時變外磁場下海森堡自旋鏈的熱糾纏

黃利元

(廈門大學嘉庚學院信息科學與技術學院， 漳州 363105)

1 引 言

量子糾纏作為量子通信和量子信息處理的重要物理資源[1-4]，在量子信息學的各方面都起著舉足輕重的作用.近年來，一種自然界的糾纏現象――熱糾纏，逐漸得到人們的重視.這種存在于固態系統中自旋粒子間的糾纏為量子信息和固態物理系統提供了一座橋梁.海森堡模型作為最簡單而又實際的固態物理系統，被認為是實現量子通信和量子計算最有前景的物理體系之一[5].海森堡模型在熱平衡狀態下的量子糾纏――熱糾纏已經被廣泛地應用于量子計算[6]、量子密碼[7]等各個領域.

目前，有關海森堡模型在均勻磁場和非均勻磁場情況下糾纏性質的研究取得了廣泛進展[8-16]，但對在時變磁場下系統糾纏性質的研究[17-19]還不多見.而時變磁場對糾纏度的作用機理更加接近固態系統中量子信息的實現.本研究主要討論時變外磁場對海森堡XXZ鏈的熱糾纏和時間糾纏的作用.

2 模 型

考慮兩個角頻率不同的余弦時變磁場分別加在Heisenberg XXZ鏈的兩個量子比特上.此時系統的哈密頓量可以寫為：

(1)

(2)

其本征態及相應的本征值為：

|φ1〉=|00〉，

|φ2〉=|11〉,

|φ3,4〉=sin±|01〉+cos±|10〉

(3)

E1=JΔ+B(cosω1t+cosω2t),

E2=JΔ-B(cosω1t+cosω2t),

(4)

哈密頓量為H的熱態也可以寫成如下形式：

(5)

式中β=1/(kT)，k為玻爾茲曼常數，簡單起見記為1，T為熱力學溫度,H為系統哈密頓量，Z=tr[exp(-βH)]為配分函數.因為ρ(T)表示的是熱態，所以該態內的糾纏稱為熱糾纏[20]. 在標準基{ |00〉,|01〉,|10〉,|11〉}下,

(6)

式中

u=exp[-β(J△+Bcosω1t+Bcosω2t)],

v=exp[-β(J△-Bcosω1t-Bcosω2t)],

Z=2exp(-βJ△)cosh[βB(cosω1t+Bcosω2t)]+

(7)

3 熱糾纏

對于兩量子比特的糾纏度，ρ12可以是純態也可以是混合態.Concurrence[21]糾纏度定義為：

C12=max{λ1-λ2-λ3-λ4, 0},

(8)

根據上述定義，密度矩陣的糾纏度C為：

(9)

如圖1所示，糾纏度C隨ω2周期性變化，周期為4，且在一個周期內，圖形關于ω2=2對稱，這是由cos函數的特點決定的.從圖1的任意一幅子圖可以看出，當ω1一定時，隨著ω2的增大，糾纏度C在經歷一個較小的波峰(次極大值)后迅速降到主極小值0 (即系統失去糾纏).然后又迅速達到一個新的更高峰，此時C取主極大值，隨后C緩慢下降，在ω2=2處形成一個波谷，取次極小值.因此，當ω1一定時，可以通過選擇合適的ω2使系統維持在較大的糾纏度上.

圖1 當角頻率ω1不同時，糾纏度C隨角頻率ω2的變化.自旋耦合常數J=1，溫度T=1，各向異性參數△=1，均勻磁場B=3，時間t=π/2.(a) ω1=0.2； (b) ω1=0.4； (c) ω1=0.6； (d) ω1=1.Fig.1 The thermal entanglement measured by the concurrence C as a function of the angular frequency ω2 for different angular frequencies ω1.The coupling constant J=1, the temperature T=1, the anisotropic parameter △=1， the uniform magnetic field B=3 and the time t=π/2.(a) ω1=0.2； (b) ω1=0.4； (c) ω1=0.6； (d) ω1=1.

圖2 當角頻率ω1不同時，糾纏度C隨角頻率ω2的變化.自旋耦合常數J=1，溫度T=1，各向異性參數△=1，均勻磁場B=3，時間t=π/2.(a) ω1=1； (b) ω1=1.5； (c) ω1=2； (d) ω1=2.4.Fig.2 The thermal entanglement measured by the concurrence C as a function of the angular frequency ω2 for different angular frequencies ω1.The coupling constant J=1, the temperature T=1, the anisotropic parameter △=1， the uniform magnetic field B=3 and the time t=π/2.(a) ω1=1； (b) ω1=1.5； (c) ω1=2； (d) ω1=2.4.

在一定范圍內，隨著ω1值的增大，小波峰上的C的次極大值增大，主波峰上的主極大值先增大后略有減小，但兩主極大值之間的值保持增加趨勢，向主極大值靠近，即使C取較大值的ω2的范圍變大了.但需注意的是，糾纏度C除了波谷的次極小值對應的ω2值(=2)沒變，其余取主極大值、次極大值及最小值0的ω2值都變了，而且都向對稱軸ω2=2靠近.

縱觀圖1的4幅子圖，發現，選取某一特定時刻，當ω1一定時，糾纏度都有主極大值、次極大值、主極小值、次極小值，對應著圖中的主波峰、次波峰、主波谷、次波谷.即在某一時刻，當ω1一定時，可選擇合適的ω2使系統C取最大值，以滿足需要.對比圖1的4幅子圖，發現，在一定范圍內，隨著ω1值的增大，主極大值呈先增大后減小的趨勢.

圖2中的ω1的取值跨度比圖1大些.發現，在一定范圍內，隨著ω1值的增大，糾纏度C的主極大值變小.所以當t一定時，ω1值不宜太大.還發現，隨著ω1值的進一步增大，原來取次極小值的位置變成了主極小值(ω2=2處)，而且主極小值逐漸升高，但主極大值則在C=0.4附近振蕩.

對比圖2和圖3，當t不同時(即選取的時刻不同)，圖形的周期不同，出現不同規律的ω1值不同.圖2和圖3除了選取的時刻不同，其它參數都一樣.發現t=π/4相比t=π/2時，ω2可以在較大的范圍內使系統保持在相對穩定且較大的糾纏度C上.

圖4給出了當ω1和ω2取不同的確定值且相互之間呈一定的倍數關系時，C隨t變化的曲線圖.發現，當ω1=ω2時，糾纏度C雖然呈周期性變化，但始終能保持較大的值，在0.8174到0.8956之間.這對系統需要較大糾纏是有意義的.當ω1和ω2呈現其它的倍數關系時，根據C的變化情況，如糾纏突然死亡到迅速恢復，這種情況可以用作快速反應開關.

圖3 當角頻率ω1不同時，糾纏度C隨角頻率ω2的變化.自旋耦合常數J=1，溫度T=1，各向異性參數△=1，均勻磁場B=3，時間t=π/4.(a) ω1=1； (b) ω1=1.5； (c) ω1=2； (d) ω1=2.4.Fig.3 The thermal entanglement measured by the concurrence C as a function of the angular frequency ω2 for different angular frequencies ω1.The coupling constant J=1, the temperature T=1, the anisotropic parameter △=1, the uniform magnetic field B=3 and the time t=π/4.(a) ω1=1； (b) ω1=1.5； (c) ω1=2； (d) ω1=2.4.

圖4 當ω1和ω2為不同的倍數關系時，糾纏度C隨時間t的變化.自旋耦合常數J=1，溫度T=1，各向異性參數△=1，均勻磁場B=1，ω2=π， (a) ω1=ω2； (b) ω1=2ω2； (c) ω1=3ω2； (d) ω1=4ω2. Fig.4 The thermal entanglement measured by the concurrence C as a function of the time t for different multiple relationship of angular frequencies ω1 and ω2.The coupling constant J=1, the temperature T=1, the anisotropic parameter △=1, the uniform magnetic field B=1 and ω2=π， (a) ω1=ω2； (b) ω1=2ω2； (c) ω1=3ω2； (d) ω1=4ω2.

4 結 論

對于兩量子比特的海森堡XXZ自旋鏈，本研究通過將兩個角頻率為ω1和ω2的余弦時變外磁場分別加在這兩個量子比特上，得到其糾纏度與ω1和ω2的解析表達式，以及糾纏度隨時間的變化情況.研究發現，當選取的時刻一定時，糾纏度會隨著ω1和ω2值的變化而變化.特別地，當ω1和ω2的取值組合恰當時，系統可以維持在較大的糾纏度上.因此，在某一時刻，當ω1一定時，總可以通過選擇合適的ω2使系統的糾纏度較大.結果還表明，當ω1=ω2時，系統的糾纏度雖然會隨時間發生周期性變化，但始終能維持在較高的值.而當ω1和ω2為其它的倍數關系時，根據糾纏度的變化情況可以用作快速反應開關.本研究的計算結果對固態系統中通過構建和選擇參數調整系統的糾纏度具有一定的作用和意義.