(xiàn)控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定到原點鄰域內(nèi)，且該鄰域的大小與控制器參數(shù)設計有關[20]。

3仿真結(jié)果

本研究采用Matlab/Simulink對控制方案進行仿真，傳動比矩陣η=diag{0.01，0.01}，PMSM參數(shù)Φ=diag{0.29，0.29}Wb，Ld=Lq=diag{0.003，0.003}H，Rs=diag{0.93，0.93}Ω，np=diag{4，4}，Jm=diag{0.003，0.003}（kg·m2）。位置控制器k1=diag{7，8}，k2=diag{200，150}，c2=c3=1。擴張狀態(tài)觀測器參數(shù)β1=100，β2=800，β3=10，β4=20，α1=0.7，α2=0.5;跟蹤微分器參數(shù)α=0.9，λ=5;性能函數(shù)μ0=1，μ1=0.1，kc=3，δ1=δ2=0.7;電流控制器參數(shù)k3=k4=diag{5 000，5 000}。機器人參數(shù)[21]為

D（q）=0.324+0.108cos q20.04+0.54cos q20.04+0.54cos q20.04， Ff（）=[1.510.32]TG（q）=0.58gcos q1+0.135cos（q1+q2）0.135cos（q1+q2）， C（q，）=-0.0542sin q2-0.054（1+2）sin q20.0541sin q20

選擇期望位置曲線qd1=0.9sin1.1t，qd2=sin t，在控制器參數(shù)相同的情況下，對比反步自抗擾控制在規(guī)定性能和無規(guī)定性能的控制效果，在t=1 s時，對關節(jié)2機器人輸入力矩τL突加0.4（N·m）擾動，而當t=2 s時，撤去擾動。關節(jié)1位置跟蹤曲線如圖2所示，關節(jié)2位置跟蹤曲線如圖3所示。

由圖2和圖3可知，機器人在連續(xù)運動狀態(tài)下突加負載擾動，兩種控制方法都能保持機器人的運動狀態(tài)，實現(xiàn)有效的軌跡跟蹤，規(guī)定性能的反步自抗擾控制具有更好的跟蹤性能。關節(jié)1位置跟蹤誤差如圖4所示，關節(jié)2位置跟蹤誤差如圖5所示，關節(jié)1電機電磁轉(zhuǎn)矩如圖6所示，關節(jié)2電機電磁轉(zhuǎn)矩如圖7所示。

由圖4和圖5可以看出，采用規(guī)定性能控制，關節(jié)1位置誤差最終收斂到±5×10-6rad，關節(jié)2位置誤差收斂到±4×10-6rad，相較于無規(guī)定性能控制，控制精度更高，收斂速度更快，有較強抗干擾能力;由圖6和圖7可以看出，突加負載擾動的情況下，轉(zhuǎn)矩脈動較小。

4結(jié)束語

本文以永磁同步電機驅(qū)動的二自由度剛性關節(jié)機器人為研究對象，提出規(guī)定性能的反步自抗擾位置控制?？紤]機器人本體和電機的動態(tài)特性，建立PMSM驅(qū)動的二自由度剛性關節(jié)機器人模型，使用PMSM矢量控制策略，設計規(guī)定性能的反步自抗擾位置控制器和反步電流控制器，自抗擾技術(shù)不需要精確的機器人動力學模型，避免了傳統(tǒng)反步法中虛擬信號反復求導出現(xiàn)的“計算爆炸”，提高了機器人的跟蹤精度和速度。仿真結(jié)果表明，本文提出的規(guī)定性能的反步自抗擾控制具有良好的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，對負載擾動有一定的抗干擾能力，具有一定的應用價值。

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基金項目：? 國家自然科學基金資助項目（61573203）

作者簡介： 薛曄（1995-），女，山東淄博人，碩士研究生，主要研究方向為電機驅(qū)動與機器人控制。

通信作者： 于海生（1963-），男，博士，教授，博士生導師，主要研究方向為電能變換與電機系統(tǒng)控制。Email：yu.hs@163.com

Backstepping Active Disturbance Rejection Control of Robot Driven by PMSM with Prescribed Performance

XUE Ye， YU Haisheng， WU Herong

（School of Automation， Qingdao University， Qingdao 266071， China）

Abstract：In order to improve the tracking accuracy and anti-disturbance ability of the robot， this paper takes the two degree of freedom rigid joint robot driven by permanent magnet synchronous motor （PMSM） as the research object， and puts forward the backstepping active disturbance rejection position control with prescribed performance. This method， combined backstepping with active disturbance rejection technology， compensates uncertain dynamic and disturbance by extended states observers （ESO） and uses track differentiator （TD） instead of derivative of virtual control signal， eliminates “calculation explosion” caused by repeated differentiation of nonlinear function. Prescribed performance function is designed to improve speed and accuracy of position tracking. And the backstepping current controller is designed based on the motor vector control strategy. Through the input-to-state stability theory， it is proved that the tracking error can be gradually converged into arbitrarily small neighborhood of the origin. The simulation results show that the backstepping active disturbance rejection control proposed in this paper， compared with unprescribed performance control， has higher control accuracy， faster convergence speed， better dynamic and steady-state performance. This control method has high position tracking accuracy and strong anti-interference ability.

Key words：robot joint driven system; PMSM; prescribed performance; backstepping control; ADRC