滲透模型思想 發展結構性思維

四川省成都市武侯實驗中學附屬小學 唐 斌 付興容

所謂“高階思維”，是指發生在較高認知水平層次上的心智活動或認知能力；高階思維具有發散性、結構性、主動性、批判性等特質。思維的“結構性”是高階思維的一個重要方面，主要是指有序的、系統的立體化思維方式，具有系統性、遷移性、本質性、創造性等特點。結構性思維，能使方法簡潔、分析深邃、決策高效，問題解決能力強。數學教學中，以結構化教學統整數學結構化知識，培養學生結構性思維。教學中滲透模型思想，以“建模”“用模”“變模”“超模”為具體路徑，發展學生思維系統性、遷移性、本質性、創造性，培養學生 結構性思維，進而發展學生高階思維能力。

一、構建數學模型，從“無形到有形”，優化認知結構，發展系統性思維

例如：暑假到了，瑞瑞一家三口自駕從成都到西昌旅游，距離約是450 千米。他們早上9：30 從家出發，上午11：30 到達名山服務區，汽車行駛了150 千米。休息半小時后按原速繼續行駛，中午吃飯花了一小時，下午6：00 能到達西昌嗎？自駕游已成為現在家庭旅游的交通方式之一，學生在生活情境中會經常遇到此類問題，解決生活中的實際問題更能激發學生學習的內驅力，調動學習的積極性、主動性。學生根據問題及信息梳理問題結構：求結束時間，必須先求經過時間；算經過時間需要路程與速度；但由于題中沒有明確告知汽車行駛的速度，因此需要借助“早上9：30從家出發”“上午11：30 到達名山服務區”這兩條信息先求出經過時間，再用已學習的“路程÷時間=速度”運算模型，算出汽車行駛的速度。接著算出剩下路程所用時間，再算出總共所花的經過時間，最后算出結束時間，與下午6：00 進行比較。學生在解決此問題過程中，構建了新的認知體系，抓速度不變，構建“路程÷時間=速度”關系模型，系統化思考“余下路程所用時間”的新問題。

二、巧用數學模型，由點及面，深化模型內涵，發展遷移性思維

結構化思維，不僅體現數學模型的系統構建，而且表現在模型的靈活運用上，運用已有的模型解決新問題，深化對模型內涵的理解，發展遷移性思維。模型應用，串式思考，縱向延伸，深入分析問題的本質，如倒數在分數除法算法中的應用，進一步探究“倒數”概念的作用，深入體會“倒數”的本質意義；橫向聯系，網狀思考，建立不同問題間的聯系，立體挖掘模型意義，如分數與整數、小數、百分數、比等之間的必然聯系。從“縱”“橫”角度，從點到面，將知識結構內化為思維結構，提高模型的應用能力。

“以一定的邏輯順序整合、內化知識結構，是結構化思維的真諦所在。”例如，《小兔請客》（北師大版一年級下冊），學生觀察情境圖收集數學信息“左邊擺了2 盤果子，右邊擺了3 盤果子，每盤有10 個果子”，提出數學問題：“一共有多少個果子呢？”這是學生第一次接觸超過20 的加法計算。用小棒代替果子，借助學具進行操作，讓學生擺一擺，說一說有多少根小棒。部分學生借助小棒，將“一盤10個”與“一捆10 根”對應，進行“10個10 個地數”，體現了數數模型的運用與遷移：“1 捆有1 個10，左邊的2捆就有2 個10，右邊的3 捆就有3 個10，合起來就有5 個10，也就是50。”數數模型進一步發展到加法計算模型：“因為2+3=5，所以2 個10+3 個10=5個10 也就是50。”借助數的意義“2個10 加3 個10 等于5 個10”，運用“10以內加法”模型，拓展到“10 以上加法”模型，縱向聯系，進一步體現了加法計算法則的內涵“相同的計數單位相加”。由整數加減法，到小數、分數加減法，橫向勾連，都是應用“相同的計數單位相加減”模型進行計算。學生掌握了計算模型，有助于培養學生舊知識解決新問題的思維遷移能力。

學習整十數的加法計算，就是學生學習加法運算的意義，及經歷整數、小數、分數加減法計算算理建模的過程。由一個知識點“2 個10 加3 個10”延伸至一類知識“小數、分數的加減計算”，凸顯出數學知識結構化，便于學生抽象出數學模型——相同的計數單位才能相加減，這便是將一個問題的解決拓展為一類問題的解決，讓學生對數學本質有了全面、深刻的理解，培養學生高階思維能力。

三、變換數學模型，由表及里，拓展模型外延，發展本質性思維

遵循知識間的邏輯關系，把握知識點在知識結構鏈中的具體位置，以“刨根問底”的態度，以問題串形式，由表及里，追尋知識的本質，進而發展本質性思維。立體多向思考，突破模型化的思維定式，破解“套模”，變換模型的不同式樣，建立模型間關系；從不同角度拓展模型外延，進一步理解數學模型的本質。

在建立牢固的知識結構的同時，建立良好的思維結構。如“雞兔同籠”問題，學生學會列表法后，再探討多種方法，拓展問題解決模型，進一步提出問題，以“問”促進思考，優化思維結構。如“還有哪些方法？你覺得哪種方法更簡單？這些方法分別適用于哪些情況？……”學生嘗試其他方法如極端假設法、任意假設法、除減法、盈虧法、比例分配法、布列方程法等，在多種方法的對比中，“以一帶多”，明白此類問題的內涵。改變模型條件，擴大模型外延，運用聯系的思想，由表及里，認識模型本質。引導學生發現“雞兔同籠”問題的多種表現形式，明確問題的本質都是“猜想”“轉化”等數學思想的體現，抓住了本質，方可舉一反三。如三輪與四輪車并存、運貨運費中賠償問題、晴天雨天摘果子問題等，都可以用“同籠”方法解決。由“雞兔同籠”問題基本模型“已知雞兔頭之和與足之和，求雞兔各有多少只”，到變換條件“已知雞兔頭之和與足之差”“已知雞兔頭之差與足之和”“已知雞兔頭倍數與足之差”“已知雞兔頭倍數與足之和”“已知雞兔頭之和與足倍數”等，求“雞兔各有多少只”；如此拓展了“雞兔同籠”的問題解決基本模型，進一步鞏固“假設”“轉化”的數學思想，靈活運用列表法或方程法解決問題，在建立知識結構的同時，優化思維結構，發展解決問題的高階思維 能力。

四、超越數學模型，從有形到無形，深化數學思想，發展創造性思維

再如，一個長方體，如果長增加2 厘米，則體積增加80 立方厘米；如果寬增加3 厘米，則體積增加150 立方厘米，如果高增加4 厘米，則體積增加320 立方厘米。那么原來長方體的表面積是（ ）平方厘米。學生發現以“長方體的表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2”計算模型無法解決此問題，需要運用原始模型——表面積概念“長方體各面面積之和”，部分學生借助畫圖，突破原有的認知結構，借助轉化的數學思想，超越與突破了基本計算模型，找到新的計算方法。根據題目信息間的關系，重新建立“體積÷長=左（右）面面積”“體積÷寬=前（后）面面積” “體積÷高=上（下）面面積”“（左面積+前面積+上面積）×2=表面積”計算結構。雖建立了長方體表面積公式的數學模型，但由于此問題比較抽象，學生的空間觀念不強，因此僅靠讀題無法找到數學信息與問題之間的聯系。畫圖中運用轉化思想把抽象的數學問題用具體、形象、直觀的圖示表示出來，引領學生找到解決問題的關鍵，讓學生感受到“柳暗花明又一村”。運用轉化思想不僅提高了學生解決問題的能力，提高了學生靈活運用數學模型舉一反三的能力，培養了他們的創造性思維，促進高階思維能力發展。

數學課堂教學滲透模型思想，培養學生從混亂中找到順序，從零散中找到關系，從發散中找到核心，從現象中抽象出本質，從變化中學會創造的思維能力，促進學生結構性思維能力的提升，從而發展學生高階思維能力。方法是路徑，思想是靈魂。沒有思想的方法僅是呆板工具；蘊含思想的方法，才有強大生命力！