幾何形體上積分的教學設計

[摘 要] 高等數學中積分學是一個復雜的知識體系，學生在學習的過程中，各種積分的定義、性質及計算經?；煜榱朔奖銓W生學習，將定積分，二重積分，三重積分，第一型曲線積分，第一型曲面積分統一定義為幾何形體上的積分，給出統一的性質，然后針對不同的幾何形體研究計算方法。

[關鍵詞] 幾何形體;度量;積分中值定理

[基金項目] 吉林大學校級教改項目“新工科理念下“高等數學”教學的探索與實踐”（2019XYB083）

[作者簡介] 朱本喜（1979—），女，博士，吉林大學數學學院副教授，主要從事積分方程與大學數學公共教學與研究。

[中圖分類號] G642.0 ? ?[文獻標識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2020）17-0319-02 ? ?[收稿日期] 2020-02-07

高等數學中積分學包括一元函數不定積分和定積分，多元函數二重積分，三重積分，第一型曲線積分，第一型曲面積分，第二型曲線積分和第二型曲面積分，這部分內容概念多，性質多，計算方法復雜。因此學生在多元函數的學習過程中容易混淆概念和性質，在計算不同類型的積分時候也經常出現分不清楚的問題。針對這些問題，結合定積分，二重積分，三重積分，第一型曲線積分，第一型曲面積分這五種在定義和性質上具有共性，將這五種積分統一稱為幾何形體上的積分，給出統一的定義和性質，然后再在不同的幾何形體上去研究各種積分的計算方法。

一、教學分析

1.教學內容。幾何形體上的積分是定積分，二重積分，三重積分，第一型曲線積分，第一型曲面積分的統稱。在此之前，學生們已經學習了定積分，這為過渡到多元函數的積分的學習起到了鋪墊的作用。同時，本節課的定義的引入是學好多元函數積分學的關鍵。

2.學情分析。幾何形體上積分的教學目標學生是工科大一學生，學生的特點是偏好動態具體事物，為使學生更容易接受抽象的概念，采用直觀演示，比如講授二重積分的幾何意義的時候，用Matlab軟件演示“分割、近似、求和、取極限”的過程。同時考慮到現在大學生熱衷網絡短視頻的特點，在教學過程中采用智慧教學手段，在智慧教學平臺上發布微課，短視頻等教學相關內容激發學生的學習熱情。學生主動能力欠缺，抽象思維不足，而且內心急切希望感受數學的適用價值，針對這些特點，教學過程中引入應用具體實例，讓學生熊具體實例中感受數學的實用之美。

3.教學目標。（1）思想目標：培養學生的創新意識和科技服務于生活的人文精神，“化整為零零積整”的辯證唯物觀。（2）知識目標：了解“分割、近似、求和、取極限”的思想方法，會求不同幾何形體構件的質量.掌握幾何形體上積分的幾何應用和物理應用。（3）能力目標：學會用“分割、近似、求和、取極限”的思想方法去解決在不同幾何形體上非均勻量的求和問題，逐步培養學生分析問題、綜合歸納多個問題的思維能力。（4）支撐目標：高等數學是工科學生的“工具”，他們以后在專業領域里要用這個“工具”來解決問題，所以教學過程總了解不同專業學生的需求，針對本專業培養目標和畢業要求的引入相關的實例以達到對專業的支撐度。

4.教學重點和難點。（1）教學重點：利用“分割、近似、求和、取極限”的思想引入幾何形體上積分統一的概念，不同幾何形體上積分的具體形式以及不同幾何形體上積分的計算。（2）教學難點：根據實際問題抽象出幾何形體上積分概念，不同幾何體上積分的相同點和不同點。

二、教學設計

1.任務驅動法教學。課前復習一元函數定積分的概念和性質，用定積分來求非均勻直線型構件的質量。在教學平臺發布任務：探求不同幾何形體構件的質量。將以往以傳授知識為主的傳統教學理念，轉變為以解決問題、完成任務為主的多維互動式的教學理念，使學生處于積極的學習狀態，每一位學生都能根據自己對當前問題的理解，運用共有的知識和自己特有的經驗提出方案、解決問題。

2.學生為主體，教師為主導。以探究不同幾何形體構件的質量問題為紐帶，給學生創造自主探究、合作交流的空間，啟發學生運用“分割、近似、求和、取極限”的思想去解決非均勻分布在不同幾何形體上的總量問題。引導學生從已知知識到未知領域數學知識再發現的過程，讓學生歸納總結得出不同幾何形體構件質量的求法。教學以板書為主，優點在于，學生注意力集中，能有效進行師生互動。

三、教學過程

1.定義介紹。首先通過求直線型構件的質量，復習“分割、近似、求和、取極限”的思想，回顧定積分的定義。接下來引導學生探究不同幾何形體構件的質量，教師首先介紹用“分割，近似，求和，取極限”的思想求面密度為f（x，y）的平面薄片D的質量，然后讓學生分組探討曲線型，曲面型，以及空間立體型構件的質量問題，并小組代表發表討論的結果以及所運用的數學思想和方法。歸納總結解決不同幾何形體構件質量問題所采用的方法以及所求的質量的數學表達式，抽象出幾何形體上積分的定義。最后，根據幾何形體的不同，分別介紹二重積分，三重積分，平面曲線和空間曲線的第一型曲線積分，第一型曲面積分的具體表示形式，并對每一種積分詳細說明。

2.性質介紹。什么樣函數在幾何形體上可積呢？如果函數f（M）在有界幾何形體Ω上有連續，則在幾何形體Ω上函數f（M）可積。將定積分的性質推廣得到幾何形體上積分的性質。以二重積分為例，證明比較性質，估值不等式以及積分中值定理，其他幾何形體上積分的性質證明作為練習。二重積分的幾何意義和第一型曲線積分的幾何意義也需要單獨說明。

3.積分計算。首先介紹積分區域關于坐標軸或者坐標面對稱，被積函數關于某個自變量具有奇偶性，這種情況下可以簡化積分的計算。還有積分區域具有輪換對稱性時積分計算也可以簡化。

幾何形體上積分的計算遵循從易到難的原則，首先介紹第一型曲線積分的計算，即轉化為定積分;其次介紹二重積分的計算，在二重積分計算中分別介紹直角坐標下和極坐標下二重積分的計算方法;再次介紹第一型曲面積分的計算，第一型曲面積分計算中注意被積函數時定義上曲面上的，可以用曲面方程代換;最后是三重積分的計算，三重積分在直角坐標下可以用“先一后二法”“先二后一法”“三次積分法”三種方法計算，根據被積函數的表達式，還可以選取柱面坐標和球面坐標計算三重積分。

4.積分應用。（1）幾何應用：幾何形體上的積分根據幾何形體不同，可以用來求弧長，面積和體積。計算曲線的弧長可以選取第一型曲線積分和定積分;計算平面區域的面積可以用定積分和被積函數是1的二重積分，計算空間曲面的面積，根據曲面的性狀可以選取第一型曲線積分或者被積函數是1的第一型曲面積分;計算空間區域的體積，可以用定積分，二重積分和三重積分。（2）物理應用：對于各種不同的幾何形體Ω給出統一的質心計算公式和轉動慣量公式，另外，定點的質點與幾何形體之間的引力問題也可以用統一幾何形體上積分的的形式寫出來。

四、教學反思

在整個幾何形體上積分的教學過程中，始終堅持以學生為主體，通過實例引入，激發學生的興趣;分組討論，積級自主探索問題;借助雨課堂，數學軟件Matlab，微信群等智慧化手段，提升課堂的趣味性。將知識重難點盡可能多的進行分解，并繞開抽象的定義，以不同幾何形體構件的質量為載體，講解幾何形體上積分的概念，激發學生的興趣，并且讓學生了解數學的應用之美;運用多媒體，動畫演示“分割、近似、求和、取極限”的過程，使抽象過程直觀化。通過實踐發現，這些做法加深了學生理解認識，幾何形體上積分的實際背景、本質內涵、思想方法，也為學生將來應用積分學解決實際問題打下了良好的基礎。

參考文獻

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[4]李輝來，郭華，孫毅.大學數學——微積分（下冊）第三版[M].普通高等教出版社，2015.

Abstract：The knowledge of calculus is a complex knowledge system.In the process of learning，students are often confused by the definition，nature and calculation of integral.In order to facilitate students' study，we define definite integral，double integral，triple integral，line integral with respect to arc length and surface of a scalar field as integral on geometries.And we give the properties of integrals，and then study the calculation methods for different geometric shapes.

Key words：Geometry;Measure;Mean value theorems of integrals