附加球面相位引致Airy光束在單軸晶體傳輸時(shí)的兩次鏡像演化

朱開(kāi)成 梁瑞生 易亞軍 劉偉慈 朱潔

1) (廣州工商學(xué)院電子信息工程系, 廣州 510850)

2) (中南大學(xué)物理與電子學(xué)院, 長(zhǎng)沙 410083)

3) (貴州理工學(xué)院理學(xué)院, 貴陽(yáng) 550003)

利用單軸晶體光束傳輸理論, 求得了具有附加球面相位Airy光束在單軸晶體中的傳輸公式.數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果表明, 線(xiàn)偏振附加球面相位Airy光束在晶體中傳輸時(shí)仍為線(xiàn)偏振, 但不是傳輸不變的.粗略地講,具有附加球面相位的Airy光束在晶體中傳輸時(shí), 近場(chǎng)是傳輸不變的; 而在由晶體尋常與非尋常折射率和球面半徑共同確定的兩個(gè)特定傳輸距離處, 傳輸光束轉(zhuǎn)換成了取向不同的Gaussian-Airy光束, 且高斯依賴(lài)的束寬度敏感地與截?cái)嘁蜃酉嚓P(guān); 而當(dāng)光束依次穿過(guò)此兩位置時(shí)光斑花樣先后相對(duì)于兩橫向軸平面做鏡像演化, 且鏡像演化順序也與晶體尋常和非尋常折射率相對(duì)大小密切相關(guān), 其總的效果是遠(yuǎn)場(chǎng)強(qiáng)度花樣能恢復(fù)原樣但花樣取向產(chǎn)生了關(guān)于對(duì)過(guò)橫平面二、四象限平分平面的鏡像演化.這些結(jié)果表明, 通過(guò)恰當(dāng)選擇晶體材料(即折射率)和附加球面相位的半徑R, 可以調(diào)控光束花樣的形狀、取向及表征各向異性材料的相關(guān)性質(zhì).

1 引 言

自1987年實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生了貝塞爾光束的無(wú)衍射光后, 無(wú)衍射光在理論研究和實(shí)踐應(yīng)用中都得到了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注.無(wú)衍射光是自由空間標(biāo)量波動(dòng)方程的一組特殊解, 對(duì)其研究成了一個(gè)經(jīng)久不衰的研究主題.Airy光束是另一類(lèi)典型的完全無(wú)衍射(無(wú)形變)束類(lèi), 這類(lèi)光束是 Berry和 Balazs[1]在1979年以Airy函數(shù)作為初值條件獲得的一維含時(shí)薛定諤方程的嚴(yán)格解, 并稱(chēng)之為Airy波包, 他們也證明該波包解是一維含時(shí)薛定諤方程的惟一非平凡無(wú)衍射解.2007年, Siviloglou 等[2,3]于實(shí)驗(yàn)中首次成功地實(shí)現(xiàn)了Airy光束, 并且證實(shí)了這類(lèi)光束能保持長(zhǎng)距離無(wú)衍射傳輸且有橫向加速的奇特現(xiàn)象.

因?yàn)锳iry光束具有無(wú)衍射、自恢復(fù)或自愈性以及可控的自彎曲彈道軌跡傳輸?shù)绕娈愄匦? 因此吸引了人們極大的研究興趣, 目前人們?cè)O(shè)計(jì)了多種方案, 有些在實(shí)驗(yàn)中也成功地實(shí)現(xiàn)了Airy光束[4?9].許多基于Airy光束令人興奮的應(yīng)用被先后提出并得以實(shí)現(xiàn), 典型的例子包括光子彈、彎曲等離子體通道產(chǎn)生、光路由、光互聯(lián)及圖像信號(hào)傳輸?shù)萚10?13].特別地, 由于Airy光束在自由空間傳輸時(shí)表現(xiàn)出可以沿彎曲路徑傳輸?shù)钠娈愋再|(zhì), 自然勾起了人們對(duì)Airy光束在各種介質(zhì)中傳輸性質(zhì)研究的興趣.目前, Airy光束在自由空間、大氣湍流及各種介質(zhì)中的傳輸動(dòng)力學(xué)行為都有廣泛而深入的研究[14?29].實(shí)際上, 激光束在各向異性介質(zhì)中的傳輸一直是有意義的研究主題, 而單軸晶體是典型的各向異性介質(zhì), 而且在諸如光偏振器、振幅或相位調(diào)制器設(shè)計(jì)與制造中具有重要作用.近些年, 渦旋Airy光束、Airy-Gaussian光束等在單軸晶體中的傳輸性質(zhì)演化已被廣泛而深入地探討[30?37], 特別地, Deng 課題組[38?40]詳細(xì)討論了具有相位一階、二階啁啾的Airy-Gaussian光束或渦旋Airy光束在單軸晶體中的傳播, 揭示出了 一些有趣的演變性質(zhì).

本文將討論附加球面相位的Airy光束在單軸晶體中的傳播, 基于求得的解析傳輸表達(dá)式, 運(yùn)用數(shù)值方法分析附加球面相位的Airy光束通過(guò)單軸晶體傳播時(shí)球面相因子的影響.

2 具有附加球面相位的Airy光束通過(guò)單軸晶體傳播時(shí)的場(chǎng)振幅

設(shè)光束傳輸?shù)姆较蚺c單軸晶體的光軸垂直.不失一般性, 設(shè)z軸為光束傳輸方向, 于是單軸晶體介電常數(shù)張量e可表示為[38?40]

其中no和ne分別是尋常光波與非常光波的折射率.

設(shè)具有附加球面相位的Airy光束沿z軸傳輸(z > 0), 是沿 x 方向偏振的線(xiàn)偏振光, 在 z = 0 處的場(chǎng)分布形式為[8,9]

其中wx和wy分別是x和y方向特征主斑寬度的參數(shù); a 和 b 是 x 和 y 方向截?cái)鄥?shù); k =2π/λ 是波數(shù),是單色光波長(zhǎng); R 是附加球形波面半徑.為簡(jiǎn)化起見(jiàn), 下面將取表征強(qiáng)度參數(shù) E0= 1.實(shí)際中最簡(jiǎn)單直接實(shí)現(xiàn)這種附加球面相位Airy光束的方法是用相應(yīng)Airy光束通過(guò)一個(gè)無(wú)像差薄透鏡, 這時(shí) R 就是透鏡焦距.R > 0 或 R < 0 分別對(duì)應(yīng)于會(huì)聚或發(fā)散球面相位, 本文僅討論 R > 0 情形.通過(guò)相位調(diào)制實(shí)現(xiàn)光束整形是非常有效和常用的手段之一[41?44].

在傍軸近似下, 光場(chǎng)復(fù)振幅在正交穿過(guò)單軸晶體中傳播時(shí)的演化可表示為[38?40]

于是, 將(2)式代入(3)式并進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q后可得到:

顯然這光束仍是x方向的線(xiàn)偏振光束, 而且場(chǎng)的復(fù)振幅對(duì)x和y的依賴(lài)關(guān)系是可分的.

得到

再次應(yīng)用[45]

最終有

類(lèi)似地, 在橫平面 zf=neR 上有

因此, 我們求得了具有附加球面相位的Airy光束沿光軸正交方向入射進(jìn)單軸各向異性晶體中傳輸時(shí)場(chǎng)復(fù)振幅在不同橫平面上的分布解析表達(dá)式, 據(jù)此可討論不同橫平面上光束的強(qiáng)度分布或相位分布演變性質(zhì).

3 數(shù)值模擬結(jié)果與分析

基于前節(jié)的解析結(jié)果, 可以對(duì)具有附加球面相位的Airy光束垂直于單軸晶體光軸的傳輸場(chǎng)強(qiáng)度分布 I (x,y,z)=|Ex(x,y,z)|2演化進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,計(jì)算中取 a = b 和 d = 1 (即 wx= wy).數(shù)值計(jì)算表明, 一般而言具有附加球面相位的Airy光束在正交穿過(guò)晶體光軸傳輸時(shí)不再是傳輸不變的.

圖1給出了在金紅石晶體中傳輸時(shí)的光場(chǎng)強(qiáng)度分布, 金紅石晶體的尋常光和非尋常光折射率分別為 no= 2.616, ne= 2.903.數(shù)值結(jié)果表明, 在以及 zf=neR = 2.903R 處(注意這里 zn

再者, 在穿過(guò)這兩個(gè)位置時(shí), 光斑花樣有鏡像演化[26], 如在穿過(guò)zn時(shí), 其場(chǎng)強(qiáng)分布花樣對(duì)y平面成鏡像演化, 而在穿過(guò)zf后, 對(duì)x平面產(chǎn)生鏡像演化, 從而總的變化是相對(duì)于平分二、四象限的平面(x+y = 0 的平面)鏡像演化.進(jìn)一步計(jì)算表明, 在遠(yuǎn)場(chǎng)其場(chǎng)強(qiáng)分布花樣形式上恢復(fù)了原始花樣, 但花樣的取向不同, 如圖1中 z = 1.5zf處的強(qiáng)度花樣是z = 0處的花樣相對(duì)于平分二、四象限的平分平面的鏡像演化的結(jié)果.實(shí)際上, 具有附加球面相位的Airy光束正交穿過(guò)單軸晶體傳輸時(shí)在zn與zf處鏡像演化是可以理解的, 因?yàn)閷?duì)于有限截?cái)鄥?shù)的Airy光束, 導(dǎo)致了單軸晶體中衍射表達(dá)式(16)式和(18)式的因子Wx和Wy出現(xiàn)符號(hào)變化.

圖2給出了其他參數(shù)與圖1相同而復(fù)合參數(shù)Nw= 1 的情況, 主要討論了在 zn和 zf區(qū)間傳輸時(shí)光場(chǎng)強(qiáng)度分布不斷調(diào)整的過(guò)程, 在臨近zn時(shí)“點(diǎn)”狀旁斑被壓縮融合, 到zn處時(shí)成為條狀分布, 穿過(guò)zn后條狀條紋重新分裂生成點(diǎn)狀旁斑, 圖2中標(biāo)識(shí)為 z = 0.93zn, zn和 1.07zn的強(qiáng)度分布清楚地展示了這些.在zf附近演化行為也是類(lèi)似的(取向除外).此外, 計(jì)算表明在這種光束能量調(diào)整中也伴隨了主斑中央位置的移動(dòng), 只要對(duì)比圖2與圖1中z = 0處的光斑情況就可看出這點(diǎn), 且主斑移位大小反比于Nw.再者, Nw對(duì)具有附加球面相位Airy光束傳輸?shù)挠绊懰坪踹€表現(xiàn)在光斑的大小方面, 計(jì)算表明Nw= 1時(shí)的演變情況與圖1給出的Nw= 100時(shí)的類(lèi)似, 只是在同樣傳輸距離處光斑的大小反比于Nw.

實(shí)際上, 對(duì)不同的單軸晶體介質(zhì), 具有附加球面相位的Airy光束在其中傳輸?shù)慕鼒?chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)表現(xiàn)了相似的行為, 只是依單軸晶體no與ne的相互關(guān)系, 其對(duì)軸平面鏡像演化的次序是不同的.如對(duì)淡紅銀礦晶體其 no= 2.979, ne= 2.711, 即 no> ne,因而有 zf< zn.這時(shí)光束先穿過(guò) zf后首先關(guān)于x軸鏡像演化, 再在穿過(guò)zn后出現(xiàn)對(duì)y軸的鏡像演化, 當(dāng)然最后總的效果仍是相對(duì)于過(guò)二、四象限平分平面的鏡像演化, 如圖3所示.因此, 應(yīng)用不同的單軸晶體這一光束展現(xiàn)了不同的演化性質(zhì), 這一特征有可能在確定晶體性質(zhì)(如折射率大小關(guān)系)方面具有應(yīng)用.且就作者所知, 這一結(jié)果還未見(jiàn)有文獻(xiàn)報(bào)道過(guò).

圖1 金紅石晶體中不同傳輸距離處的光場(chǎng)強(qiáng)度分布, 其他參數(shù)分別為 Nw = 100, a = b = 0.1, d = 1Fig.1.Intensity distributions of the Airy beams in rutile crystal at several propagation distances with Nw = 100, a = b = 0.1, d = 1.

圖2 金紅石晶體時(shí)不同傳輸距離處的光束強(qiáng)度分布, 其他參數(shù)分別為 Nw = 1, a = b = 0.1, d = 1Fig.2.Intensity distributions of the Airy beams in rutile crystal at several propagation distances with Nw = 1, a = b = 0.1, d = 1.

圖3 淡紅銀礦晶體時(shí)不同傳輸距離處的光束強(qiáng)度分布, 其他參數(shù)分別為 Nw = 100, a = b = 0.1, d = 1Fig.3.Intensity distributions of the Airy beams in proustite crystal at several propagation distances with Nw = 100, a = b = 0.1,d = 1.

最后應(yīng)當(dāng)指出, 這種Airy光束附加相因子的另一類(lèi)似情況是名為“啁啾(chirped)”的相因子,由Zhang等[26]首先討論了具有線(xiàn)性、平方啁啾Airy光束在平方勢(shì)介質(zhì)中的傳輸問(wèn)題, 發(fā)現(xiàn)了周期反轉(zhuǎn)(inversion)現(xiàn)象; 隨后, 有研究者就一階、二階啁啾Airy光束在自由空間及介質(zhì)中的傳輸問(wèn)題[47?52], 以及具有啁啾的光渦Airy光束和Airy-Gaussian光束在晶體中的傳輸問(wèn)題[38?40]進(jìn)行了探討, 但沒(méi)有討論Airy光束的相關(guān)問(wèn)題, 也沒(méi)有關(guān)于本文中發(fā)現(xiàn)的在兩個(gè)位置依次發(fā)生的鏡像演化現(xiàn)象的報(bào)道[38?40].再者, 在束寬度 wy= 200 μm,光波長(zhǎng) l = 500 nm, Nw= 100, R ≈ 2.5 mm 時(shí),為了觀察到本文得到的結(jié)果, 要求晶體厚度約為3R ≈ 8.0 mm, 這在實(shí)際中應(yīng)是可實(shí)現(xiàn)的.

4 結(jié)論與討論

本文基于光束在各向異性介質(zhì)中的傍軸矢量傳輸理論, 導(dǎo)出了附加球面相位的Airy光束垂直于各向異性單軸晶體光軸的傳輸公式, 并利用該表達(dá)式進(jìn)行了數(shù)值模擬計(jì)算與分析, 研究了附加球面相位的有限能量Airy光束垂直于晶體光軸的傳輸特性.研究結(jié)果表明, 線(xiàn)偏振附加球面相位的Airy光束在晶體中傳輸時(shí)仍為線(xiàn)偏振, 但不再是傳輸不變的.粗略地講, 具有附加球面相位的Airy光束在晶體中傳輸時(shí), 近場(chǎng)是傳輸不變的, 遠(yuǎn)場(chǎng)時(shí)強(qiáng)度花樣能恢復(fù)原樣但花樣取向產(chǎn)生了關(guān)于過(guò)二、四象限平分平面的鏡像演化.特別地, 在傳輸距 離與 zf=neR 處 , 光 束 轉(zhuǎn)換 成了Gaussian-Airy束, 且在穿過(guò)此兩位置時(shí)光斑花樣先后有相對(duì)于兩橫向軸平面的鏡像演化, 且鏡像演化順序密切與晶體尋常和非尋常折射率相關(guān).在臨近zf與zn處及其間范圍內(nèi), 光場(chǎng)光斑花樣不斷從Airy光束的“點(diǎn)”狀旁斑調(diào)整到線(xiàn)狀旁斑最后再調(diào)整到“點(diǎn)”狀旁斑, 調(diào)整過(guò)程中還伴有主光斑的位移.最后, 附加球面相位的半徑調(diào)控了zf與zn附近范圍的光斑大小及主斑位移大小.這些結(jié)果表明Airy光束除了在自由空間傳播時(shí)表現(xiàn)無(wú)衍射、自恢復(fù)或自愈性以及可控的自彎曲彈道軌跡傳輸?shù)绕娈愄匦酝? 具有附加球面相位因子的Airy光束在各向異性介質(zhì)中傳播時(shí)會(huì)呈現(xiàn)光斑花樣形狀變化及取向鏡像演變的新特性, 這些新特性豐富了對(duì)Airy光束在各向異性介質(zhì)中傳播的新認(rèn)識(shí), 并有可能在確定單軸晶體尋常與非尋常光折射率的相互關(guān)系及需要光斑花樣或花樣取向變化的場(chǎng)合找到應(yīng)用[53,54].

最后, 本文中討論的結(jié)果可直接拓廣到更一般的非球面二次相因子情形.如前所述, 光斑形狀變化或取向鏡像演變的發(fā)生位置zn和zf是由晶體折射率和二次相因子系數(shù)共同決定的, 球面二次相因子與非球面二次相因子的區(qū)別只是兩系數(shù)相同或不同而已.因此非球面二次相因子只會(huì)導(dǎo)致本文結(jié)果出現(xiàn)的位置不同而不會(huì)導(dǎo)致本文所得結(jié)果的消失, 從而給光束性質(zhì)的調(diào)控提供了更多可能性.