以“問題串”的形式開展中職數學建模的教學

胡寶華

（浙江省杭州市臨安區昌化職業高級中學，浙江 杭州 311321）

一、問題的提出

2019年9月在高三進行了一次月考，其中最后一題是應用題，筆者對任教的其中一個班級的這個題目的得分情況進行了統計：

得分 0分 2分 4分 6分 7分 10分人數 6人 7人 15人 1人 1人 1人

本題滿分10分，31位參加考試的同學這個題目平均得分3.12分，應用題大題的測試結果令人非常不滿意。31位同學只有1位同學得滿分，有15位同學第一小題做對得4分，第2題無法得分，說明這15位同學知道已知數列的第一項會求第二 項，不知道分別用等差等比數列的通項公式去求和。

于是我產生了一個疑問，我們的高三學生為什么應用題得分這么低？我通過與學生的談話，發現學生做應用題存在以下困難：得0分得同學題目看不懂，得2分和4分得同學不知道這個題目要用數列的求和公式來求和。我們的學生公式背誦的滾瓜爛熟，但是在解應用題的時候他不清楚應該要用哪個知識點來解決這個問題，存在兩個困難：一是，建模分析存在困難，不會審題；二是，不知道如何構建模型。

筆者嘗試以問題串的形式開展數學建模的教學，通過一系列問題串，把看似凌亂的知識點進行串聯，學生在教師的引領下對問題進行分析，使學生分析問題、解決問題的能力得到提高，使中職學生體會到數學是來源于生活的。

“問題串，是在一定的學習范圍或主題內，教師圍繞一定目標或某一中心問題，按照一定邏輯結構精心設計的一組問題。”問題串教學是教師根據教學目標和要求，突出教學的重、難點，依據學生的現有能力，設計若干個具有邏輯性、實效性的問題，運用一問一答的方式進行教學的一種教學方法。

學生在遇到數學建模問題時，存在兩個困難：一是，建模分析存在困難，不會審題；二是，不知道如何構建模型。本文就以“問題串”的形式開展數學建模的教學做一初步的探討。

二、在建模分析階段的問題串設計

基于“做中學”的現代教學理念，學生通過教師的啟發和引領進行自覺的分析、探索，在分析和探索中使學生獲得成就感。學生在碰到數學建模問題時，教師應該如何引領學生進行分析和探索呢？

（一）分段函數建模問題在模型分析階段的問題串設計

例1：小李經營山核桃土特產店，2019年的營業額是100萬元，各類成本共計65萬元，計算小李應繳納的個人經營所得稅金額。

個人所得稅稅率表（經營所得適用）

級數 全年應納稅所得額 稅率（%）速算扣除數（元）1 不超過3萬元的 5 0 2 超過3萬元至9萬元的部分 10 1500 3 超過9萬元至30萬元的部分 20 10500

4 超過30萬元至50萬元的部分 30 40500 5 超過50萬元部分 35 65500

注：本表所稱全年應納稅所得額是指以每一納稅年度的收入總額減除成本、費用以及損失后的余額。

問題一：2019年營業額是100萬元，各類成本共計65萬元，小李需要納稅的金額是多少？

（生）：應納稅額是營業額減去各類成本。

問題二：觀察稅率表，速算扣除數是什么意思？

問題三：小李應該屬于哪一級進行扣稅？

設計意圖：學生拿到題目后不會分析，老師通過三個問題引導學生對題目進行分析解讀，通過問題一確定需要繳稅的金額，通過問題二理解速算扣除數的含義，最后明確采用“先選級，再乘稅率，最后減速算扣除數”的程序計算。

（二）數列建模問題在模型分析階段的問題串設計

近幾年的浙江省數學高職考中，在大題中出現了數列的綜合應用題，需要學生運用觀察、歸納、猜想的方法，結合等差模型、等比模型來解決實際問題。學生在看到題目后，不知道怎么分析，不清楚需要用哪個模型來解決問題。

例2：杭州市住房公積金2017年初的賬戶余額為3億元人民幣，當年全年支出4500萬元，收入3500萬元。假設以后每年的資金支出額比上一年多300萬元，收入金額比上一年增加10%，試解決如下問題：

1）2019年杭州市的公積金應支出多少萬元？收入多少萬元？

2）到2026年底，該城市的公積金賬號余額為多少萬元？

（參考數據：1.16=1.772，1.17=1.949，1.18=2.144，1.19=2.358，1.110=2.594，1.111=2.853）

問題一：每年支出構成一個什么數列？

（生1）：每年支出額比上一年多300萬元，每年支出額構成一個等差數列。

問題二：每年收入額構成一個什么數列？

（生2）：每年收入額比上一年增加10%，每年收入額構成一個等比數列。

設計意圖：學生的解題困難首先是審題難理解難，收入和支出需要分開計算，通過上述問題引導學生將學習過的數列知識運用到解題中來，把文字的問題轉化為數列的問題。現實生活中存在很多等差等比數列的模型，這些模型問題常見的解題思路：審題—建模—研究模型—返回實際。在此類模型中，經常結合考查等差、等比數列的通項公式及前n項和公式。

（三）線性規劃問題在模型分析階段的問題串設計

例3：A、B、C、D四為同學分別拿著4，2，3，1個開水壺去打開水，但是熱水龍頭只有一個，假設打滿一瓶開水需要1分鐘時間，怎樣安排打開水的順序，他們打完開水所花的總時間最少（包含排隊、打水的時間）？

問題一：A、B、C、D四為同學將自己的開水壺打滿水各需要多少時間？

（生1）：A、B、C、D四為同學將自己的開水壺打滿水分別需要4分鐘、2分鐘、3分鐘、1分鐘。A同學用時最長，D同學用時最短。

問題二：對于A同學和D同學，如果先安排A同學打水，總共需要多少時間？

（生2）：如果A同學先打水，A同學需要4分鐘；D同學除了等候的4分鐘還要加上自己打水的一分鐘，D同學需要5分鐘時間，兩人總共需要9分鐘時間。

問題三：對于A同學和D同學，如果先安排D同學打水，總共需要多少時間

（生3）：如果D同學先打水，D同學需要1分鐘；A同學除了等候的1分鐘還要加上自己打水的四分鐘，A同學需要5分鐘時間，兩人總共需要6分鐘時間。

問題四：從上面的兩種方案看，我們可以得到一個什么結論?

（生4）：把打水時間少的同學先安排打開水，可以使等候的時間最短。

問題五：那么應該如何安排同學他開水呢？

（生5）：按照占用打開水的時間有少到多的順序安排是：D同學、B同學、C同學、A同學。

設計意圖：通過上述的五個問題，可以幫助同學理清思路，抓住關鍵問題，找到解決問題的最佳方法和途徑。使學生明白只有通過最優化的思想，合理安排，才可以提高效率，得到最佳的效果。

三、在構建模型階段的問題串設計

（一）函數建模問題在構建模型階段的問題串的設計

函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，函數模型與我們的生活息息相關，我們可以利用熟悉的函數解決日常生活中的實際問題。近幾年的高職考大題中經常出現函數應用的題目，我們的學生在這個題目上普遍得分比較低。

例4：某水廠要建造一個容積為8000立方米，深5米的長方體蓄水池，池壁每平方米的造價為100元，池底每平方米的造價為200元。如何設計能使總造價最低，最低造價為多少？

模型假設：設池底一邊長為x米，總造價為y元。

構建模型：問題一：用關于x不等式寫出池底面積和池壁面積？（學生感覺有困難）

問題二：池底的面積是多少？（教師通過分步提問化解困難）

問題三：池壁的面積是多少？

（生2)：因為池底的一邊長為x米，另一邊為米

問題四：總造價的函數模型是怎么寫？（通過上面的問答，學生可以輕松的寫出函數模型）

設計意圖：這里采用遞進式問題串的形式設計問題串，以問題引領學生進行思考，有序層層推進，一問一答，以前問作為后問的基礎，后問作為前問的延伸。

（二）幾何測量問題在模型構建階段的問題串的設計

在考查無法直接測量的距離問題時，我們可以通過在三角形中建立三角函數模型解決問題。在三角形在已知兩邊及一邊的對角或已知兩角及一邊，求另外的邊角，可以用正弦定理；已知兩邊及夾角或已知三邊，求另外的邊角，可以用余弦定理。

建模分析：正確理解仰角和俯角，在ΔAMN中，已知兩個角和一條邊求另外的邊的問題。在中已知斜邊和角，求直角邊的問題。

建模構建：

問題一：在ΔAMN，已知條件是什么，求什么？

（生1）：在ΔAMN中，可知，，求邊的長度。

問題二：：已知兩角與一邊，可以用什么定理解決問題？

問題三：利用正弦定理可以求出哪條邊的長度？

在解三角形的綜合問題時，要仔細分析問題，結合圖形，找出相應邊角的關系，運用正弦定理、余弦定理解決問題。

通過以問題串的形式開展數學建模教學實踐，發現學生由原來“怕”數學建模題到現在“喜歡”解數學建模題，筆者所帶的高三學生在模擬考試中數學建模題的得分有明顯的提高，收到了成效。