基于雅可比矩陣下一種新的證券組合策略

任育澤

（成都理工大學，四川成都 610059）

關鍵字：組合證券；雅可比矩陣；函數相關

一、引言

眾所周知，現代投資組合理論（MPT），以如何分配資金給不同資產來實現收益最大化和風險最小化作為核心問題，以構建投資組合模型來求解不同資產的投資權重作為常用研究方法，不僅是現代金融學的開端，也是現代金融理論的研究動力，無論在理論上還是實踐上都具有重要價值。

MPT自Markowiz開創至今，發展了近70年，取得了眾多成果。大體而言，現有成果主要集中在研究基于改進收益或風險測度的投資組合模型、研究非完美市場下的投資組合模型、研究多階段投資組合模型，研究行為投資組合模型、研究投資組合在其它領域的應用等等。這些成果對發展和完善MPT具有重要作用，為進一步研究和應用投資組合模型提供了參考。

然而，盡管MPT獲得了豐碩的研究成果，但現有成果扔存在著一些缺陷，其中最為主要的便是依靠單一的投資組合模型不能完全分散組合風險，以至于組合投資著仍有可能暴露在巨大的風險之下。

受啟發于FOF基金，在證券市場上運用優秀的投資組合策略構建出組合證券，再從其中選出多支不具備相關性的來進行投資，如此勢必能夠在既定的預期收益下大幅度降低風險。

二、Markowiz投資組合理論

Markowiz的投資組合理論認為，由于投資組合的價值變化是一個隨機過程，所以必須以它的均值來衡量收益，以它的方差來衡量風險。將資金分散投資于不同的證券之上，比全部資產都投在單一證券的風險低，狹義的投資組合理論就是尋找一個收益率一定情況下的風險最小的投資組合。將投資組合中各證券所投金額占總資金的比率作為變量，上述問題就可歸結為一個線性約束下二次規劃問題。

該理論的基本假設為：1所有的投資都是完全可分的；2一個投資者意愿僅在收益率的期望值和方差這兩個測度指標的基礎上選擇投資組合；3投資者事先知道投資收益率的概率分布，并收益率滿足正態分布的條件；4投資者更傾向于高期望收益和更低方差的投資組合。

為此Markowiz專門提出了均值方差模型來刻畫風險，資產組合的方差包括每個資產的方差和資產間的協方差。證券收益率之間的關系可以用相關系數或協方差來表示，風險用收益率的方差來刻畫，在n支證券(r1,r2,…,rn)下，上述內容可用數學語言可表示為：

是ri,r之間的協方差，

組合的標準差應滿足

使用矩陣表示為

稱 ωi(ω1,…,ωn)′為組合， μω=ω′μ 為組合的收益，σω=為組合的風險，這樣均值方差證券組合的選擇問題就變為

這是一個二次規劃問題，不難看出，構成組合的證券收益率之間相關性越小，投資組合的風險越小。但是難點在于在當今的金融市場環境下，尋找不具備相關性的證券是極其困難的，甚至連它們是否線性相關，相關性有多少，僅僅依靠現有的手段，也很難做出具體的分析。也正因為此，該方法存在缺陷。因此，首先需要解決如下問題：1確立一種策略，保證在該策略下存在相關性為零的“證券”；2尋找一種判定方法，能夠有效判斷“證券”之間的函數相關性。

三、對組合證券的再組合

鑒于依靠單一的投資組合可能難以有效分散風險，從而有必要對投資組合進行再組合，以期進一步分散風險，提高投資組合的有效性。因此，下文提出一種新的策略來構建組合證券并利用雅可比矩陣進行甄別。

今假設當前存在n支證券(r1,r2,…，rn)，并針對這n支證券采用不同的投資策略，每一個投資策略會得到在該策略下最優的一個投資組合，我們稱其為組合證券，這個組合的期望收益會是一個函數yi，這樣就可以得到在自變量(r1,r2,…，rn)下的一個函數組

因為雅可比矩陣可以判定函數組的相關性，無論該相關性是線性的還是非線性的。所以此時，只要用雅可比矩陣來判定它們，便可以甄選出不具備相關性的組合證券，這在數學上顯然是可行的。

但是此時該方法還有一個隱患，即是否對n支任意用不同策略構建的組合證券，它們之間的收益函數都是函數相關或者函數無關的。如果若是這樣的話，本文所提出的這種方法將變得毫無存在的意義，因為根本沒有判別的必要性。為此，首先證明該方法的存在性。

3.1 該測度方法的存在性證明

要證明的是，對n支任意用不同策略構建的組合證券，它們之間的收益函數既有函數相關的，也有函數無關的。欲證明該理論，必須要知道當函數組的雅可比矩陣表現為什么形式時才會代表函數無關或者相關。為了便于證明，此處以方陣為例。

假定因變量y1,y2,…,yn對自變量x1,x2,…,xn連續可微，而自變量x1,x2,…,xn對新變量z1,z2,…,zn連續可微，則可以得到因變量y1,y2,…,yn對新變量z1,z2,…,zn連續可微，且

若上式中z對y也是連續可微的，則由上式可知

顯然它的系數矩陣就是n×n的雅可比矩陣，于是聯立以此為系數行列式的線性方程組中能把dx1,dx2,…,dxn解出來，而且

其中t為線性函數。由隱函數存在定理可知，在y1,y,…,yn對x1,x,…,xn連續可微的前提下，只須

便足以保證 x1,x,…,xn也對 y1,y,…,yn連續可微。這樣，連續可微的函數組便在雅可比行列式不等于零的條件下，在每一對相應點y與x的鄰近范圍內建立起點與點之間的一個一對一的對應關系，這就說明了yi之間不具備函數關系，否則x和y之間便不可能是一一對應的關系。

要證明的是，并非任意策略構建出的組合證券都是函數相關或者函數無關的。首先給出變量的定義：

①Y(y1,…,yn)：其中yi表示用策略i構建的組合證券的收益；②X(x1,…,xn)：其中xk是第k支證券從時間t=0到t=T這段時間的收益率，由于t=0的價格是已知的，而t=T的價格是一個隨機變量，故而xk是一個隨機變量； ③ωi(,…,)：用策略i構建的組合證券中對各個xi的購買比率，因此顯然有+…+=1。

根據前文討論，只需證明：

不成立或者

恒成立，則對任意D1,…,Dn，都能找到合適的 τ1,…,τn，且 τ1,…,τn不全部為零，有

可以寫成

當其不為方陣時，需要證明的是矩陣的秩k=n，即只需要證明矩陣中有n個線性無關的向量，由上面的證明可知確實存在這種情況。

3.2證明該方法較一般的投資組合更有優越性

按照3.1的方法，總可以找出一組不具備相關性的組合證券 f1,f2,…,fm，其收益函數為y1,y2,…,ym，收益的協方差矩陣為

根據投資者的需求，運用投資策略作用于這一組組合證券，可以得到在第i支組合證券上的投資比例為 ωi(i=1,2,…,m)，且1=，其收益函數記為雅可比收益函數J=ωiyi，根據公式（2-3），其風險函數為+…+.需要證明的是，存在一組 ωi，使得}.這就說明這種新的投資策略存在這樣一種可能，在相同收益的情況下，風險小于當前任意一種投資策略。

由收益函數的線性，顯然有min{y1,y2,…,ym}≤J≤max{y1,y2,…,ym}.由于 yi是系列滿足預期的收益函數，上下界之間不會有太大差距，這就說明J應該也是在投資者的預期收益區間的。

不妨令σ1<σ2，根據二次函數性質，容易得到結論

同組合證券個數為2的情況，可得

同組合證券個數為3的情況，可得

依次進行下去，由強數學歸納法，可以得到結論，在收益相差無幾的情況下，新的投資組合可能比現存任意一種投資策略下的組合證券風險都低。

四、仿真算例

以上證行業指數的000032、000033、000036為例，從2016年11月4日到2018年7月23日，其期望收益率為μ=(0.75 0.84 0.85)T

收益率的協方差矩陣為

先以投資者追求最小風險為策略來計算它的最優組合下的收益率和風險。將數據帶入公式（2-5），可以得到

在該情況下組合向量為

ω=(0.5472 0.0458 0.4070)T

可見最小風險為0.7667，此時的收益率為0.7948.

以對數效用函數為策略構建組合證券，將數據代入公式（見參考文獻1）

可得A=1.3102；B=1.0413；C=0.8460；D=0.0241.

帶入

可得

ω=(0.381 0.184 0.435)T

在該策略下組合的風險為0.7918，期望收益率為0.8101.

以指數效用函數為策略構建組合證券，將數據代入公式（見參考文獻2）

k為風險厭惡系數（大于零為風險厭惡，這里取k=4），進一步代入公式

可得ω=(-3.6080 3.5064 1.0996)T

在該策略下組合的風險為9.4123，期望收益率為1.1740

以基于雅可比方法的投資組合理論求解，按3.1可知，收益函數的雅可比矩陣為

秩為2，所以組合證券函數無關，所以組合證券的協方差矩陣為

我們對這兩支組合證券進行組合，令投資第一支組合證券的權重為w，有

σ2=0.7918ω2+9.4123(1-ω)2

當組合風險最小時，有ω=0.9224，最小風險為0.7303，期望收益率為0.8383.可以看出，如果單純從風險和收益的角度來考慮，本文這種策略是效用最大的。

圖1

五、結束語

盡管當前投資組合策略層出不窮，但是它們都未能克服Markowiz投資組合理論的局限性，即當前金融市場上證券之間相關性極高，線性相關不能刻畫證券之間的相關關系等弊端。本文另辟途徑，將組合證券和雅可比矩陣納入到投資組合的研究框架，理論研究和實證結果表明，進一步降低風險，為克服證券之間相關性過高，相關性難以準確度量提供了可行路徑，無論是在理論上還是在時間上都具有參考價值，不僅解決了這一系列問題，甚至從3.2的證明中可以看出，本文所提出的這一方法可以對任何組合進行再優化。