以毀殲數為判據的高炮毀殲概率試驗方法研究

謝杰濤， 吳娟， 王樹恩， 范兆軍， 韓百剛

(32200部隊, 遼寧 錦州 121000)

0 引言

毀殲概率是高炮武器系統關鍵的綜合性指標，對毀殲概率的考核是試驗鑒定的重要內容。毀殲概率的試驗方法有直接檢測和間接檢測兩類，目前試驗鑒定采用的方法是國家軍用標準GJBz 20499—98高炮武器系統射擊效率評定[1]規定的誤差平均法。誤差平均法屬于以檢測脫靶量為依據的間接試驗方法，其實質是將通過脫靶量序列得到的隨機誤差按與時間的相關性分為強相關誤差、弱相關誤差和不相關誤差，并將弱相關誤差分解為強相關部分和不相關部分，進而給出毀殲概率的近似積分表達式[2-4]。文獻[5]將射擊誤差序列的共有分量分解為預測值和預測誤差，但是其公式推導時只考慮了弱相關誤差與初值的相關性，與弱相關誤差的狀態方差不符。文獻[6]以連續脫靶條件下弱相關誤差的概率密度函數為基礎，給出基于脫靶量序列的毀殲概率精確計算模型，解決了誤差分解造成的計算結果近似問題。上述文獻中采用的方法均屬于以檢測脫靶量為依據的間接試驗方法，其缺陷在于試驗實施復雜，需要立靶密集度、跟蹤精度、諸元解算精度和對空射擊精度等大量試驗數據進行支撐，且計算過程不夠直觀，試驗人員無法在試驗現場確定裝備性能是否滿足指標要求，可能出現試驗過程中未毀殲目標但是毀殲概率滿足指標的情況。文獻[7-14]對毀殲概率的計算進行了研究，但是均不能應用于裝備試驗鑒定。

對于高炮武器系統毀殲概率指標的回答，必須有試驗數據支撐，且具有足夠的可信度。為進一步提高試驗結果的可信度，本文從毀殲概率的定義出發，探索以毀殲數為判據的直接試驗方法，以期為優化試驗設計提供理論支撐。

1 判據的選擇

高炮武器系統毀殲概率的一種典型表述方式是：在典型航路上，對典型目標、以既定射擊方式與彈藥消耗實施射擊時，目標被毀殲的程度達到既定要求的概率。其中典型航路、典型目標、既定射擊方式與彈藥消耗在研制總要求中均有規定。

目標被毀殲的程度是毀殲事件最直接的體現，以目標被毀殲的程度作為檢驗指標，是最直接、可信度最高的檢驗方法。這類方法可以將武器系統當作一個黑匣子，只需掌握其操作特性，無需分析射擊誤差、時空分布等特性，更無需了解其內部結構。實戰中有關毀殲概率的統計最為可信，就是因為它是最直接而非間接的檢驗。由于裝備試驗時無法獲得裝備實戰的數據，需要在試驗前對“目標被毀殲的程度達到既定要求”進行可檢測且無二義的定義，達到定義的毀殲程度判定目標被毀殲，即“毀殲”事件發生。由于高炮典型目標為敵方裝備，試驗時難以對真實目標實施射擊，通常根據典型目標的戰術技術參數，采用高性能靶機進行模擬。這類直接試驗方法以實際射擊試驗中目標(敵方裝備或者模擬靶機)被毀殲的數目作為判據，其有效性依賴于“毀殲”事件定義的合理性，同時由于需要對目標產生實際的毀殲，試驗成本較高。

另一類試驗方法是間接法，包括以檢測毀傷元命中數為判據的間接試驗方法和以檢測脫靶量為依據的間接試驗方法。

毀傷元是指著發彈藥的彈頭、空炸彈藥的有效破片、集束彈藥的鋼柱。命中的毀傷元是導致目標被毀的直接原因，命中是毀傷的前提，沒有命中就沒有毀傷。當以最小命中數作為毀殲檢驗指標時，以命中數為判據的間接試驗方法即轉換為以毀殲數為判據的直接試驗方法。

以檢測脫靶量為依據的間接試驗方法通過測量射擊誤差的各類分量時空特性，按照基于脫靶量序列的毀殲概率計算模型計算毀殲概率。在試驗條件受到以下3種限制時，此類方法可能成為唯一的選擇：試驗環境不允許射擊實彈；靶機性能(如速度、尺寸等)與典型目標的差異較大，無法折算成對典型目標的命中數；所需航次過多，試驗成本超出預算。

在靶機性能有效模擬典型目標且試驗成本滿足要求的情況下，應優先選用以毀殲數為判據的直接試驗方法，這也是裝備試驗鑒定實戰化的要求。

2 毀殲事件的定義

毀殲事件的定義應符合作戰要求，同時方便試驗實施，如目標墜毀、命中目標彈數大于規定值、命中目標導致目標偏航等。由于敵固定翼飛機、巡航導彈、空地制導炸彈等典型目標難以獲取，可以采用高性能靶機加掛反射體進行替代。典型目標外形尺寸和結構的詳細參數可以通過查閱具體的技術資料獲取。

通過實時獲取靶機空間位置計算其所代替目標的位置，通過光電測量設備實時測量彈丸空間位置，經解算可以確定彈丸是否命中目標。若測試設備可以捕捉靶機和彈丸姿態信息，則還可以進一步確定彈丸命中目標的位置。

因為靶機的材質與典型目標相差較大，所以靶機的墜毀無法等效為目標的毀殲。但是彈丸對目標的毀傷能力在研制總要求中是明確給出的，因此可以通過檢測命中來檢測毀殲。進一步地，若可以確定彈丸命中位置，則可以通過命中區域的易損程度直接判斷目標是否被毀殲；若只能確定是否命中目標，則可以采用是否達到最少命中數來判定目標是否被毀殲。

本文將毀殲定義為命中目標的彈丸或破片命中數不小于i，即命中數小于i認為目標未被毀殲，命中數大于或者等于i認為目標被毀殲。

3 以毀殲數為判據的試驗設計

試驗設計的目標為如何利用有限次獨立、重復的射擊過程，來檢驗一次射擊過程的毀殲概率不小于指標要求P1. 一次射擊過程是指武器系統對典型航路上目標以既定的射擊方式與彈藥消耗實施射擊的全過程。單次試驗的對象是一次射擊過程，雖然點射的射彈之間具有相關性，但是命中毀傷元的彈序并不影響結果的評判。

確定好判據和毀殲定義后，試驗設計的核心在于確定重復試驗的總次數N、預期命中數不少于i的最小試驗次數M(即預期最小毀殲數)，使得結果的置信度滿足要求c. 從軍方角度出發，判定武器系統滿足指標要求時，武器系統實際的毀殲概率Pho小于P1的概率應小于1-c，即使用方風險β<1-c. 使用方風險β是指在武器系統毀殲概率Pho

由隨機理論知，N次獨立、重復事件出現k∈[0,N]次的概率服從二項分布，即

(1)

它共有N+1個毀殲頻率

(2)

一個待試射擊過程毀殲概率的最大似然估計Ph為

(3)

式中：m為毀殲事件發生的次數。

若以Ph作為評判標準，通常認為

(4)

可判定為滿足指標，即毀殲數m≥NP1，令

M=「NP1?，

(5)

此時使用方風險為

(6)

當Pho=P1時，武器系統毀殲概率滿足指標，此時β的取值并非使用方風險，但是β(P1)是使用方風險β的一個上界，且是上確界。因此在本文后續的討論中，用βmax表示N、M給定時使用方風險的最大值，即

(7)

指標P1為已知量，對于確定的N，M可由(5)式給定，此時β和Pho一一對應。Pho對于一個待試射擊過程而言是固定不變的，因此當以Ph作為評判標準，β由N唯一確定，即要使β達到要求，只有通過增大試驗次數N實現。因此，以最大似然估計Ph作為評判標準，可以得到滿足置信度要求的試驗次數N，但是N的取值通常較大。在試驗實施過程中，可以通過比較預期最小毀殲數M、實際毀殲數m和剩余試驗次數來確定試驗數據是否能夠回答指標，能否提前終止試驗。

(6)式對應二項分布的右側公算，通過查Q(M、N、Pho)表(參見文獻[15])，可以由M、N、Pho、β中的任意3個值確定第4個值。設β要求的上限值為β0，為保證β≤β0，則βmax=β(P1)≤β0. 問題轉換為如何確定M、N使得Q(M、N、P1)≤β0，該問題可以通過查表解決。

研制方風險α為武器系統毀殲概率Pho≥P1但是被拒收的概率，

(8)

從研制方角度出發，武器系統的設計值通常高于其指標值，設武器系統毀殲概率的設計值為Po，有1>Po≥Pho≥P1. 研制方可以采用改進生產工藝等措施，使實際毀殲概率Pho接近甚至達到設計值Po. 對于同樣的試驗方案，Pho越大，研制方風險α越小。當Pho=Po時，試驗后武器系統毀殲概率仍可能被拒收，此時α的取值α(Po)是研制方風險的下界。因此在本文后續的討論中，用αmin表示N、M給定時研制方風險的最小值，即

(9)

式中：Po對于確定的武器系統是已知量，M、N已經根據使用方風險確定，因此αmin值是可以直接計算得出的。

需要說明的是，當武器系統狀態固化后，實際的毀殲概率Pho是未知的固定值，其與指標要求值P1之間大小關系是確定的。因此使用方風險和研制方風險是不能同時存在的，但由于Pho是未知的，其與P1之間的關系也是未知的。當Pho

4 Q表的遞推計算

查表法雖然可以確定M和N，但是受篇幅所限，表格精度不一定能滿足要求，主要表現在表格中有效數字的位數是有限的，同時M、N、Pho的選取也是固定的，正好滿足精度要求的M和N很可能未在表格中列出。為解決這一問題，本文給出一種Q表的遞推計算方法。

(10)

故有

(11)

顯然a(m)可以通過遞推計算，且無需進行組合運算。

考慮到

(12)

故Q(m)也可以通過遞推計算。對于任意N的取值，均可以按照圖1計算滿足使用方風險要求的預期最小毀殲數M以及使用方風險β. 需要特別說明的是，由于Q(0)=1，圖1循環總能退出，不會出現死循環。

圖1 依遞推計算最小毀殲數流程圖Fig.1 Flowchart of recursively calculating the minimum quantity of killed targets

5 計算示例

算例1某防空武器系統對一個航次目標射擊的毀殲概率戰技指標是P1=0.30，要求使用方風險不大于15%. 選擇試驗總次數N與預期最小毀殲數M，以接受這一指標。

解β0=15%，查Q(M,N,P1)的預期最小毀殲數M和使用方風險上界βmax如表1所示，以毀殲概率的最大似然估計作為評判標準的最小毀殲數「NP1?和對應的使用方風險β，如表2所示。

對比分析表1、表2可知，以毀殲概率的最大似然估計作為評判標準得出的M值較小，但是β超過要求的使用方風險，不能采用該方案。綜合上述分析可知，應采用使用方風險上界βmax作為標準，來選擇試驗總次數N與預期的最小毀殲次數M.

表1 由查表法給出的最小毀殲數和使用方 風險上界Tab.1 Minimum quantity of killedl targets and the upper bound of the consumer’s risk given by the look-up table method

算例2當P1=0.30、β0分別為10%、15%、20%時，以及當β0=20%、P1分別為0.20、0.30、

表2 以最大似然估計為評判標準的最小毀殲數 和使用方風險Tab.2 Minimum quantity of killed targets and consumer’s risk based on maximum likelihood estimation

0.40時，使用遞推計算滿足指標的最小毀殲頻率M/N，結果如表3所示。令Po=2P1，計算研制方風險下界αmin的結果如表4所示。

表3 不同條件下滿足指標的最小毀殲頻率M/N值Tab.3 Minimum kill frequencies to satisfy the indicator under different conditions

表4 不同條件下研制方風險的下界αmin值Tab.4 Lower bounds αmin of producer’s risk under different conditions

將步長設為1，計算表3、表4的數據，結果分別如圖2、圖3表示，其中圖2是抽取表3的第1行、第3行、第5行數據得到的結果，圖3是抽取表4的第1行、第3行、第5行數據得到的結果。

圖2 滿足指標的最小毀殲概率與試驗次數關系Fig.2 Relationship between the minimum kill frequency that satisfies the indicator and the total number of tests

圖3 研制方風險下界與試驗次數關系Fig.3 Relationship between the lower bound of producer’s risk and the total number of tests

分析表3、表4以及圖2、圖3可知：

1)當毀殲概率的指標要求確定時，使用方風險越高，滿足指標的最小毀殲頻率越小，對應研制方風險的下界αmin越低。

2)當要求的使用方風險確定時，毀殲概率的指標要求越高，滿足指標的最小毀殲頻率越大，對應研制方風險的下界αmin越低。

3)雖然在局部略有波動，但是隨著N的增大，滿足指標的最小毀殲頻率和對應研制方風險的下界αmin均大致呈減小趨勢。局部波動發生在M增大時刻，當N增大而M不變時，最小毀殲頻率和對應的研制方風險的下界αmin均減小。

算例3某型武器系統要求單輛戰車的毀殲概率為:對巡航導彈≥50%，對飛機≥30%，對空地制導炸彈≥20%，要求使用方風險不大于20%，選擇試驗次數N與預期最小毀殲數M，以接受這一指標。

解采用遞推計算，毀殲數M對應的滿足指標最大試驗次數N如表5所示。

假定單輛戰車毀殲概率的設計值為：對巡航導彈≥75%，對飛機≥60%，對空地制導炸彈≥40%，則滿足指標要求時對應的研制方風險下界αmin如表6所示。

兼顧研制方風險，若要求研制方風險的下界αmin也不大于20%，則對巡航導彈最少試驗總數為12次，對應的預期最小毀殲數為8；對飛機最少試驗總數為8次，對應的預期最小毀殲數為4；對空地制導炸彈最少試驗總數為20，對應的預期最小毀殲數為6.

分析表5和表6可知，對于該型武器系統毀殲概率試驗而言，所需的試驗總次數和預期最小毀殲數均不大，可以采用以毀殲數為判據的直接試驗方法進行試驗。

算例4某型武器系統要求對飛機的毀殲概率≥30%，對靶機射擊15航次，等效飛機毀殲數8架，按照文獻[1]中誤差平均法計算的結果為0.547，按照文獻[6]中遞推計算模型的結果為0.516，要求使用方風險不大于20%，確認能否接受該指標。

表5 毀殲數M對應的滿足指標最大試驗次數NTab.5 The maximum number of tests that meet the indicator for the quantity of killed targets

表6 最小毀殲數M對應的研制方風險下界αminTab.6 The lower bound of producer’s risk corresponding to the minimum quantity of killed targets

解當N=15、M=17、P1=0.30時，βmax=0.050，即該武器系統實際毀殲概率Pho<30%的概率僅為5.0%，滿足使用方風險不大于20%的要求，應該接受該指標。

實際上，當Pho=0.394時，β=0.199；當Pho=0.395時，β=0.201. 在使用方風險不大于20%的前提下，可以認為該武器系統的毀殲概率不低于0.394.

雖然文獻[1]的誤差平均法、文獻[6]的遞推計算模型和本文方法都給出了接受該指標的結論，但是對于同樣的試驗結果，前兩種方法均認為實際毀殲概率大于50%，而本文方法認為在要求使用方風險不大于20%的前提下，實際毀殲概率為39.4%. 這是因為本文方法是偏向使用方，充分考慮使用方風險的。需要指出的是，由于缺乏足夠數據的支撐，對不同計算方法的比較不具有統計意義，僅能給出直觀的結果。

6 結論

毀殲概率的試驗方法包括以毀殲數為判據的直接試驗方法，以命中數為判據的間接試驗方法和以檢測脫靶量為依據的間接試驗方法，現行的研究主要集中在最后一種試驗方法上。本文從理論上對以毀殲數為判據的直接試驗方法進行了梳理，從判據選擇、毀殲事件定義、試驗設計和遞推計算4個方面對以毀殲數為判據的直接試驗方法進行了分析，并給出了算例，為直接試驗方法的開展提供了理論支撐。以毀殲數為判據的直接試驗方法，直觀、可信度高、充分考慮使用方風險，在靶機性能能有效模擬典型目標且試驗成本滿足要求的情況下，應優先選用該方法。需要說明的是，雖然直接試驗方法是毀殲概率研究的重要方向，但是綜合考慮作戰條件、射擊精度、目標特性、彈藥毀傷效能等諸多因素，以檢測脫靶量為依據的間接試驗方法，仍將是試驗鑒定部門主要的試驗方法。