插值法在財(cái)務(wù)管理教學(xué)中應(yīng)用情況分析

□宋秋萍

一、插值法的基本原理

學(xué)習(xí)財(cái)務(wù)管理或管理會(huì)計(jì)一定學(xué)過插值法。幾乎所有的教材中都會(huì)介紹到這種方法，其主要用在資金時(shí)間價(jià)值計(jì)算和長(zhǎng)期投資決策中。它的基本原理是：當(dāng)自變量和因變量的變動(dòng)幅度都較小時(shí)，它們的變動(dòng)幅度大致相等。教材中的插值法是根據(jù)線性函數(shù)設(shè)置的一種計(jì)算方法，如果不是線性函數(shù)關(guān)系，因變量變動(dòng)幅度非常小時(shí)，也可以近似地把它看成線性函數(shù)關(guān)系，因?yàn)榍€上很短的一段可以近似地看作直線。非線性函數(shù)計(jì)算中，如果自變量數(shù)值變動(dòng)范圍增大，取值的點(diǎn)就會(huì)明顯地不在一條直線上，計(jì)算結(jié)果的誤差就會(huì)增大。而在資金時(shí)間價(jià)值的計(jì)算中，幾乎所有的公式都不是線性關(guān)系，因此，插值法計(jì)算一般都會(huì)有誤差。所以，插值法在應(yīng)用中一直要強(qiáng)調(diào)自變量的變動(dòng)幅度不能過大。

在直線函數(shù)情況下，用插值法計(jì)算的結(jié)果是準(zhǔn)確無誤的，即使自變量變動(dòng)幅度很大。

例1：已知某直線函數(shù)式中，x1=1，y1=15；x3=3，y3=25，當(dāng)y2=20時(shí)，x2=?

根據(jù)上述公式：

因公式比較難記，人們多采用作圖的方法幫助計(jì)算，按照⑥式可作圖如下：

則有：c/2=5/10 c=1 x2=2

這個(gè)結(jié)果是準(zhǔn)確無誤的。因?yàn)檫@里設(shè)定的函數(shù)是y=10+5x，是一條直線，這個(gè)函數(shù)式也可以通過已知條件求出。

解方程可得：a=10，b=5

將x2代入式中，可以驗(yàn)證。

20=10+5×2

如果不是線性函數(shù)，會(huì)是什么情況呢？

例2：利率為8%時(shí)，（1+8%）2=1.1664，利率為10%時(shí)，（1+10%）2=1.21，利率為12%時(shí)，（1+12%）2=1.2544。假設(shè)不知道利率是多少時(shí)它的復(fù)利終值系數(shù)為1.21，用插值法可計(jì)算如下：

我們知道這個(gè)利率應(yīng)該是10%，計(jì)算過程中并不存在計(jì)算尾數(shù)差的問題，只是因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)式不是直線函數(shù)式，所以不可能精準(zhǔn)，這是插值法內(nèi)在的不可避免的缺陷。

二、插值法的使用缺陷

（一）計(jì)算繁瑣

插值法的計(jì)算是比較繁瑣的，尤其是需要和逐次測(cè)試法結(jié)合使用時(shí)更是如此。

例3：王先生每年末投資10000元，連續(xù)10年，如果他希望10年后的本利和能達(dá)到300000元，投資收益率應(yīng)該是多少？

應(yīng)用插值法求解的步驟如下：

首先，對(duì)給出條件進(jìn)行分析，建立數(shù)學(xué)模型。每期期末支付的10000元，屬于普通年金，300000元為該筆年金的終值，10年為期數(shù)，根據(jù)年金終值的計(jì)算公式，可以建立下列等式：

其次，查看年金終值系數(shù)表。查表可得：10期的利率20%的年金終值系數(shù)為25.959，24%的年金終值系數(shù)為31.643，說明要求的利率在20%～24%之間。

第三，通過插值法計(jì)算：

也可以直接使用現(xiàn)成的公式：

i=i1+B-B1/B2-B1×(i2-i1)

式中i為所求利率，i對(duì)應(yīng)的年金終值系數(shù)為B，B1、B2為年金終值系數(shù)中與B相鄰的系數(shù)，i1、i2為B1、B2對(duì)應(yīng)的利率。其實(shí)這個(gè)公式和作圖的實(shí)質(zhì)是一樣的。

從該例中可以看出：計(jì)算過程比較繁瑣，需要作圖或記憶公式，作圖比較直觀，公式雖然不難，但要分清其中的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系并記住它是比較難的，是很容易出錯(cuò)的。

使用插值法的前體條件是自變量的變化幅度較小時(shí)，其與因變量的變動(dòng)幅度基本相同，如果自變量變動(dòng)幅度稍大，這一關(guān)系就不存在。因此，使用插值法往往需要結(jié)合使用逐次測(cè)試法來縮小自變量的變化范圍。所謂逐次測(cè)試法就是拿一個(gè)個(gè)數(shù)值去試算，直到找到和目標(biāo)自變量相鄰的兩個(gè)變動(dòng)幅度較小的自變量時(shí)才可以再用插值法。現(xiàn)金流量比較復(fù)雜的情況下往往需要這樣做。

例4：某先生希望將他的儲(chǔ)蓄500000元進(jìn)行投資，在未來3年分別得到150000元、200000元和300000元的現(xiàn)金流入，要實(shí)現(xiàn)這一愿望，投資報(bào)酬率應(yīng)該是多少？

按照插值法，一般需要以下步驟：

首先，建立數(shù)學(xué)模型：

500000=150000×(1+i)-1+200000×(1+i)-2+300000×(1+i)-3

其次，使用逐次測(cè)試法找到目標(biāo)利率或和目標(biāo)利率緊密相鄰的兩個(gè)利率。

因?yàn)椴⒉恢览驶蚺c之最接近的利率是多少，只好用一個(gè)利率先試試，假設(shè)選擇利率為10%，則：

150000×(1+10%)-1+200000×(1+10%)-2+300000×(1+10%)-3=527035

這個(gè)值大于500000，需要提高利率再試，假設(shè)利率為12%：

150000×(1+12%)-1+200000×(1+12%)-2+300000×(1+12%)-3=506915

這個(gè)值仍然大于500000，再次提高利率到14%。為什么不選13%的利率呢？因?yàn)橄禂?shù)表上沒有這一檔利率。

150000×(1+14%)-1+200000×(1+14%)-2+300000×(1+14%)-3=493380

這個(gè)值小于500000元，說明利率在12%和14%之間。

第三步，用插值法計(jì)算目標(biāo)利率：

從以上幾個(gè)例題可以看出，插值法的使用是比較繁瑣的。

（二）計(jì)算結(jié)果有較大誤差

產(chǎn)生這一缺陷的原因在插值法原理中已經(jīng)進(jìn)行了分析，以例3和例4的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)算，看一下計(jì)算結(jié)果是否準(zhǔn)確：

例3中，10000×［（1+22.8438%）］10-1/22.8438%=298806.08（元）

誤差值=300000-298806.08=1193.92（元）

例4中，150000×(1+12.73%)-1+200000×(1+12.73%)-2+300000×(1+12.73%)-3=499854.38

和500000元相比，有145.62的誤差。

可以看出，一般情況下，用插值法或多或少都會(huì)有誤差。

（三）需要依賴現(xiàn)成的系數(shù)表

在資金時(shí)間價(jià)值的計(jì)算中，插值法需要依賴現(xiàn)成的系數(shù)表才行。而系數(shù)表本身的缺陷對(duì)插值法計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性有較大影響。基本上每部財(cái)務(wù)管理或管理會(huì)計(jì)教材后都會(huì)有復(fù)利終值系數(shù)表、復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)表、年金終值系數(shù)表和年金現(xiàn)值系數(shù)表。由于版面限制，這些表所列出的時(shí)間和利率是有限的，尤其是利率，只有整數(shù)利率，如6%、10%，而沒有如3.52%這樣的在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中更可能頻繁出現(xiàn)的非整數(shù)利率，因而不能滿足各種計(jì)算需要。另外，也是由于版面限制，所有系數(shù)基本只能保留到小數(shù)點(diǎn)后四位，在資金量大、期數(shù)長(zhǎng)的情況下使用，會(huì)造成比較大的誤差。

三、當(dāng)前技術(shù)環(huán)境下財(cái)務(wù)管理實(shí)務(wù)和教學(xué)中均可以舍棄插值法

插值法產(chǎn)生和廣泛使用的年代技術(shù)條件落后，沒有現(xiàn)在這樣功能強(qiáng)大的計(jì)算器和辦公軟件，它的使用使一些復(fù)雜問題的計(jì)算得以實(shí)現(xiàn)，雖然結(jié)果并不精準(zhǔn)，但其誤差可能并不大會(huì)影響到?jīng)Q策結(jié)果，或沒有更好的替代的辦法，因此，這種方法產(chǎn)生并一直被使用。現(xiàn)在，時(shí)間已進(jìn)入二十一世紀(jì)20年代，技術(shù)環(huán)境發(fā)生了巨大的轉(zhuǎn)變，計(jì)算方法不斷更新，在財(cái)務(wù)管理實(shí)務(wù)中可以很方便的使用金融計(jì)算器、電腦中的excel、甚至能用手機(jī)中的辦公軟件進(jìn)行復(fù)雜計(jì)算，無需使用插值法這一繁瑣復(fù)雜、使用條件苛刻并且精準(zhǔn)度差的傳統(tǒng)方法。即使是在財(cái)務(wù)管理教學(xué)中，可能課堂教學(xué)中不能做到人手一臺(tái)電腦或功能強(qiáng)大金融計(jì)算器，卻可以做到人手一部智能手機(jī)。手機(jī)信息技術(shù)不斷發(fā)展，功能日益強(qiáng)大，使用普及，師生們完全可以利用手機(jī)中的辦公軟件取代傳統(tǒng)的插值法，既方便快捷又可以提高計(jì)算的精度。下面利用安卓手機(jī)中的WPS來完成前面兩個(gè)例題的計(jì)算。

上述例3，具體計(jì)算步驟為：①打開WPS；②點(diǎn)右下角“+”新建；③新建excel表格；④新建空白表格；⑤點(diǎn)左下角功能按鈕，在出現(xiàn)的菜單中找到“插入”，點(diǎn)擊“函數(shù)”；⑥在函數(shù)列表中選擇“財(cái)務(wù)”函數(shù)；⑦計(jì)算利率的函數(shù)是RATE，點(diǎn)右側(cè)字母“R”能迅速找到目標(biāo)函數(shù)；⑧點(diǎn)“RATE”函數(shù)，函數(shù)顯示需要輸入的項(xiàng)目分別是期數(shù)（nper）、年 金 （pmt）、 現(xiàn) 值 （pv）、 終 值 （fv）、 類 型（type）、推測(cè)（guess）。類型是指年金的類型，普通現(xiàn)金為0，先付年金為1，推測(cè)一般不填。根據(jù)資料填入相關(guān)數(shù)字，年金為-10000，現(xiàn)值為0，終值為300000，類型為0可以省略不填，√提交。顯示計(jì)算結(jié)果22.9243%

插值法計(jì)算誤差較大，而用手機(jī)中的excel則基本不存在這個(gè)問題。

可以驗(yàn)算一下：

10000×［（1+22.9243%）10-1/22.9243%］=300000.48

和插值法的誤差1193.92元相比，0.48元的誤差幾乎可以忽略不計(jì)，精準(zhǔn)度顯著提高。也可以多保留幾位小數(shù)進(jìn)一步降低甚至完全消除誤差。而插值法即使增加保留的小數(shù)位也不能消除誤差。

同理，可以用同樣的步驟求解例4。

步驟①～④不變。打開空白表格后輸入該題第0～3 年 的 現(xiàn) 金 流 量-500000、150000、200000 和300000，再進(jìn)行插入函數(shù)、用函數(shù)進(jìn)行求解的操作。這個(gè)題需要用到的函數(shù)是內(nèi)涵報(bào)酬率IRR。在IRR函數(shù)的括號(hào)中選擇已經(jīng)輸入的現(xiàn)金流量數(shù)值，立即可以看到計(jì)算結(jié)果0.12714748，即12.7148%。

將這一計(jì)算結(jié)果驗(yàn)算如下：

150000× （1+12.7148%）-1+200000× （1+12.7148%）-2+300000× （1+12.7148%）-3=499 999.51

和資料中的500000相比，只有0.49的計(jì)算尾數(shù)差，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于插值法145.62的誤差，可以忽略不計(jì)。

通過上述分析，可以得出結(jié)論：舍棄插值法是必要的，也是可行的。

四、舍棄插值法，教學(xué)考核怎么辦

在財(cái)務(wù)管理實(shí)際業(yè)務(wù)中或日常教學(xué)中完全可以舍棄插值法，但在不允許帶電腦、智能手機(jī)的場(chǎng)合如何解決這個(gè)問題呢？比如考試時(shí)可以采用以下幾個(gè)方法:

方法一：使用計(jì)算器。如某權(quán)威教材中的一個(gè)例題：鄭先生下崗獲得50000元現(xiàn)金補(bǔ)助，他決定趁現(xiàn)在還有勞動(dòng)能力，先找工作糊口，將款項(xiàng)存起來。他預(yù)計(jì)如果20年后這筆款項(xiàng)連本帶利達(dá)到250000元，就可以解決自己的養(yǎng)老問題。問銀行存款的年利率為多少時(shí)該先生的目標(biāo)才能變成現(xiàn)實(shí)?

根據(jù)題意可建立下列算式：

50000×(F/P，i，20)＝250000

(F/P，i，20)＝5，即(1+i)20＝5

教材中是這樣求解的：

首先，采用逐次測(cè)試法（也稱為試誤法）計(jì)算，找到能使復(fù)利終值等于或接近5的利率：

當(dāng)i＝8%時(shí)，(F/P，8%20)＝4.6610，當(dāng)i＝9%時(shí)，(F/P，9%，20)＝5.6044，因此，i在8%和9%之間。運(yùn)用插值法求出的利率約為8.36%。

從這個(gè)例子可以看出插值法已經(jīng)嚴(yán)重的約束了人們的思維。既然（1+i）20=5，用最簡(jiǎn)單的開方的方法一步就能求出來的利率，為什么要費(fèi)盡周章折地先逐次測(cè)試再用插值法呢？而且計(jì)算結(jié)果還不準(zhǔn)確。按照內(nèi)插法計(jì)算的利率8.36%，來看看鄭先生能否實(shí)現(xiàn)250000元的目標(biāo)值。

50000×（1+8.36%）20=249086元，相差914元。

如果按照計(jì)算器算出的8.38%，鄭先生能否實(shí)現(xiàn)250000元的目標(biāo)值呢？

50000×（1+8.38%）20=250007元，只有7元的計(jì)算尾數(shù)差，通過增加小數(shù)保留尾數(shù)，這個(gè)誤差完全可以消除。

方法二：考試設(shè)計(jì)中避免出現(xiàn)需要使用插值法的題目。資金時(shí)間價(jià)值的計(jì)算是考核的重點(diǎn)，插值法僅僅是一種計(jì)算工具，并不是考生必須掌握的技能，完全可以通過題目的設(shè)計(jì)來回避。

方法三：采用折中的方法。教材中仍保留插值法的講授與學(xué)習(xí)，以備各種考試之用。插值法本身并不難理解，掌握這種方法本身也沒有什么壞處，只不過用處不大，不應(yīng)當(dāng)成為資金時(shí)間價(jià)值計(jì)算中的主流方法在教學(xué)或?qū)嵺`中廣泛使用。應(yīng)該增加新的計(jì)算方法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，尤其是智能手機(jī)這樣便捷而強(qiáng)大的工具的使用。