淺談矩陣的秩及其應用

摘 ?要：矩陣的秩是線性代數中的重要的概念之一，并且又有著極其廣泛的應用。然而，在學習線性代數中，對于理解矩陣的秩的概念，性質以及掌握矩陣秩的求法和應用，感覺有些吃力。特別是對于普通高校文科的學生，以及民辦高校的學生，更不知如何更有效正確理解和掌握。本文對如何有效的正確的理解矩陣的秩和性質，通常怎樣求矩陣的秩，都有那些常見的方法，以及矩陣的秩在線性代數中都有哪些常見的應用等問題，進行梳理，歸納和總結。為同學們在學習有關矩陣的秩的知識時，提供思路和方法。如有不適當之處懇請老師和同學以及讀者給予批評指正。

關鍵詞：矩陣的秩;滿秩矩陣;極大無關組;初等變換

四.矩陣的秩的應用

1.在向量組的線性相關性中的應用：對于給定的一組“具體”的向量組 ，首先將向量組寫成矩陣 ，然后求出矩陣 的秩，如果 ，則向量組 線性無關，如果 ，則向量組 ?線性相關.

2.在向量組線性表示中的應用：其一是對于給定的向量 能被向量組組 線性表示的充分必要條件是 ;其二是對于給定的兩個向量組 線性表示與 ，根據性質5，向量組 可以被向量組 線性表示的充分必要條件是 。

2.在求解線性方程組中的應用：對于線性方程組 ，如果 ，則 由唯一解;如果 ，則 有無窮多解;如果 ，則 無解。而對于齊次線性方程組 ，則當 有非零解;否則，只有零解。

3.在判定矩陣是否可逆中的應用：對于給定的一個 階方陣 ，判定方陣 是否可逆？除了根據它的行列式是否為零外，還可以根據方陣 的秩來確定。即，如果 ，則 可逆，同時，我們還知道 ，它是方陣 可逆的充分必要條件。

4.在求矩陣特征值中的作用：對于可以對角化的方陣 ，它的秩就是 的非零特征值的個數。所以， 為降秩矩陣的充分必要條件是它有零特征值。另外， 的秩不小于 的非零特征值的個數。由此可很方便的求出 的非零特征值的個數或判斷特征值是否有零及其重數。

5.判斷二次型的正定性：設二次型 ，其中 ，則有 正（負）定的充分必要條件是 的正（負）慣性指數與 的秩都等于 ; 為半正（負）定的充分必要條件是 的正（負）慣性指數與 的秩相等且小于 。

6.在幾何中的應用：設有兩個平面，它們的方程分別為 與

（1）如果 ，則方程組的基礎解析含有一個向量，所以，兩個平面相交;

（2）如果 ，則方程組的基礎解析含有兩個向量，從而，它們的解在一個平面上，故，兩個平面重合;（3）如果 ，則方程組無解，即兩個平面無交點，所以，兩個平面平行。

類似的，對于多個平面的位置關系的判斷，也都可以用矩陣的秩來解決。同理，對于空間直線與平面的位置關系，空間直線與空間直線的位置關系，也都可以用矩陣的秩來解決。

當然，矩陣的秩還有著非常多的應用，由于篇幅所限，在此，也就不再贅敘了。

參考文獻

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[3] ?天津大學數學系代數教研組.線性代數及其應用[M].北京：科學出版社，2007.

[4] ?同濟大學數學系.線性代數及其應用[M].北京：高等教育出版社，2004.

作者簡介：楊付貴，1957年5月出生，男，天津人，副教授。從事最優化方法研究。