二維介電光子晶體中的贗自旋態與拓撲相變*

王彥蘭 李妍

(曲阜師范大學物理工程學院, 曲阜 273165)

基于背散射抑制且對缺陷免疫的傳輸性質, 光子拓撲絕緣體為電磁傳輸調控提供了一種新穎的思路.類比電子體系中的量子自旋霍爾效應, 本文設計出一種簡單的二維介電光子晶體, 以實現自旋依賴的光子拓撲邊界態.該光子晶體是正三角環形硅柱子在空氣中排列而成的蜂窩結構.將硅柱子繞各自中心旋轉60°, 可實現二重簡并的偶極子態和四極子態之間的能帶翻轉.這兩對二重簡并態的平均能流密度圍繞原胞中心的手性可充當贗自旋自由度, 其點群對稱性可用來構建贗時間反演對稱.根據 微擾理論, 給出了布里淵區中心附近的有效哈密頓量以及對應的自旋陳數, 由此證實能帶翻轉的實質是拓撲相變.數值計算結果揭示, 在拓撲非平庸和平庸的光子晶體分界面上可實現單向傳輸且對彎曲、空穴等缺陷免疫的拓撲邊界態.本文中的光子晶體只由電介質材料組成并且晶格結構簡單, 實現拓撲相變時無需改變柱子的填充率或位置, 只需轉動一個角度.因此, 這種結構在拓撲邊界態的應用中更為有效.

1 引 言

量子霍爾效應 (quantum Hall effect, QHE)[1,2]的發現開啟了凝聚態物理以拓撲相和拓撲相變作為核心概念的新篇章.在拓撲性不同的系統分界面上, 存在受體拓撲性保護且對缺陷免疫的單向傳輸量子態, 這在自旋電子、量子計算等領域有著廣泛的應用前景[3?6].但是, 到目前為止, 已被證實具有非平庸拓撲性的電子系統是非常有限的, 而且大部分電子系統的拓撲性質都需要非常低的溫度, 這阻礙了人們對拓撲態的研究和應用.與凝聚態物理中的電子體系相比, 光子晶體、聲子晶體等人工周期性結構在晶格結構設計、缺陷調控等方面具有更高的自由度, 這對拓撲現象的研究與應用非常有利.在過去十幾年中, 基于拓撲能帶論的拓撲光子學研究[7?28]和拓撲聲子學研究[29?34]不斷發展.2008年,受電子系統中QHE的啟發, Haldane和Raghu[7]從理論上指出, 在時間反演對稱性(time-reversal symmetry, TRS)破缺的電磁波系統中可實現單向傳輸的手性邊界態.隨后, Wang等[8,9]在二維磁性光子晶體中利用材料的旋磁特性進行相關研究, 構建出陳數不為零的拓撲絕緣體, 從實驗上證實了手性邊界態的存在.Skirlo等[10,11]在鐵磁光子晶體中, 通過同時打破線性Dirac簡并點和非線性簡并點而獲得陳數大于1的拓撲絕緣體以及相應的多重單向傳輸態.上述基于QHE的光子拓撲邊界態在光學耦合腔[12]、磁性光子晶體板[13]等不同系統中也先后被實現.但是, 自然界中具有磁光響應特性的材料稀少并且磁光響應需要較強的磁場, 這給光子QHE的實現帶來較大困難.而受拓撲保護的電磁波傳輸若具有TRS, 則更有利于應用到半導體等技術中.為此, 人們類比電子體系中的量子自旋霍爾效應 (quantum spin Hall effect, QSHE), 開始致力于實現光子QSHE的研究, 以獲得受TRS保護的螺旋邊界態[14?17,23?26].眾所周知, 在自旋為1/2的電子系統中存在受TRS保護的Kramers簡并, 即能量的二重簡并態, 它由自旋向上態和自旋向下態組成.源于電子內稟自旋的Kramers簡并對于螺旋邊界態的實現至關重要[3?6], 但光子是玻色子, 不具有這種獨特的內稟屬性.近年來, 諸多研究將贗自旋作為光子內稟自由度, 采用不同的方法構建光子Kramers對, 以實現自旋依賴的光子拓撲邊界態[14?17].例如, 在電磁耦合超材料中利用橫向電場 (transverse electric, TE)與橫向磁場(transverse magnetic, TM)偏振自由度構建贗自旋態[14,15], 在壓電-壓磁超晶格光子晶體中利用左旋圓偏振與右旋圓偏振模擬電子自旋[16], 在環形諧振腔所組成的周期性耦合陣列體系中通過控制電磁波在諧振腔中的傳播方向來獲得光子自旋[17]等.與凝聚態物理中的Floquet拓撲絕緣體類似,通過在光子哈密頓量中引入時間調制或等效于時間的調制, 也可以獲得獨特的拓撲特性, 這類光Floquet拓撲絕緣體已在光學諧振腔耦合陣列[18]、螺旋形波導陣列[19]等體系中相繼被實現.研究表明, 在三維光子晶體系統中也可實現三維光子QHE、三維光子QSHE等, 從而獲得三維k空間中的非平庸帶隙以及相應的二維拓撲界面態[20?22].

如文獻[14?17]所述, 對于光子QSHE的實現, 無論是利用電磁波的偏振自由度還是利用電磁波在諧振腔中的耦合, 往往都需要雙各向異性或者具有電磁耦合等特殊性質的材料, 并且晶格結構相對復雜.最近幾年的研究表明, 通過晶格對稱性的調控, 只用普通的介電材料即可在光子晶體中實現自旋依賴的拓撲邊界態[23?26].這種方案最早由Wu和Hu[23]在2015年提出.他們在由傳統介電材料組成的蜂窩狀光子晶體結構變形為三角晶格結構的過程中, 實現了帶隙從打開到關閉再到打開的拓撲相變, 這種拓撲相變與二重簡并的偶極子態和四極子態(也被稱為p態和d態)在布里淵區中心的能帶翻轉有關.基于晶格對稱性構建贗自旋態的這一物理思想不僅適用于布里淵區中心, 而且在布里淵區邊界的角點處也適用, 這極大地促進了光子谷量子霍爾效應[27,28]的研究與應用.

在利用布里淵區中心G點的兩對二重簡并態來構建光子贗自旋時, 大多數研究討論的是TM模式, 并且需要改變散射體的填充率或者改變散射體在原胞中的位置, 才能實現拓撲相變.與之不同, 本文設計了一種蜂窩狀光子晶體結構, 只需旋轉散射體, 即可實現TE模式的拓撲相變以及贗自旋依賴的拓撲邊界態.首先, 介紹兩種具有C6v對稱性的蜂窩狀光子晶體結構, 分別稱為P型和N型光子晶體, 并計算出對應的能帶結構.結果顯示, 在散射體旋轉前后, G點的兩對二重簡并態,即p態和 d態, 發生能帶翻轉.然后, 分析 p態和d態的對稱性, 構建出贗時間反演對稱算符和贗自旋態.利用 k ·p 方法, 以贗自旋態為一組完備基,獲得了G點附近的有效哈密頓量, 并由此計算出兩種晶體的自旋陳數.結果證實p態和d態的能帶翻轉實質上是一種拓撲相變.最后, 通過數值模擬證實, 在P型和N型光子晶體分界面上存在背散射抑制且對缺陷免疫的拓撲邊界態.

2 光子晶體中的能帶翻轉與拓撲相變

2.1 光子晶體系統

如圖1(a)所示, 將兩個正三角環形硅柱子組成一個“人工原子”(圖1(a)中用紫色標記), 讓“人工原子”在空氣中按三角晶格結構排列, 每一個硅柱子中心均位于六角蜂窩結構的格點上, 并且其朝向與晶格點陣的高對稱方向重合.因此, 整體上構造出與石墨烯晶格結構[35]類似的六角蜂窩狀光子晶體.在這里, 取晶格常數為a, 硅柱子相對空氣的介電常數和磁導率分別為 εr=12 和 μr=1 , 其橫截面上內外正三角形頂點到中心的距離分別為相鄰硅柱子中心的相對距離為將圖1(a)中所有硅柱子繞各自中心轉動60°后, 得到另一種蜂窩結構的光子晶體, 如圖1(b)所示, 對應的“人工原子”在圖中用橙色標記.

將圖1(a)和圖1(b)所示結構分別稱為P型和N型光子晶體.在這兩種光子晶體中, 所有硅柱子的朝向都與六角蜂窩晶格點陣的高對稱方向一致, 這使得整個晶體結構具有C6v對稱性.根據群論, 這兩種晶體在布里淵區中心上的任意一個本征態均對應C6v點群中的一個不可約表示, 其中有兩個二維不可約表示, 分別稱為 E1和 E2不可約表示.E1表示對應的本征態對于x軸和y軸的鏡像操作具有相反的宇稱, 而 E2表示對應的本征態對于x軸和y軸的鏡像操作具有相同的宇稱.換言之,E1和 E2表示對應的本征態在空間反演操作下分別具有奇宇稱和偶宇稱對稱性.此外, 這兩個二維不可約表示所對應的本征態都是二重簡并的.基于上述性質, 可以由 E1和 E2表示所對應的本征態構建出兩對二重簡并的贗自旋態, 并由C6v中的基本操作組合出一個反幺正算符 Ts, 滿足=?1.Ts與電子體系中的TRS相似, 保證了光子體系中的Kramers簡并, 對應的具有贗自旋的光子可類比為自旋為 1 /2 的費米子.但是需要指出的是, 光子是玻色子, 其“費米子”特性與所設計的蜂窩結構對稱性息息相關.

圖1 二維光子晶體的蜂窩結構示意圖 (a) 由兩個正三角環形硅柱子所組成的“人工原子”(圖中用紫色標記)在空氣中排列而成的三角晶格結構; (b) 與(a)相同, 但組成“人工原子”的兩個硅柱子繞各自中心轉動60°(圖中用橙色標記).a 為晶格常數, a 1 和 a 2 為晶格基矢, 硅柱的相對介電常數 εr=12 和相對磁導率 μr=1 , 內√外正三角形的頂點到硅柱中心的距離分別為 r1=0.2a/和 r2=0.45a/,相鄰硅柱中心的相對距離為 L =a/, 紅色正六邊形所標記的區域表示三角晶格的原胞Fig.1.Schematics of the honeycomb structure of two-dimensional photonic crystals: (a) Triangular lattice structure of “artificial atoms” composed by two equilateral-triangle-ring-shaped silicon rods, which are labeled by purple in the figure, embedded in an air host; (b) the same as panel (a), except that the silicon rods are rotated by 60°around their respective centers, the corresponding “ artificial atom” is labeled by orange in the figure.a 1 and a2 are unit vectors with length a as the lattice constant.The relative permittivity and permeability of silicon rods are εr=12 and μr=1 , respectively.The distance from the vertices of the inner and outer equilateral triangles to the center √ of the silicon rod are r1=0.2a/ and r2=0.45a/, respectively.The distance be√tween the centers of the neighboring silicon rods is L =a/.Red hexagons represent the unit cells of the triangular lattices.

2.2 能帶翻轉與拓撲相變

考慮二維光子晶體中的TE模式, 即磁場平行于硅柱子的軸向, 只有z分量 Hz, 而電場在平面內, 具有 x 分量 Ex和 y 分量 Ey的情形.由 Maxwell方程組可知, Hz滿足以下波動方程:

其 中 εr(r)= ε(r)/ε0和 μr(r)= μ(r)/μ0分 別 表 示相對介電常數和相對磁導率,是真空或空氣中的光速.與電子晶體類似, 二維光子晶體具有周期性, 波動方程(1)的解應滿足布洛赫定理, 即

其中 unk(r) 是與晶格結構具有相同周期性的周期性函數.上述布洛赫函數所對應的本征頻率 ωnk與布洛赫波矢k之間的關系即為色散關系, 又稱為光子晶體的能帶結構.布洛赫函數 Ψnk(r) 滿足的正交關系為

其中 ? 表示原胞面積, 積分遍及整個原胞; δlj是克羅內克函數.

求解波動方程的方法有很多, 可以利用一種基于有限元方法的商業軟件COMSOL Multiphysics求波動方程的解, 從而得到光子晶體的本征態和能帶結構.圖2(a)和圖2(b)分別給出P型和N型光子晶體的能帶結構.由圖2可知, 在G點有兩個二重簡并點, 對應本征態的磁場分布如插圖所示.顯然, 其中一對二重簡并態是兩個偶極子態, 而另一對二重簡并態則是兩個四極子態.偶極子態和四極子態相伴出現, 并且二者與電子系統中的p, d軌道對稱性是相同的, 因此可將偶極子態和四極子態分別稱為p態和d態.兩個簡并的p態關于x軸和y軸的鏡像操作有相反的宇稱, 而兩個簡并的d態關于x軸和y軸的鏡像操作有相同的宇稱.這與前面對晶格對稱性的分析相一致, p態對應二維不可約表示 E1, d態對應二維不可約表示 E2.將p態中關于x軸和y軸分別具有偶宇稱和奇宇稱對稱性的本征態記為 px態, 另一個記為 py態; 將 d 態中關于x軸和y軸同時具有偶宇稱對稱性的本征態記為 dx2?y2態, 另一個記為 dxy態.

圖2 能帶結構與不可約表示 E 1 和 E 2 所對應的本征態 (a) P 型光子晶體的帶結構; (b) N 型光子晶體的帶結構.(a), (b) 中的插圖給出G點的二重簡并偶極子態(圖中標記為 px/py )和二重簡并四極子態 (圖中標記為 dx2?y2/dxy )的磁場分布, 深紅色和深藍色分別表示磁場 H z 的正負最大值, 旋轉硅柱子后發生了能帶翻轉; (c) P型光子晶體中偶極子態的平均能流密度分布;(d) P型光子晶體中四極子態的平均能流密度分布, 箭頭顯示能流密度的大小和方向.在原胞中心附近, 能流密度具有逆時針和順時針圓偏振特性, 反映出贗自旋向上和贗自旋向下的取向性Fig.2.Band structures and the eigenstates for E 1 and E 2 irreducible representations: (a) Band structure of P-type photonic crystal; (b) band structure of N-type photonic crystal, the insets of (a) and (b) show the magnetic field distributions of the twofold degenerated dipolar state (marked as px/py ) and the twofold degenerated quadrupolar state (marked as dx2?y2/dxy ) at G point,and the positive and negative maxima of the magnetic field, H z , are represented by dark red and dark blue, respectively, band inversion takes place under the rotation of the silicon rods; (c) real-space distributions of the time-averaged Poynting vector for the dipolar states in P-type photonic crystal; (d) real-space distributions of the time-averaged Poynting vector for quadrupolar states in P-type photonic crystal; the arrows show the direction and magnitude of the Poynting vector, whose anticlockwise/clockwise circular polarization around the unit cell center reveals the pseudospin-up/pseudospin-down orientation.

雖然P型和N型光子晶體在G點都出現p態和d態, 但兩種本征態的相對位置不同.在P型光子晶體中, p態的頻率低于d態的頻率; 但在N型光子晶體中, p態的頻率高于d態的頻率.這說明通過旋轉散射體可實現能帶翻轉, 而能帶翻轉前后所對應帶隙的拓撲性不同.能帶翻轉前, p態和d態之間的帶隙是拓撲平庸的; 而能帶翻轉后, 二者之間的帶隙是拓撲非平庸的.換言之, 將光子晶體由P型變為N型時發生了拓撲相變, 后面的討論會進一步驗證這一結論.這里需要注意的是, 兩種晶體的能帶結構除了發生能帶翻轉以外, 還具有共同的完全帶隙, 這為實現拓撲邊界態提供了非常有利的條件.

3 贗時間反演對稱性與贗自旋態

在圖1所示的系統中, 除了Maxewll方程所反映的TRS以外, 還隱藏著與晶體C6v對稱性相關的贗時間反演對稱性.根據群論, 三角晶格中二維不可約表示 E1和 E2的基函數分別為 ( x,y) 和它們與態具有相同的對稱性[23].以 ( x,y) 為基函數, 轉動 θ 角所對應的矩陣表示為

定義一個幺正算符

其中 σy是泡利矩陣.以為基函數, 轉動 θ 角所對應的矩陣表示為

可以驗證

由上述分析可知, 在所設計的光子晶體系統中, 對于 E1和 E2模式均有=?1.這與電子系統中TRS的性質是相同的, 保證了晶體在G點出現Kramers 簡并.因此, 稱 (7)式所定義的算符 Ts為贗時間反演算符, 晶體對稱性在構建贗時間反演對稱性時起到很關鍵的作用.

在P型和N型光子晶體中, 定義贗自旋態為

以 ( p+,p?) 為基函數的表象與以 ( px,py) 為基函數的表象之間的幺正變換矩陣為

因此, 以 ( px,py) 為基函數時, (5) 式所定義的算符相應地變為

由 (13)式可知, 波函數 ( p+,p?) 是兩個對應不可約表示 E1的贗自旋態, 在贗時間反演操作下, 贗自旋向上的 p+態變為贗自旋向下的 p?態, 反之亦然.顯然, 對于 ( d+,d?) 有相同的結論, 二者分別表示與不可約表示 E2對應的贗自旋向上和贗自旋向下的態.

為觀察p態和d態的贗自旋性, 計算出兩種本征態的能流密度時間平均值 〈 S〉=Re[E ×H?]/2.圖2(c)和圖2(d)分別給出P型光子晶體中贗自旋偶極子態和贗自旋四極子態的平均能流密度分布.在原胞中心附近, 平均能流密度呈逆時針圓偏振或順時針圓偏振分布, 即顯示出左旋手性或右旋手性, 對應贗自旋向上或贗自旋向下.

4 有效哈密頓量與自旋陳數

為理解圖2所示的兩種晶體帶隙的拓撲性質,下面根據 k ·p 微擾理論[23,36,37]得到G點附近的有效哈密頓量, 并計算出對應的自旋陳數.設G點的四個本征態為 Γα(α =1,2,3,4) : Γ1=px, Γ2=py,Γ3=dx2?y2, Γ4=dxy.由 k ·p 微擾理論可知, 在G點附近, 任意k點的本征態 Ψnk(r) 均可展開為Γα(α =1,2,3,4)態的線性組合, 即

將(14)式代入(1)式, 并利用基函數 Γα的正交關系可得G點附近的有效哈密頓量為

當以 ( p+,d+,p?,d?) 為一組完備基時, G點附近的有效哈密頓量為

方程(18)所描述的有效哈密頓量與Bernevig-Hughes-Zhang模型中描述CdTe/HgTe/CdTe量子阱系統的有效哈密頓量形式類似, 由此可知,所設計的光子系統會因能帶翻轉而出現光子的QSHE.為進一步驗證這一結論, 需要計算出兩種帶隙所對應的自旋陳數[4,23,38].由方程(18)得自旋陳數為

對于圖2(a)中所示的P型光子晶體, M >0 ,B<0, 因此 C±=0 , 這說明對應的帶隙是拓撲平庸的; 對于圖2(b)中的 N型光子晶體, M <0 ,B<0, 因此 C±=±1 , 對應的帶隙是拓撲非平庸的.由此可見, 通過旋轉散射體, 基于能帶翻轉可實現由平庸態到非平庸態的拓撲相變.

5 贗自旋依賴的拓撲邊界態

5.1 超原胞與拓撲邊界態

由前面的分析可知, 在P型和N型光子晶體分界面上會出現自旋依賴的拓撲邊界態.為證實拓撲邊界態的存在, 計算出由拓撲非平庸和拓撲平庸光子晶體所構成的超原胞的投影帶結構, 結果如圖3(b)所示.在投影帶結構中, 除了兩種晶體的體態(圖3中用黑點標注)以外, 在共同帶隙中還存在著非體態(圖3中用紅點標注).計算紅點所對應的本征場分布后發現, 它們的磁場主要局域在兩種晶體的分界面上, 在晶體內部會迅速衰減.這說明圖3(b)中紅點表示邊界態的色散關系.需要注意的是, 邊界態的色散關系在G點有微小的帶隙, 這是因為C6v對稱性在兩種晶體的分界面上受到一定程度的破壞, 但這并不影響對應結構的拓撲性質.在圖3(b)中取兩點C和D, 即 k//=±0.02×π/a ,所對應的磁場和平均能流密度在超原胞下分界面上的分布如圖3(c)和圖3(d)所示.顯然, C 和D兩點的平均能流密度分別呈逆時針和順時針分布, 這與贗自旋向上態和贗自旋向下態的手性特征相符合.根據邊界態的手性可知, 在圖3(a)所示體系的上邊界上同時存在兩種邊界態: 向右傳輸的贗自旋向下態和向左傳輸的贗自旋向上態; 在下邊界上也同時存在兩種邊界態: 向左傳輸的贗自旋向下態和向右傳輸的贗自旋向上態.

圖3 投影帶結構與拓撲邊界態 (a) 由拓撲非平庸和拓撲平庸光子晶體所組成的條帶形的超原胞結構示意圖; (b) 超原胞沿ΓK方向的投影帶結構, 條帶形的超原胞中間有20個非平庸原胞, 其兩端各有10個平庸原胞, 紅點和黑點分別表示邊界態和體態; (c) C點所對應的磁場和平均能流密度在超原胞的下分界面上的分布; (d) 與圖(c)相同, 但對應的是圖(b)中的D點; 紅色和藍色分別代表磁場 Hz 的正負最大值, 箭頭顯示能流的大小和方向Fig.3.Project band structure and topological edge states: (a) Schematic of a ribbon-shaped supercell composed of topologically nontrivial crystal with its two edges cladded by topologically trivial crystals; (b) dispersion relation along GK direction for the ribbonshaped supercell, the ribbon has 20 nontrivial unit cells in the middle and 10 trivial unit cells on both sides, the red and black dots display the edge and bulk states, respectively; (c) distribution of the magnetic field and time-averaged Poynting vector around the lower interface of the supercell, corresponding to point C indicated in panel (b); (d) the same as panel (c), but corresponding to the point D indicated in panel (b); the positive and negative maxima of the magnetic field, Hz , are represented by dark red and dark blue, respectively, and the arrows show the direction and magnitude of the Poynting vector.

5.2 拓撲邊界態的單向傳輸性

將蜂窩狀晶格結構沿不同方向裁剪, 可以得到兩種典型的邊界, 即zigzag型和 armchair型[35].因此, 將P型和N型光子晶體放在一起會形成兩種典型的分界面: zigzag型分界面和armchair型分界面(圖4).在這兩種典型分界面上都會出現單向傳輸且對缺陷免疫的拓撲邊界態.

圖4 P 型和 N 型光子晶體的兩種典型分界面 (a) zigzag型分界面; (b) armchair型分界面Fig.4.Two typical interfaces between P-type and N-type photonic crystals: (a) Zigzag interface; (b) armchair interface.

為了在拓撲性不同的晶體分界面上激發單一贗自旋的拓撲邊界態, 采用由八個天線所組成的手性類點源.如圖5(a)所示, 這八個天線均勻分布于半徑 R ≈0.03a 的圓上, 并且相鄰天線間的相位差為 π /4.當八個天線的相位逆時針減小時, 它們在空氣中所激發的磁場分布如圖5(b)所示, 對應的手性類點源可激發贗自旋向上的拓撲邊界態; 當八個天線的相位順時針減小時, 它們在空氣中所激發的磁場分布如圖5(c)所示, 對應的手性類點源可激發贗自旋向下的拓撲邊界態.在圖5(d)中, 將相位逆時針減小的手性類點源置于zigzag型分界面中部, 激發頻率 f ≈0.95c/a.顯然, 此類點源所激發的電磁波在兩種晶體內部迅速衰減, 這是由激發頻率位于兩種晶體的共同帶隙之中所導致的.在晶體分界面上, 此類點源只能激發贗自旋向上的邊界態, 因此電磁波只能向左傳輸, 而向右傳輸的電磁波幾乎為零.與之相反, 將相位順時針減小的手性類點源置于zigzag型分界面中部時, 電磁場只能向右傳輸, 對應贗自旋向下的拓撲邊界態(圖5(e)).圖6給出armchair型分界面上的邊界態.由圖6可知, 相位逆時針減小的手性類點源所激發的電磁波只能向下傳輸, 而相位順時針減小的手性類點源所激發的電磁波只能向上傳輸.上述數值模擬結果表明, 在所設計的兩種光子晶體分界面上, 可以出現贗自旋依賴的單向傳輸拓撲邊界態.

圖6 贗自旋依賴的邊界態沿 armchair型分界面的單向傳輸 (a) 相位逆時針減小的手性類點源所激發的電磁波沿armchair型分界面向下單向傳輸; (b) 相位順時針減小的手性類點源所激發的電磁波沿armchair型分界面向上單向傳輸; 圖中結構的四周包圍著完美匹配層; 手性類點源頻率為 f ≈0.95c/a , 白色圓標記源的位置, 其中的黑色箭頭表示源的相位減小方向; 豎直方向的白色箭頭表示邊界態的傳輸方向Fig.6.Unidirectional propagation of the pseudospin-dependent edge states localized at the armchair interface:(a) Downward unidirectional electromagnetic wave propagation excited by the point-like chiral source with an anticlockwise phase delay along the armchair interface;(b) upward unidirectional electromagnetic wave propagation excited by the point-like chiral source with a clockwise phase delay along the armchair interface.The structures are surrounded by the perfectly matched layers.The point-like chiral sources are marked as white circles with operating frequency f ≈0.95c/a , and their phase delay directions are represented by black arrows.The white arrows along the vertical direction indicate the propagation directions of the edge states.

5.3 拓撲邊界態的魯棒性

拓撲邊界態的一個重要特性是魯棒性, 即拓撲邊界態對缺陷免疫.為驗證利用設計的光子系統所實現的拓撲邊界態具有魯棒性, 將P型和N型光子晶體拼接到一起, 形成含有四處 90?彎曲的分界面 (圖7(a)).頻率 f ≈0.95c/a 的平面電磁波從體系的左側入射, 結果顯示邊界態幾乎沒有反射地向前傳輸, 即使分界面上有四處 90?的彎曲.在圖7(b)中, 將兩個硅柱子從分界面上移走, 同樣讓平面電磁波從左側入射, 可以發現邊界態幾乎不受這種空穴缺陷的影響, 仍然可以無反射地向前傳輸.由此可知, 在P型和N型光子晶體的分界面上, 拓撲邊界態對彎曲、空穴等缺陷免疫, 具有很好的魯棒性.

圖7 拓撲邊界態的魯棒性 (a) 頻率 f ≈0.95c/a 的平面波入射到由P型和N型光子晶體組成的系統中所激發的磁場分布; (b) 與(a)圖相同, 但在分界面上引入空穴缺陷(圖中用橢圓形標出).圖中結構的四周包圍著完美匹配層, 紅色箭頭表示入射方向, 拓撲邊界態對分界面上的彎曲、空穴等缺陷免疫Fig.7.Robustness of the topological edge states against defects: (a) Magnetic field distribution under the excitation of a plane wave with operating frequency f ≈0.95c/a in the system consisting of P-type and N-type photonic crystals;(b) the same as panel (a), except that a cavity defect (displayed by ellipse) is introduced into the interface.The structures are surrounded by the perfectly matched layers.Red arrows represent the incident directions.The topological edge states are immune to various defects including sharp bend and cavity at the interface.

6 結 論

將正三角環形硅柱子在空氣中排列成蜂窩結構, 通過旋轉散射體在G點實現了二重簡并p態和二重簡并d態之間的能帶翻轉.利用p態和d態的C6v點群對稱性, 構建出該光子體系中的贗時間反演對稱性, 并獲得贗自旋向上態和贗自旋向下態.贗時間反演對稱性與晶體對稱性息息相關,它與電子體系中真實的時間反演對稱性類似, 滿足正是這種贗時間反演對稱性保證了對應光子體系中的Kramers簡并.基于晶體對稱性的贗自旋態可用來實現光子體系中的QSHE.采用k·p方法, 獲得G點附近的有效哈密頓量, 由此計算出兩種光子晶體的自旋陳數, 對應結果闡釋了能帶翻轉與拓撲相變之間的內在關系.數值模擬結果表明, 在所設計的拓撲性不同的光子晶體分界面上, 可以實現自旋依賴的單向傳輸邊界態, 并且邊界態具有很好的魯棒性, 對彎曲、空穴等缺陷免疫.所設計的光子晶體結構簡單, 并且只需要傳統的電介質材料, 沒有內在的焦耳熱損耗, 在拓撲邊界態的實際應用中具有較大的優勢.