微積分教學過程中易錯點解析

摘?要：極限和導數是微積分課程中的兩大類重要知識點，在后續課程的學習和一些考試中經常用到，其中有一些知識點在平時的學習中如果不注意，就容易出現錯誤，本文主要歸納在極限和導數的解題過程中容易出現錯誤的幾個易錯點，并結合例題進行解析。

關鍵詞：微積分;易錯點;解析

微積分是經管類大一新生的一門必修課，上學期主要學習了極限和導數兩大類知識點。極限的計算中又包括很多類型的函數極限的計算，針對不同類型的函數極限，分別用到很多不同的方法，如對于連續函數，可以用直接代入法;對于分式的分母極限為0，分子極限不為0的函數極限，結果為;分式的分子與分母極限都為0時，可以用消零因子法、有理化法和變量代換法;分式的分子與分母極限都為，則要用“抓大頭”法求極限。在求函數的導數的計算中，一些復雜的函數的極限要特別注意，比如求復合函數和隱函數的導數。以上這些知識點，其中有一部分在做題過程中很容易出現錯誤，本文給出幾種易錯點的解析。

一、亂用“抓大頭”法求極限

對于lim多項式多項式為型未定式的極限，除了可以用洛必達法則，還可以用“抓大頭”法，即分子分母同時除以最高次數項。但是有一部分同學，看見多項式多項式這一類型的函數極限，不進行分析，就直接用“抓大頭”法，這樣有可能就會出現錯誤。

二、亂用等價無窮小量代換求極限

在求極限的計算中，如果有無窮小量，而且無窮小量的運算中只有乘除運算沒有加減項運算，我們就可以用等價無窮小量代換來求極限，但是用的過程中一定要注意幾點：首先必須是無窮小量才能進行代換，其次等價無窮小量代換只能用于乘除運算，不能亂用公式。

三、判斷分段函數在分段點處的可導性

在判斷分段函數在分段點處是否可導時，有些同學會對兩個函數分別直接求導，計算函數值來判斷左右導數是否相等，這樣做是有問題的，因為前提條件是判斷在分段點處是否可導，那就有可能是不可導的，因此就不能直接用求導公式來計算導數，而應該用左右導數的定義來計算。

四、復合函數求導時分解不徹底

大家都很熟悉復合函數的求導公式，簡單來說就是外函數的導數乘以內函數的導數，只要找對內函數和外函數，分別求導再相乘就可以了。這里易錯的地方主要在兩方面：外函數和內函數找不對，分解不徹底。

例如（sin22x）′，首先要找到外函數和內函數，外函數為y=u2，內函數為u=sin2x，而內函數又是復合函數，再分解為u=sinv，v=2x，這時就分解徹底了。

五、隱函數求導不對內函數求導

隱函數求導是所有函數求導中最容易出現錯誤的，其實經過總結就會發現，大部分出錯的地方，錯就錯在沒有把關于y的函數當成關于x的復合函數來看待，在隱函數的求導中，關于y的函數就好比是早餐吃的包子，包子餡是隱含在包子皮里面的，函數y=y（x）是隱含在復合函數中的，因此求導時除了對外函數求導，還要對內函數y求導。

這里用了無窮小量與有界變量的乘積是無窮小量這個結論。

以上就是極限和導數在解題過程中的幾個易錯點解析，教師在教學過程中，除了要給學生講清楚重點和難點之外，還要指明易錯點，這樣學生在做題過程中才能有效的避免出現類似的錯誤。

參考文獻：

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作者簡介：白明月（1987-），女，河南開封人，碩士研究生，助教，教師，主要從事數學教育方面的研究。