關于排污水管的優化設計模型

馬君兒　李東明

【摘要】為了響應“五水共治”決策，多地都在重新鋪設排污水管道，以達到排污整治的效果。本文前兩個小題是一個非線性規劃（NLP）的優化模型，通過尋找線路（折線段形式）的最優轉折點位置，借助微積分、幾何學知識，及Matlab軟件的調用，得到污水管的最優布置方案和造價總費用的最小值。并且利用求多元函數的極值方法，得到污水處理池造價最低時的設計尺寸與污水池造價的最小值。

【關鍵詞】管線布置? 造價? 最優? 距離

一、問題的提出

青山綠水就是金山銀山。水是生命之源，水與浙江有著淵源：由于浙江省內分布著錢塘江、甌江、苕溪、甬江、靈江、飛云江、鰲江等七大河流，因此水也是浙江之源。浙江作為沿海發達地區，隨著經濟的迅猛發展，水環境正在承受著越來越大的壓力。為了保護生態環境，防止河流被工業污水、生活污水等污染，浙江省委十三屆四次全會，提出了“治污水、防洪水、排澇水、保供水、抓節水”的“五水共治”決策。其目的要求，是要以“五水共治”為契機，讓水與人更好地和諧相處。“治污水”作為“五水共治”的首要任務，主要是通過污水處理， 整治垃圾河、黑河、臭河里的水，讓其水質基本達到無毒無害、不黑不臭，讓水可用于農田灌溉，讓人可在河中游泳。

具體問題如下

（1）假設浙江省某城鎮有甲（位于點A）、乙（位于點B）兩工廠，都處于線段CD同側，A離線段CD的距離為a，垂足為C，B離線段CD的距離為b，垂足為D，CD的間距離為，現準備在線段CD上取點E，造一個容積為K的無蓋長方體的污水處理池。假設：從甲、乙兩廠至點E間鋪設的污水管單位造價（萬元/千米）一致，問：E點選在何處，使得鋪設排污水管的總造價最低？

（2）假設甲、乙兩廠的具體位置由圖1所示，其中B位于城區（圖中的II區域），A位于郊區（圖中的I區域），城區與郊區兩個區域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a=5，b=8，c=15，l=20。若所有管線的鋪設費用均為每千米0.72萬元。但鋪設在城區的管線還需增加附屬物的拆遷補償等附加費用，設附加費用為0.2（萬元/千米），請給出排污管線的布置方案及相應的費用？

（3）對于問題一與問題二中，如果還準備在點E處造一個容積為V的無蓋長方體的污水處理池，假設池底與四個側面的單位造價（萬元/平方米）相同，問：應如何選擇污水處理池的尺寸，方可使污水處理池的總造價最低？

二、模型的假設

①兩個工廠及所有排污管線均在線段的同一側。②忽略地域、地貌等對污水管鋪設上的影響，非共用管線與共用管線均以直線段鋪設。③當城區考慮附加費用時，假設污水處理池選址在郊區。④假設污水處理池選址位于甲、乙兩廠所鋪設的管線的交點M在CD線段上的投影點。⑤假設每支段上的管線單位造價（萬元/千米）相同。⑥假設污水處理池是容積為V無蓋的長方體，且池底與四個側面的單位造價（萬元/平方米）相同。

三、符號的說明

α： a：甲廠到CD的垂直距離;b：乙廠到CD的垂直距離;1：CD間的直線段長度;M：甲廠、乙廠污水管線的交點;E： 污水處理池的選址;k：附加費用（萬元/千米）;F： 乙廠的污水管線同郊區和城區的分界線的交點;q1：鋪設甲廠污水的管線單位造價（萬元/千米）;

q2鋪設乙廠污水的管線單位造價（萬元/千米）（不考慮附加費用）;q3鋪設兩廠共用管線的單位造價（萬元/千米）;Q：污水管線鋪設的總費用;q：污水處理池側面與池底的造價（萬元/平方米）;Z： 污水處理池的總造價。

四、模型的建立與求解

問題一：模型的建立與求解

建立以C為原點，CD所在的直線為x軸，CA所在的直線為 y軸的直角坐標系，則各點坐標為A（0，α），B（l，b），C（0，0），D（l，0），設M為（x，y），則建污水處理池處點E為（x，0）。

問題二：模型的建立與求解

此時，城區由于附屬物的拆遷補償等附加費用的增加對管線建設費用造成影響，所以B廠的管線不再是一條直線段，為此，我們設B廠的管線走B--F-M折線段的形式，也就是說，在問題1的基礎上增設B廠的管線同城郊分界線的交點F（c，u），見圖2。所以有：|BF|=;|FM|=。

問題三：模型的建立與求解

設污水處理池是無蓋的長方體，且池底與四個側面的單位造價相同：為q（萬元/平方米）。設污水處理池池底的長為x，寬為y，則由長方體的體積公式，可求得：高為V/（xy），記：對應的表面積為S，總造價為Z。根據假設，則Z=q*S。其中：單位造價q（萬元/平方米）為定值，因此，只要求出表面積S的最小值就行。

事實上，表面積：s=x·y+2v（+）（x>0，y>0），則偏導數=y-，=y-。令=0且=0，得駐點（底面邊長）：x0=y0=，這時高h0=。因為表面積S的最小值必定存在，且開區域內駐點唯一，所以，總造價的最小值就在該駐點處取得，即當污水處理池的池底長與寬都為，高為時，總造價達到最小值：Z0=3q。

五、模型的評價

（1）問題一與問題二中，都假設：甲、乙兩廠的生產規模基本相同。因此支流上的排污水管單位造價（萬元/千米）不妨假設相等。如果甲、乙兩廠的生產規模相差較大，意味著：支流的污水管應有粗細，即：支流上的排污水管單位造價（萬元/千米）q1與q2應假設為：不相等。

（2）問題二中，關于“鋪設在城區的管線還需增加附屬物的拆遷補償等附加費用”，應根據不同城市、不同區域來綜合評估得到相應的附加費用。

（3）問題三中，假設污水處理池是容積為V無蓋的長方體，且側面與池底的單位造價（萬元/平方米）相同。可以推廣為：池底的單位造價/側面的單位造價為p（p>1）。再利用多元函數的極值計算，推導出對應的最優設計尺寸及最低總造價。

（4）如果是整治農村某個自然村人們的生活污水，則應根據住房分布情況（如果整村分布范圍較廣，呈若干個片區相對集中分布），則應“分片分組布置污水管線，多建幾個小污水處理池”。這樣設計，總造價相對而言會比“集中造一個大污水處理池”要經濟實用。

六、模型的應用

現狀分析：隨著政府在城市建設中人力與物力的不斷投入，中國城市的污水處理率已提前完成給定的目標，相對而言，縣城和建制鎮的污水處理率依然不理想。特別是農村，一些小型企業私自排放工業污水，或不規范辦理養豬場，亂排污穢物，導致地下水、流域支流、河網的水質持續惡化，河中的魚越來越少，甚至有些河段水體發黑發臭，直接影響人們的生活質量與生活環境。如果不及時采取有效措施，污染將持續擴大。準對現狀，從上至下，各級部門應統一思想，創造條件，投入資金，重點在小城鎮和規模較大的村莊，鋪設排污水管道、建設污水處理設施，進行污水處理，從而改善河道水質。相信通過政府、企事業、個人，大家的齊心協力，真正搞好“五水共治” 這項惠民工程，那么，藍天白云下，魚兒在清徹見底的溪澗暢游，一幅幅美景將隨處可見。

參考文獻：

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[4]同濟大學數學系編.高等數學習題全解指南（上、下冊）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

作者簡介：馬君兒（1965-），女，職稱：副教授，主要從事高等數學教學;李東明（1963-），男，職稱：中學高級，主要從事中學數學教學。