網格失配下MIMO-STAP稀疏字典構造方法

何 團，唐 波，張 進，張 玉

(國防科技大學電子對抗學院，安徽 合肥 230037)

0 引言

空時自適應處理(Space-Time Adaptive Processing, STAP)技術[1]是用于機載雷達系統在雜波背景下檢測運動目標的關鍵技術。STAP技術的關鍵是獲取待檢測距離單元精確的雜波協方差矩陣。根據RMB(Reed-Mallett-Brennan)準則[2]，要使估計雜波協方差矩陣帶來的雜波抑制性能損失小于3 dB，所需獨立同分布訓練樣本數至少為2倍系統自由度。然而，實際環境中雜波分布往往是非均勻的，使得用于估計雜波協方差矩陣的訓練樣本數很難滿足要求。近年來，稀疏恢復技術被應用到STAP中，只需少量訓練樣本即可實現雜波譜的精確恢復[3-4]。而多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)雷達STAP技術因其能夠實現更好的性能[5-6]，稀疏恢復技術也慢慢擴展到了MIMO雷達中。

稀疏字典對稀疏恢復技術至關重要，但傳統的稀疏字典還存在網格失配問題。當前，國內外眾多學者針對網格失配問題，提出了很多有效的算法。文獻[7]指出為減小網格失配影響，一種比較直接的方法就是增加網格的數量，但網格數過密集會使得計算復雜度顯著增加，且會導致鄰近導向矢量相關性過高，恢復精度急劇下降。文獻[8]結合先驗知識探索了正側視和非正側視條件下的多普勒網格間距調整問題，該方法通過雜波脊線的關系式能夠對網格寬度進行自適應調整。文獻[9]提出了一種參數尋優正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法用來估計網格失配，通過在局部范圍內搜尋最優參數找到與真實導向矢量最匹配的原子。文獻[10]提出了基于局部搜索OMP的網格失配STAP算法，該算法先從全局找到與真實導向矢量最匹配的原子，然后再從局部字典中搜索最優原子。

目前，針對網格失配問題提出的方法都是在網格失配的基礎上，盡力減小網格失配的影響，都沒能從字典源頭上直接避免網格失配問題的產生。因此，本文直接從字典源頭出發，針對MIMO-STAP稀疏方法求解雜波譜時存在的網格失配問題，提出了一種字典構造方法。

1 雜波譜稀疏恢復問題建模

1.1 MIMO雷達雜波信號模型

圖1為機載MIMO雷達正側視條件下的幾何模型[11]，其中φ為雜波塊的俯仰角，θ為雜波塊的方位角，Φ為線陣方向與雜波塊方向所成的空間錐角；V為載機速度，h為載機距離地面的高度。

圖1 機載MIMO雷達幾何模型Fig.1 Geometric model of airborne MIMO radar

設均勻線陣體制下機載MIMO雷達天線發射的各波形滿足正交關系,通過匹配濾波,可以在接收端分離出各個發射陣元信號。發射陣元個數為M，接收陣元個數為N。1個相干處理間隔(Coherent Processing Interval, CPI)內發射K個脈沖，脈沖重復頻率為fr，工作波長為λ；發射陣元間距和接收陣元間距分別為dt和dr(一般為避免柵瓣問題，假定dr=λ/2)。

設φl為第l個距離環的俯仰角，將第l個距離環均勻切分為Nc個雜波塊，θp為第p個雜波塊的方位角。雜波塊的空間頻率為fs，多普勒頻率為fd，則對應的空時導向矢量為：

v(fd,fs) =vd(fd)?vt(fs)?vr(fs)

(1)

式(1)中， ?表示Kronecker積，vt為發射導向矢量，vr為接收導向矢量，vd為時域導向矢量。發射和接收導向矢量分別為：

vt(fs)=[1 ej2πγfs… ej2π(M-1)γfs]T

(2)

vr(fs)=[1 ej2πfs… ej2π(N-1)fs]T

(3)

其中，γ為發射陣元間距與接收陣元間距之比；空間頻率fs與θp、φl關系式為：

fs(θp,φl) =drcosθpcosφl/λ

(4)

時域導向矢量為：

vd(fd)=[1 ej2πfd… ej2π(K-1)fd]T

(5)

多普勒頻率fd與θp、φl的關系式為：

fd(θp,φl)=2Vcos(θp)cosφl/(λfr)

(6)

正側視條件下，雜波脊線各點的多普勒頻率與空間頻率之比為定值，該比值被稱為折疊系數，可由以下式子求得：

(7)

式(7)中，V、dr、fr都可由先驗知識精確得到，故折疊系數β可被精確估計。

則第l個距離單元的雜波信號可表示為：

(8)

式(8)中，σp為第p個雜波塊的回波幅度，v(fd,p,fs,p)為第p個雜波塊的空時導向矢量。

1.2 雜波協方差矩陣的求解

雜波分布在空時二維平面上具有稀疏性[4]，可由超完備字典近似表示為：

(9)

式(9)中，v(fd, i,fs, j)表示空時二維平面上空間頻率為fs, j，多普勒頻率為fd, i時所對應的空時導向矢量，σi,j為其幅度值；ψ為稀疏恢復使用的字典矩陣；σ為待求的稀疏參數矢量。

一般情況下，稀疏恢復的目的就是確定σ，則稀疏恢復問題最終可表示為：

(10)

式(10)中，y為不含目標信號的觀測信號矢量，ε為噪聲帶來的誤差閾值。

在求得稀疏參數矢量σ后，即可求得雜波空時功率譜為：

P=σ⊙σ*

(11)

在求得P后，雜波協方差矩陣可估計為：

(12)

2 克服網格失配的字典構造

2.1 傳統字典缺點分析

如圖2所示，一般情況下，為獲得稀疏恢復所需的傳統字典，需將整個空時二維平面網格化，將所有網格節點對應的空時導向矢量取出組成字典。設Q=NM，將fs和fd分別離散化為Ns格和Nd格，其中Ns=ρsQ，Nd=ρdK，ρs和ρd分別為fs和fd的離散化系數，超完備字典ψ的大小取決于ρs和ρd。目前ρs和ρd尚沒有明確的最優值，只能結合具體問題給出經驗化的取值。

圖2 傳統字典Fig.2 Traditional dictionary

對于MIMO-STAP，為了確保傳統字典空間頻率和多普勒頻率取值范圍將整個雜波脊線覆蓋，字典的空間頻率范圍應滿足：

(13)

式(13)中，fs max、fs min為空間頻率可取的最大值和最小值。

字典的多普勒頻率范圍應滿足：

(14)

式(14)中，fd max、fd min為多普勒頻率可取的最大值和最小值。

空時二維平面橫坐標為多普勒頻率，其單位長度為：

Δfd=(fd max-fd min)/Nd

(15)

縱坐標為空間頻率，其單位長度為：

Δfs=(fs max-fs min)/Ns

(16)

則傳統字典的原子集合可表示為：

S={v(mΔfd,nΔfs)|m=0,±1,…,±Nd/2
n=0,±1,…,±Ns/2}

(17)

稀疏恢復技術在構建MIMO-STAP完備字典時，一般假定離散化后的網格節點與雜波脊線完全對準。然而實際情況下，網格節點與雜波脊線一般并不能完全對準，這就是網格失配問題。網格失配一般有兩種情況：1)正側視條件下雜波脊線的斜率不等于Δfs和Δfd之比；2)非正側視條件下雜波脊線為橢圓曲線，橢圓雜波脊線與網格節點存在偏移。

因為非正側視條件下網格失配問題很難有效解決，且一般機載雷達都在正側視條件下進行目標探測，故本文只考慮解決正側視條件下的網格失配問題。

如圖3所示，在正側視條件下，Δfs和Δfd的比值剛好等于雜波脊線斜率時，雜波脊線可以很好地定位在網格上，此時不存在網格失配，比如雜波脊線l1。當Δfs和Δfd的比值不等于雜波脊的斜率時，就會出現網格失配問題，比如雜波脊線l2。網格失配是目前傳統字典存在的一個較大的問題。為了解決此問題，需要探尋新的字典構造方法。

圖3 正側視條件下網格失配示意圖Fig.3 Schematic diagram of off-grid in side-looking case

2.2 網格失配字典構造方法

正側視條件下，雜波脊線為一條直線，其斜率為：

k=1/β

(18)

折疊系數β可由先驗知識精確得到，故斜率k也可精確得到。

如圖4所示，沿雜波脊線方向及其垂直方向可形成多個網格，每個網格大小完全相同。設雜波脊線方向網格數為K1(K1為偶數)，雜波脊線垂直方向網格數為K2(K2為偶數)。一般來說，為保證恢復精度，K1取值相對要大，K2取值需要根據具體稀疏方法而定。如果稀疏算法只有在原子數較大的條件下才能獲得較好的恢復性能，則K2取值不宜過小。反之，如果稀疏算法在原子數較小的情況下也能獲得較好的恢復性能，則K2可取較小值，此時使用該字典在保證恢復精度的同時，還能極大地提升運算效率。因為考慮到本文字典需要對所有稀疏方法具有普適性，所以直接設定K1與K2相等。

圖4 網格失配字典構造Fig.4 Off-grid dictionary construction

對于單個網格，a，b為兩基向量，基向量a與雜波脊線方向一致，基向量b與雜波脊線方向垂直。不同倍數的基向量相互組合可擴展成多個向量，所有向量的空時二維坐標值即可組成能克服網格失配的字典的空時二維坐標值。

基向量a，b分別為：

(19)

(20)

其中，d1，d2分別為a，b的模值，也就是單個網格的長、寬值。

設雜波脊線總長度為dmax，則

(21)

則基向量a的模值為：

d1=dmax/K1

(22)

基向量b的模值d2可根據實際雜波展寬程度確定，一般d2取值較小。尤其是非理想因素造成雜波展寬時，較小的d2可以提升雜波譜的恢復精度。

在確定兩個基向量模值后，不同倍數的a，b進行組合可得到多個向量，具體表示為：

m·a+n·b

(23)

其中，

m=0，±1，…，±K1/2

(24)

n=0，±1，…，±K2/2

(25)

向量(m·a+n·b)對應的空間頻率為：

(26)

多普勒頻率為：

(27)

則字典原子的空時二維坐標為：

(28)

當m，n取遍所有值時，即可得到本文字典所有的空時二維坐標值。

還值得注意的是，本文字典空間頻率和多普勒頻率的范圍肯定會大于傳統字典。而過大的頻率范圍會對算法恢復性能產生影響，為了保證字典的性能，需要對字典進行削減。

如圖5所示，直接將虛線框內的原子取出組成最終字典，即將空時二維坐標(fd,fs)同時滿足以下式子的原子取出組成最終字典。

(29)

圖5 削減字典Fig.5 Cut back on dictionary

通過對網格失配字典的削減即可使得其空間頻率和多普勒頻率取值范圍不超過傳統字典，從而保證稀疏恢復的精度。

構造克服網格失配字典的步驟可總結如下：

1) 根據機載先驗信息，確定各種參數，由參數確定折疊系數β；

2) 確定基向量a，b兩個方向的網格數K1，K2，并確定基向量a，b的模值d1，d2；

3) 找到所有網格節點，確定所有網格節點的空時坐標值，根據這些空時坐標值獲得空時導向矢量，將所有空時導向矢量取出。

4) 削減所得空時導向矢量集合的范圍，從而得到可有效解決網格失配的字典。

3 仿真分析

均勻線陣體制下的機載MIMO雷達仿真參數如表1所示。

表1 仿真參數

本節將對傳統字典和本文字典在網格失配條件下的性能進行比較。傳統字典ρs取2，ρd取4，即Ns取32，Nd取32。為了比較的公平性，本文字典K1、K2都取32，d2與d1取相同值。

3.1 字典網格節點分布圖

為直觀認識傳統字典和本文字典的原子分布，本小節將β取0.7時兩種字典的網格節點分布圖進行展示。由圖6可以看出，當β取0.7時，雜波脊線不能很好地定位在傳統字典網格節點上，網格失配問題十分明顯。而雜波脊線卻能很好地定位在本文字典網格節點上，不存在網格失配問題。

圖6 字典網格節點分布圖Fig.6 The distribution diagram of dictionary grid node

3.2 輸出SINR比較

為比較傳統字典和本文字典對各稀疏算法雜波譜恢復精度的影響，采用輸出信干噪比(Signal-to-Interference-plus-Noise-Ratio, SINR)作為衡量基準。SINR(無有源干擾時)定義為輸出信號與輸出雜波加噪聲信號能量的比值，具體表示為：

(30)

式(30)中，vt為目標信號矢量，R為雜波協方差矩陣與噪聲協方差矩陣之和。

考慮三種場景來模擬現實環境:1)理想情況下，每個訓練樣本的雜波信號獨立生成，雜波塊的復振幅為滿足復高斯分布的獨立隨機變量；2)存在時域非理想因素，主要考慮雜波內部起伏，采用Ward提出的雜波內部起伏模型[8]。模型的時間自相關函數服從以下分布:

(31)

式(31)中，T為脈沖重復周期，σv為速度標準偏移量，設置為0.2。3)存在空域非理想因素，主要考慮角度獨立的陣列誤差。假設陣列誤差的幅度和相位均為窄帶模型[8]，且幅度誤差和相位誤差分別服從以下均勻分布:

(32)

(33)

設置Δea為0.01，Δep為1°。

圖7中每張圖都包括SBL和LIKES兩種算法分別使用傳統字典和本文字典的輸出SINR曲線。在理想條件下SBL、LIKES算法使用本文字典的輸出SINR性能要遠優于傳統字典。在雜波內部起伏和陣列誤差條件下，SBL、LIKES算法使用本文字典的輸出SINR性能依舊要優于傳統字典。因此，不論是在哪種條件下，存在網格失配時，SBL、LIKES算法使用本文字典的輸出SINR性能都要優于傳統字典。

圖7 不同條件下輸出SINR比較Fig.7 Comparison of the output SINR under different conditions

4 結論

本文提出了一種網格失配條件下MIMO-STAP稀疏字典構造方法。該方法利用先驗知識確定正側視條件下的雜波脊線，然后沿雜波脊線方向及其垂直方向形成網格，將網格節點對應空時導向矢量取出組成并將空間頻率和多普勒頻率超出最大取值范圍的原子去除以得到最終的字典。仿真實驗表明，本文字典能夠有效克服網格失配問題，網格失配條件下稀疏算法使用本文字典的輸出SINR性能要遠優于傳統字典。