軟巖現場流變試驗及非線性分數階蠕變模型

劉泉聲，羅慈友，彭星新，劉 鶴，陳 磊，潘玉叢

(1.中國科學院武漢巖土力學研究所 巖土力學與工程國家重點實驗室，湖北 武漢 430071; 2.武漢大學 巖土與結構工程安全湖北重點實驗室，湖北 武漢 430072; 3.中國科學院大學，北京 100049; 4.中鐵十一局集團第四工程有限公司，湖北 武漢 430073)

隨著淺部資源的逐漸枯竭，礦產資源開采深度逐年增加[1-2]。隨著開采深度的增加，軟巖礦井的數量不斷增大，軟巖相關的工程問題也不斷加劇，其中因軟巖的流變導致的工程穩定性問題日益凸顯[3]，有必要對軟弱巖體的流變特性展開深入的研究。

許多學者進行了軟巖流變特性相關的研究工作。巖石室內流變試驗是獲取其流變力學性質的主要手段[4-9]，因為相對于現場實測，它具有可重復次數多、試驗條件可控制性好、易排除次要影響因素和試驗成本低等優點。然而對于工程巖體，其含有大量結構面，且存在尺寸效應[10]，室內標準的流變試驗結果難以準確反映其流變力學特性。現場巖石流變力學試驗由于需人力物力投入大、技術難度大和試驗周期長等原因，目前僅開展了為數不多的相關試驗研究[11]。中國電建集團成都勘測設計研究院有限公司對二灘水電站壩基蝕變玄武巖進行了現場柔性承壓板巖體壓縮蠕變試驗[11]。吳玉山等[12]對某礦的松散塊狀二輝橄欖巖進行了剛性墊板流變試驗，采用三參量固體模型進行了巖體參數的確定。KORZENIOWSKI[13]進行了煤礦堅硬煤柱的現場單軸壓縮蠕變試驗，采用Burgers模型進行了巖體流變參數的計算。徐平等[14]對溪洛渡水電站壩址區巖體進行了柔性板無中心孔法壓縮蠕變試驗，并采用三參量固體模型進行了參數反演。賀如平、張強勇等[15-16]進行了大崗山水電站壩區輝綠巖脈大型剛性承壓板壓縮蠕變試驗，并分別采用經驗方程和三參量固體模型進行了巖體流變參數的回歸擬合。龔成等[17]進行了錦屏水電站左岸邊坡砂板巖松弛巖體的承壓板原位蠕變試驗，并分別采用三參量固體模型和Burgers模型進行了巖體參數的反演。陳衛忠等[18]進行了國投新集劉莊煤礦回風巷底板軟巖的現場三軸流變試驗，并采用非線性冪函數蠕變模型擬合獲得了泥巖流變力學參數。可見，現場巖體流變試驗研究雖然取得了一定的成果，但目前國內外開展的還是較少，對于具體工程問題，如果條件允許還是有必要展開相關的研究工作。

對于巖石流變本構模型問題的研究，國內外成果卓著，其中巖石的非線性粘彈塑性流變本構模型研究是熱點之一。徐衛亞等[19-20]基于巖石的非線性加速蠕變特征，提出了NVPB元件，并與五元件模型串聯，建立了河海模型。夏才初等[21-22]建立了包含15個流變力學模型的統一流變模型，并介紹了采用該統一流變模型理論確定流變模型和參數的方法。STEIPI等[23]認為西原模型中的黏塑性參數為黏塑性應變的線性函數，并據此改進了西原模型。陳衛忠等[24-25]提出了泥巖的非線性經驗冪函數蠕變模型和輝綠巖脈的非線性損傷粘彈塑性本構模型。張強勇等[26]基于巖體流變過程中的損傷劣化效應，提出了變參數的蠕變損傷模型。此外，還有許多其他理論研究成果難以一一介紹[27-29]。可以看出，目前巖石流變本構模型的研究重點主要為針對一些具體問題對以往模型的改進以及非線性流變本構方程的研究。

另外，近年來有學者嘗試將分數階微積分理論應用于巖石的流變本構模型研究。分數階微積分理論是研究任意階微積分的理論，其中分數階導數近年來被越來越多地應用于描述各類復雜的力學與物理行為[30]。材料的應變狀態與其所受的整個應力歷史有關，而分數階時間導數正是微分-積分卷積算子，充分體現了系統函數發展的歷史依賴性[31]，因此可用于描述巖土體的蠕變變形規律。殷德順等[32]利用Riemann-Liouville的分數階微積分算子及理論，通過軟體元件與彈簧元件串聯或并聯，建立了土體的流變模型;H.W.ZHOU等[30,33]通過將分數階Abel黏壺代替西原模型中的Newton黏壺的方法，建立了巖鹽的分數階流變模型;吳斐等[34]在H.W.ZHOU等的研究基礎上，采用Abel黏壺替代后者提出的模型中的Kelvin體，并認為模型中前后2個Abel黏壺的求導階數不同，建立了新的分數階粘彈性蠕變模型;丁靖洋等[35-36]引入損傷和分數階微積分理論，分別建立了巖鹽的分數階三元件模型和改進的西原模型。以上將分數階微積分理論應用于巖石流變本構模型的研究主要有采用Abel黏壺代替Newton黏壺和Kelvin體兩種，都取得了較好的效果。

為研究現場軟弱巖體的流變力學特性，本文擬開展煤礦巷道底板大體積軟弱巖體的現場壓縮蠕變試驗，根據試驗結果并結合分數階微積分理論建立現場軟弱巖體的流變本構模型，最后反演獲得流變力學參數，以求為相關理論及工程研究提供參考。

1 軟弱巖體現場流變試驗

由于難以將現場大體積軟弱巖體完好地采集、運輸和搬運至室內進行加工及試驗，擬采用在煤礦井下巷道底板現場制備立方體巖體試樣，并安裝上自行研制的現場巖體流變試驗設備，最后進行大體積巖體試樣的現場分級加載蠕變試驗。

1.1 巖體試樣制作

試樣分別選自平頂山市平煤八礦裝載硐室回風道和風巷設備道底板巖層，兩處巷道底板埋深分別為-691.7 m和-708.5 m。已有文獻[37]表明，平煤八礦地應力分布具有一定的規律:有兩個主應力接近于水平方向，另一個主應力接近于垂直方向。最大主應力位于近水平方向，大小為自重應力的1.9～2.2倍，垂直應力值基本等于或稍大于單位面積上覆巖層的自重，大小為自重應力的0.93～1.12倍。根據測點埋深及文獻[37]中關于平煤八礦地應力值隨深度變化的經驗方程可計算得知兩測試地點地應力值見表1。

表1 平煤八礦測點處地應力大小
Table 1 Ground stress at the measuring point of Pingdingshan No.8 Mine

測點埋深/m最大水平主應力σhmax/MPa最小水平主應力σhmin/MPa垂直主應力σV/MPa-691.722.615.619.3-708.523.115.919.7

試驗地點巖石為微風化較堅硬砂巖，巖體強度較弱，完整性較差，為塊狀結構，有較為發育的節理裂隙和層面，主要結構面張開度小于1 mm，結構面平直，結合一般，各節理裂隙長度約100～200 mm，綜合判斷屬于Ⅳ類圍巖，具有一定的代表性。

設計巖體試樣最終成型尺寸為730 mm×730 mm×780 mm，巖體試樣及試驗基坑示意如圖1所示。具體制作過程:① 清除試驗區域底板表層約300 mm厚的破碎浮渣，確保巖體試樣是原樣巖體;② 以巖體試樣表面中心為中心，采用風鉆開挖出外邊界3 030 mm×3 030 mm、內邊界930 mm×930 mm、深度780 mm的“回”字型基坑，形成巖體試樣毛坯及試驗基坑;③ 用手錘和鑿子對巖體試樣毛坯做精鑿處理，使之尺寸接近730 mm×730 mm×780 mm，并采用M25水泥砂漿對巖體試樣上表面進行抹平處理。

圖1 巖體試樣及試驗基坑示意Fig.1 Schematic diagram of rock mass specimen and test foundation pit

1.2 試驗儀器安裝

采用中國科學院武漢巖土力學研究所自行研制的現場巖體流變試驗設備[38]進行試驗。該設備主要由3部分組成:

(1)加壓穩壓系統。包括軸向加壓穩壓系統和側向加壓穩壓系統。軸向可提供最大荷載為15 000 kN，對于730 mm×730 mm×780 mm的巖體試樣的軸向最大理論加載應力可達30.6 MPa;側向可提供最大荷載為5 000 kN，對于730 mm×730 mm×780 mm的巖體試樣的側向最大理論加載應力可達9.5 MPa。

(2)變形測量系統。巖體試樣的變形測量系統包括軸向位移測量部分和側向位移測量部分。采用百分表進行位移測量，配合磁力表座和固定樁等支撐和固定裝置。巖體試樣軸向變形的測量，考慮到在軸向荷載下巖體試樣會出現整體下沉，通過測量巖體試樣頂部的絕對下沉量和底部的絕對下沉量，計算頂部下沉量和底部下沉量的差值來獲得巖體試樣的軸向變形量。為減小測量誤差，巖體試樣頂部和底部各布置4套磁力表座和百分表，頂部和底部各4個百分表的變形量的平均值即分別為巖體試樣頂部和底部的絕對位移值。8套位移測量裝置均分別固定于埋設在試驗基坑內地板上的4個固定樁上，各固定樁均埋設于巖體試樣外圍一定距離的巷道底板上，以降低巖體試樣變形對固定樁的擾動影響。

(3)整體框架。整體框架包括整套設備的各部分傳力裝置，實現荷載的傳遞及對適宜尺寸的巖體試樣的均勻接觸和加載。

采用該套設備進行巖體試樣的單軸分級加載蠕變試驗。試驗現場安裝圖如圖2所示。

圖2 試驗現場安裝Fig.2 Installation of in-situ tests

1.3 加載方案設計

巖石流變試驗按加載方式的不同，可分為多試樣單級加載和單試樣分級加載兩種方式，鑒于現場巖體試樣的難以制備以及單試樣逐級增量加載法可避免不同試樣導致試驗結果離散性的缺陷，本次試驗采用單軸分級加載的加載方式進行。考慮試驗現場巖體力學特征，巖體試樣加載方式如下:

(1)以0.05 MP/s的加載速率加載至σ1，保持軸壓不變，每0.5 h或1 h記錄一次巖體試樣的軸向變形隨時間的變化;

(2)以1.25 MPa的大小逐級增加軸向荷載，保持軸壓不變，每0.5 h或1 h記錄一次巖體試樣軸向變形隨時間的變化，直至巖體試樣變形速率趨于穩定或迅速發生加速蠕變破壞;

(3)如果巖體試樣發生加速蠕變破壞，則試驗停止。

由于試驗地點位于軌道大巷附近，距離掘進及采煤工作面都較遠，環境較為穩定，試驗過程不受工作面的振動等影響。且由于是進風大巷，巷道內為新鮮空氣，試驗過程中溫度與濕度變化范圍不大。

1.4 蠕變試驗結果

按照設計的加載方案對巖體試樣進行分級加載蠕變試驗，直至應力水平達到8.75 MPa，加載約20 h后巖體試樣發生破裂破壞，產生了近軸向宏觀破壞面及側角脫落現象。平頂山市平煤八礦巷道底板軟弱巖體試樣典型分級加載蠕變曲線如圖3所示。

圖3 試樣單軸流變全程曲線Fig.3 Complete curve of rock creep under uniaxial rheological tests

對分級加載蠕變試驗數據進行處理，獲得各級應力水平下巖體試樣的蠕變曲線及蠕變速率曲線。巖體試樣各級應力蠕變和蠕變速率曲線如圖4所示。

圖4 巖體試樣各級應力蠕變和蠕變速率曲線Fig.4 Creep curves and creep rate curves of rock mass samples under different level of stress

由圖4可見，在本次蠕變試驗中，巖體試樣在應力水平為3.75,5.00,6.25和7.50 MPa時都是先經歷衰減蠕變階段，10～20 h后基本進入穩定蠕變階段，直至約60 h時而并未出現明顯的加速蠕變特征;而當應力水平達到8.75 MPa時，巖體試樣在經歷較短時間的衰減蠕變階段、穩定蠕變階段后，于約15 h后便很快顯現出加速蠕變特征，并迅速發生破壞。

根據張治亮和徐衛亞等[39]的觀點，可將發生加速蠕變破壞的前一級應力近似地認為是加速蠕變應力閾值σs，即當應力水平超過加速蠕變應力閾值σs后，巖樣將迅速發生加速蠕變并最終破壞。據此，本文可將7.50 MPa確定為巖體試樣的加速蠕變應力閾值。

2 非線性分數階蠕變模型的建立

2.1 基于分數階導數的流變元件

分數階微積分最常用的定義為Riemann-Liouville(后面簡稱為R-L)分數階微積分的定義方法[31]，其定義為:設f在(0，+∞)上逐段連續，且在(0，+∞)的任何子區間上可積，對t>0，Re(γ)>0，則函數f(t)的γ階R-L分數階積分為

(1)

R-L分數階導數為其積分的逆運算，定義為:設f∈C，ν>0，m為大于γ的最小整數，記ν=m-γ>0，則函數f(t)的γ階R-L分數階導數為

(2)

Abel黏壺元件是一種可用于描述介于理想彈性體和牛頓流體之間的物體力學性質的黏性元件，Abel黏壺的本構方程為

σ=ηdβε(t)/dtβ(0≤β≤1)

(3)

式中，β為求導階數;η為黏滯系數。

由以上R-L型分數階微積分理論，可反算得到

(4)

2.2 加速蠕變啟動元件

軟弱巖體的現場流變試驗結果表明，巖石是否發生加速蠕變與加載的應力水平有關。存在某一加速蠕變應力閾值，當應力水平小于該閾值時，巖石的蠕變只有衰減蠕變階段和穩定蠕變階段;而當應力水平大于該閾值后，巖石的蠕變在經歷衰減蠕變階段和穩定蠕變階段后會進入加速蠕變階段。徐衛亞等提出的NVPB元件即考慮了當應力水平高于加速蠕變應力閾值σs時巖石的加速蠕變規律。各種巖石蠕變試驗結果也表明，不同巖石進入加速蠕變的時間各不相同，而加速蠕變啟動時間的選擇會影響到各流變力學參數的計算結果。因而，張治亮等[39]認為在NVPB元件上還應存在加速蠕變啟動時間點，即由穩定蠕變階段向加速蠕變階段過渡的時間點，進而提出了一種新的非線性黏塑性蠕變元件，即為NAVPB體。元件示意如圖5所示。

圖5 非線性蠕變元件示意Fig.5 Sketch of nonlinear creep component

NAVPB體滿足如下關系式

(5)

其中，σ為應力值;σs為加速蠕變應力閾值;η為塑性參數;tF為加速蠕變啟動時間點。其中算子H(t)滿足以下關系式

(6)

式中，n為流變指數，為大于0的整數。

2.3 非線性分數階蠕變模型的建立

由1.4節的試驗結果可知，當應力小于加速蠕變應力閾值時，巖石有瞬時彈性應變，并先后經歷衰減蠕變階段和穩定蠕變階段，穩定蠕變階段的蠕變速率趨于非零常數，基本符合傳統的Burgers模型描述的巖石蠕變特征。前文講到，當0≤β≤1時，Abel黏壺可用于描述介于理想彈性體和牛頓流體之間的物體力學性質，因此可以認為是一個包含彈性元件和黏性元件的綜合元件[30]，而Burgers模型中的Kelvin體正是描述巖石的粘彈性應變特征，因此推測Abel黏壺元件也能較好地表征巖體的粘彈性變形特征，且相對Burgers模型中的Kelvin體而言為單個元件，結構更加簡單，據此對Burgers模型進行第1步改進，即采用Abel黏壺元件替代Burgers模型中的Kelvin體。當應力大于加速蠕變應力閾值后，巖石在經歷前兩階段的蠕變變形后，最終會在某一時間點進入非線性的加速蠕變階段，而傳統Burgers模型中的元件均為線性元件，無法描述非線性加速蠕變特征，為解決改進后的模型仍無法描述巖體加速蠕變階段的變形特性這一問題，采用了在模型上串聯NAVPB(非線性粘塑性蠕變元件)的方法繼續對傳統Burgers模型進行了第2次改進。

綜上，為了能全面描述巖石各階段蠕變特征，且使流變本構模型結構相對簡單，采用Abel黏壺替代Burgers模型中Kelvin體，并串聯上NAVPB元件，從而形成了現場軟弱巖體的非線性分數階蠕變模型。模型示意如圖6所示。

圖6 非線性分數階蠕變模型示意Fig.6 Sketch of nonlinear fractional derivative creep model

圖6所示的蠕變模型有如下所示的本構關系:

(7)

構建的非線性分數階蠕變模型有如圖7所示的蠕變特征曲線。

3 流變模型參數的確定及其驗證

現場軟弱巖體試樣的各級應力蠕變曲線如圖4(a)所示，現對各應力水平的蠕變試驗數據進行Burgers模型和非線性分數階模型參數的擬合與對比分析。在3.75～7.50 MPa應力作用下，由于應力水平不大于加速蠕變應力閾值,巖石蠕變經歷了衰減、穩態蠕變階段，采用式(7)進行蠕變參數的擬合分析;在8.75 MPa應力作用下，由于應力水平大于加速蠕變應力閾值,巖石蠕變經歷了衰減蠕變階段、穩態蠕變階段和加速蠕變階段，由蠕變速率的變化分析，在第15 h時，蠕變速率快速增大到1.68×10-3h-1，幾乎達到這之前的3倍，之后更是迅速增大，因此取加速蠕變啟動時間tF=15 h，采用式(8)進行蠕變參數的擬合分析。在Origin軟件內分別編入Burgers模型和非線性分數階模型的數學關系式，采用Levenberg-Marquardt方法，分別對各應力水平試驗數據進行Burgers模型和非線性分數階模型流變參數的擬合與對比分析。試驗數據與擬合曲線如圖8所示。擬合參數見表2。

圖7 蠕變特征全程曲線Fig.7 Complete curve of rock creep characteristic

圖8 試驗數據與模型擬合曲線Fig.8 Experimental data and the fitting curves of the model

表2 不同應力水平下2種模型參數擬合結果
Table 2 Parameters fitting results of two creep models under different stress level

荷載等級/MPa模型類型E/GPaη1/(GPa·h-1)E2/GPaηβ2/(GPa·h-1)βη3/(GPa·h-1)nR23.75 Burgers模型0.3745.80.842.26———0.987非線性分數階模型0.45309.8—0.960.23——0.9875.00Burgers模型0.3748.00.994.97———0.984非線性分數階模型0.46765.7—1.270.29——0.9956.25Burgers模型0.4256.00.764.30———0.996非線性分數階模型0.47921.5—1.490.34——0.9867.50Burgers模型0.4350.80.793.80———0.989非線性分數階模型0.48845.2—1.480.34——0.9908.75非線性分數階模型0.50542.6—2.070.542.072.560.974平均值Burgers模型0.4050.00.853.83————非線性分數階模型0.47677.0—1.450.352.072.56—

由流變參數擬合結果可知:當應力水平不大于加速蠕變應力閾值7.50 MPa時，非線性分數階蠕變模型和傳統Burgers模型對試驗數據都具有很好的擬合效果，且綜合對比各擬合優度值發現，非線性分數階蠕變模型擬合效果更佳。當應力水平大于加速蠕變應力閾值7.50 MPa時，傳統Burgers模型并不能描述巖體 時間點之后的變形趨勢，而非線性分數階蠕變模型則能很好地擬合該應力水平下的全階段變形數據。

綜上，本文提出的非線性分數階蠕變模型可以較好地描述現場軟弱巖體包括加速蠕變階段在內的全階段蠕變特征，研究結果對相關工程具有一定的應用價值。

4 結 論

(1)軟弱巖體試樣的現場蠕變試驗結果表明:應力水平不高于加速蠕變應力閾值時，巖體試樣有瞬時彈性應變，隨后經歷衰變蠕變階段和穩定蠕變階段，且穩定蠕變速率不為零;應力水平超過加速蠕變應力閾值時，巖體試樣經歷完整的3階段蠕變并最終發生破壞，且存在加速蠕變啟動點。

(2)采用Abel黏壺替代Burgers模型中的Kelvin體，并串聯上NAVPB元件，形成新的巖石流變本構模型-非線性分數階蠕變本構模型，模型結構較為簡單，且理論上能描述巖石的各應力水平各蠕變階段變形規律。

(3)對試驗數據的擬合結果表明:提出的非線性分數階蠕變模型能更好地描述現場軟弱巖體包括加速蠕變階段的全階段蠕變變形特征。研究結果對相關工程具有一定的應用價值。