尋找囚禁在光腔中的玻色-愛因斯坦凝聚體的八重準晶

余炎強, 鄭東琛, 葉春榮, 廖任遠

(1.福建師范大學 物理與能源學院 福建省量子調控與新能源材料重點實驗室，福州 350117； 2.福建省半導體光電材料及其高效轉換器件協同創新中心，廈門 361005)

1 引 言

準晶是一種介于晶體和非晶體之間的物質，它具有像晶體一樣的長程有序的原子排列，但是卻沒有像晶體一樣的平移不變性.人們已經在合金[1], 膠體[2]中觀察到了準晶.而通過衍射圖像觀察到準晶具有旋轉對稱性則要追溯到1984年[3].準晶序已經在很多材料中被研究和學習[4-6].

將超冷原子囚禁在由激光產生的光學勢中可以很好地調控和探索奇特的固態物質.許多研究小組利用這樣的裝置成功探索了超流氣體的Dicke量子相變[7,8]；在兩個腔中實現了超固態；希格斯模和戈德斯通模[9-11]；將一個三維的凝聚體放置在一個擁有五個勢阱的一維超晶格中實現了具有五重旋轉對稱性的準晶[12]，還有的方案是通過自旋軌道耦合的BEC經過量子相變產生準晶[13].最近來自英國的研究小組將BEC放入到光學腔中，通過觀察產生的衍射圖像實現了八重準晶[14].但是對于該裝置還缺少必要的理論解釋來證明實驗的準確性以及該實驗裝置的可重復性.所以本文將利用數值模擬從理論上證實光學腔中出現的八重準晶.我們將會結合虛時演化和分步傅里葉方法來計算不同腔模情況下的原子密度分布情況.我們從理論上證實了當四個線性腔同時作用于BEC時會出現具有八重旋轉對稱性的準晶.所以這篇文章再一次證明了光學腔中的BEC可以產生很多奇特的量子現象.而利用我們的理論方法可以很好地模擬實驗所觀測到的現象，這為我們之后探究更為復雜的晶體結構提供了理論基礎.

2 模型與方法

考慮將超冷玻色氣體囚禁在一個由四個線性腔組成的二維x-y平面上并在z方向上受到一個泵浦激光的作用，每個腔之間的夾角為45°[15]，如圖1所示.我們將原子的失諧量定義為Δa=ωp-ωa<0，其中ωp表示泵浦頻率，ωa表示原子基態和激發態之間的轉變頻率，假設ωa的取值非常大，所以原子的激發態可以被絕熱消除.這就產生了該模型的有效哈密頓量.

圖1 模型圖Fig.1 Illustration of model

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從上式可以知道分步傅里葉方法要求時間取得小一些，而虛時演化又需要時間取得大一些，解決的途徑是將時間步長取小，這樣我們就可以結合兩種方法快速準確地得到基態波函數.

3 結果與討論

第二部分通過引入四個線性腔中的哈密頓量，利用一些近似得到有效哈密頓量，最后結合虛時演化方法和分步傅里葉方法得到該哈密頓量的基態波函數.現在可以根據求得的基態波函數畫出腔內原子密度分布圖.如圖2所示，我們根據數值模擬方法得到了光學腔中的原子密度分布，只考慮一個腔沿x軸作用時，得到圖2a所示情況，它表示沿x方向出現原子密度分布，這對應于只有腔1中出現超輻射相.接著我們考慮加入豎直方向的晶格勢，也就是加入圖1所示的腔3，通過模擬可以得到規則分布的二維菱形晶格.如圖2b所示，它表示腔1和腔3中都出現超輻射相.最后加入腔2和腔4的晶格勢，我們得到一個二維晶體結構，它是一個具有八重旋轉對稱性的晶體，相比于圖2c，圖2d中作用于凝聚體的激光強度更大.

(a;b;d:ηj=0.5,c:ηj=0.05)圖2 不同腔晶格勢作用下的原子密度分布Fig.2 Atomic density distribution under different cavity lattice potentials

接著我們進一步探索八個周期時的情況，所采用的方法與圖2類似，經過數值模擬我們得到了圖3所示的情況.從圖中我們可以看到這個晶體結構具有長程序，但不具有平移不變性.所以根據準晶的定義，該晶體是一個八重準晶.

(a:ηj=0.5)圖3 八個周期下的原子密度分布Fig.3 Atomic density distribution at eight cycles

4 總 結

本文建立了一個由四個光學腔組成的系統，并將超冷玻色氣體囚禁在腔中.為了探究腔中出現的相圖，并且解釋實驗出現的現象，我們通過結合虛時演化方法和分步傅里葉方法來求解GP方程，該方法能夠有效解決非線性薛定諤方程.通過改變不同數目的腔晶格勢，得到了相應的相圖.當所有腔都考慮在內時，出現一種具有八重旋轉對稱性的晶體，該晶體具有長程序但不具有周期性，所以它是一種八重準晶.這說明了我們的方法適用于研究光學腔中的晶體結構和相變.近幾年實驗上觀測到的Dicke量子相變可以通過單個線性腔來實現，而利用我們的數值模擬方法也能夠從理論上得出相對應的相圖，而利用兩個交叉腔可以模擬超固態的產生，利用三個腔可以產生六角蜂窩狀晶格.本文利用四個呈45°分布的光學腔成功模擬出八重準晶.所以我們的方法是十分科學有效的，它為將來探究更為復雜的晶體結構提供了可能，并能夠進一步指導實驗的操作.