中值定理在不等式證明中的應用

王少東

(新疆昌吉州第二中學 新疆 昌吉 831100)

1.引言

為研究函數極值問題，最初由法國費馬引入導數的思想，后被應用于物理等學科。導數是微積分的基礎知識，為探討函數、解決實際問題提供了有力工具。在數學知識中函數和不等式聯系密切，也正因為如此，導數和不等式在內容上有著密切的聯系。解決不等式問題的常用方法：分析法、比較法、綜合法、重要不等式法、數學歸納法等，但對于一些特殊類型的不等式時，我們很難根據以上解決不等式的常用方法來研究不等式。掌握導數的概念、拉格朗日中值定理之后，對導數及函數的性質便會有更深層次的認知和理解。既然兩者之間有著密切聯系，那么如果我們將導數和不等式聯系起來，對于某些特殊形式的不等式的證明問題就有了行之有效的解決方法。本文主要研究拉格朗日中值定理在不等式證明中的應用。同時進行舉例說明、歸納總結。以此來論證導數為不等式的證明提供了許多有效途徑和簡便的方法。

2.拉格朗日中值定理在不等式證明中的應用

微積分在研究物體變化上起到了重大作用，中值定理在微積分方面得到了很好的應用，同時也為許多不等式的證明提供了行之有效的方法。在理解此定理，幾何意義，等價表達形式的基礎上，重點對中值定理在不等式證明中的一些例題進行研究，并分析其解題的技巧和方法。

2.1 拉格朗日中值定理。中值定理[1]：若函數f滿足如下條件：

(i)f在閉區間[a,b]上連續；

(ii)f在開區間(a,b)上可導，

則在(a,b)上至少存在一點ζ，使得

(2.1)

中值定理的幾何意義：滿足中值定理條件的曲線f(x)至少存在一點M(ζ,f(ζ))，使該點處的斜率等于曲線兩個端點的連線AB斜率。也就是說曲線兩個端點的連線AB與曲線在點M(ζ,f(ζ))處的切線相平行。

物理意義：曲線運動中，任意一個運動過程至少存在一個時刻(或一個位置)的瞬時速率等于整個過程中的平均速率。

定理中的公式(2.1)稱為拉格朗日公式。

拉格朗日公式還有其他等價表達形式，不同的情況可選擇適當的等價表示形式：

f(b)-f(a)=f′(ζ)(b-a),a<ζ

(2.2)

f(a+h)-f(a)=f′(a+θh)h,0<θ<1；

(2.3)

f(b)-f(a)=f′(a+θ(b-a))(b-a),0<θ<1 ；

(2.4)

f(x+△x)-f(x)=f′(ζ)△x,ζ∈(x,x+△x)；

(2.5)

△y=f′(x+θ△x)△x,θ∈(0,1)，其中△y=f(x+△x)。

(2.6)

注：拉格朗日公式無論是ab都，ζ是介于a與b之間的某一。(2.3)、(2.4)、(2.6)則是把ζ表達成了a+θh，a+θ(b-a)和x+θ△x的形式，無論a，b是何值，θ總可為小于1的正數。

其中x0=φ(t0)，y0=Ψ(t)。

證 令F(t)=f(φ(t),Ψ(t))，由拉格朗日中值定理，得

F(t2)-F(t1)=F′(t0)(t2-t1)，(t1

多個函數高階微分中值定理[2]：設f1(x)，f2(x)，…，fn(x)滿足：

(1)在閉區間[a,b]上連續，

(2)在開區間(a,b)內有n-1階導數，

則對任意的ci∈(a,b)，i=0,1,2,…,n-1其中c0=a，cn-1=b，存在ζ∈(a,b)，使

多個函數高階微分中值定理的各種具體表現形式：

(1)當n=2時，可得

若取f1(x)=x，f2(x)=f(x)，則得f(b)-f(a)=f′(ζ)(b-a),a<ζ

(2)取n=3，f1(x)=f(x)，f2(x)=x2，f3(x)=x，可得

這就是二階微分形式的中值定理。

2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式。

即結論成立．

例2 (2010年全國統一考試理科數學21題)設函數f(x)=ex-1-x-ax2。

(1)若a=0，求f(x)的單調區間；

(2)若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍。

解：(1)略

(2)若用一般方法計算，步驟如下：

f′(x)=ex-1-2ax由(1)知ex≥1+x，當且僅當x=0時等號成立。故

f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x

當x≥0時，f(x)≥0。

f′(x)

故當x∈(0,In2a)時，f′(x)<0，而f(0)=0，于是當x∈(0,In2a)時，f(x)<0。

可見，以上方法計算量大，且繁瑣。下面將使用拉格朗日中值定理來解決這個問題。

令g(x)=ex-ax2-1，(x≥0)，g(x)滿足拉格朗日中值定理條件，

即轉化求g′(ζ)≥1,ζ∈(0,x)?g′(ζ)=eζ-2aζ≥1,ζ∈(0,x)。

令h(ζ)=eζ,ζ∈(0,x)也滿足拉格朗日中值定理的條件，

從而將問題轉化成了h′(η)=eη≥2a,η∈(0,ζ)。

本題使用兩次拉格朗日中值定理把問題轉化成我們所熟悉的函數不等式eη≥2a，η∈(0,ζ)從而進一步求解出結果，使得復雜的問題簡單化，體現出了定理在不等式運用的優越性。

中值定理在不等式證明中的應用思想：

定理是以等式的形式存在的，我們可根據ζ在區間(a,b)上的取值估計f′(ζ) 的取值范圍，從而將朗格朗日公式與不等式聯系起來，這是應用中值定理證明不等式的重要思想。步驟如下：

(1)分析不等式的具體特點，如果所要證明的不等式和拉格朗日公式f′(ζ) (b-a)=f(b)-f(a)有形式上的相似，構造一個函數f(x)，這是關鍵的步驟。

(2)驗證函數f(x)在區間內是否滿足中值定理的兩個條件，得出公式。

(3)將欲證的不等式變形，利用f(x)和f′(x)的性質，從而驗證不等式。