概率論教學中如何分散難點

張艷偉 秦孝艷

摘要：在概率論的教學中能否恰當合理地運用“分散難點”的教學方法，是反映教師教學水平的一項重要指標，也是教好概率論的一種保障。文章通過在概率概念、概率計算、概率理論與概率教學結構的建構四個方面的教學中，論述如何運用“分散難點”的教學方法，展現了“分散難點”的教學方法在概率論教學與學習中的重要作用。

關鍵詞：概率論;教學;分散難點

中圖分類號：G642.4? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2020）15-0286-03

教學中能否恰當合理地運用“分散難點”的教學方法，是教師教好學的一種重要的教學方法與手段。因為再難的問題只要把難點分散就會變得容易，反之，再容易的問題把難點集中到一塊也將變成難的問題。因此在教學中要求教師小到一堂課、一個定理、一個概念，大到整個學科，都應恰當、合理的運用好“分散難點”的教學方法，從而獲得更好的教學效果。

概率統計作為現代數學的重要分支，在自然科學、社會科學和工程技術的各個領域都具有極為廣泛的應用。正是概率統計的這種廣泛應用性，使得它成為各類專業大學生的重要的數學必修課之一。不同于確定數學，概率論是研究隨機現象及其統計規律的數學學科。故在數學教學中，概率論是教師比較難教、學生比較難學的一門數學課程，所以在概率論的教學中能否恰當、合理的運用“分散難點”的教學方法，就顯得更為重要。下面從四個方面簡述在概率論教學中如何運用“分散難點”的教學方法。

一、“概率概念”教學中如何分散難點

在概率概念教學中分散難點，就是通過概率概念的產生、發展過程中所體現的數學思想方法以及數學概念的教學要求[掌握概念的內涵（定義），明確概念的外延（分類）]進行分散，構造教學結構，實施教學。

定義1（概率）：設F是一事件域，在F上定義實值集函數P，對每一事件A∈F，函數值為P（A），如果它滿足如下三個條件：

定義中所體現的數學思想方法：①P（A）是事件A的單值實函數。②P（A）滿足非負性、規范性、可列可加性。③P（A）的定義域是事件域F。

在概率概念教學中，按以下三個順序分散講授：

1.描述定義。在概率論中事件的發生都是隨機的，但卻存在著統計規律，即每個事件發生的可能性的大小是客觀存在的、確定的。這樣我們就可以依據每個事件發生可能性的大小來研究隨機現象。我們把表示事件發生可能性大小的數，即事件A的單值實函數，稱為事件的概率（概率的描述定義）。

2.概率的性質。概率的描述定義雖闡明了概率的本質含義，但卻無法知道事件概率的確定值。為了求出概率的確定值，人們根據對隨機現象長期探究的實踐，總結出概率的統計定義與古典定義。在這兩個定義中，概率都具有非負性、規范性、有限可加性三條基本性質。

3.事件域。樣本空間Ω的子集（事件），不一定都是可測的，有時存在不可測的子集，即概率不存在的子集（事件），而概率論只需研究概率存在的事件，這樣我們就把概率存在的事件組成的集合稱為事件域。

綜上所述“事件概率”概念的教學結構為：描述定義→統計定義→古典定義→事件→概率定義（數學定義）。

二、“概率計算”教學中如何分散難點

在概率計算教學中分散難點，就是通過概率計算的方法中所體現的數學思想方法，進行分散，構造教學結構，實施教學。

古典概率計算中，一種重要求概率的方法就是利用排列組合求概率，它也是概率教學中的一個難點。在教學中對它我們可以這樣分散難點：復習歸納排列組合有關知識→學習在概率論中應用的主要類型→學習利用排列組合求概率的有關問題與方法，其教學結構如下：

1.排列組合有關知識。理論：加法原理與乘法原理。

類型：

2.在概率論中應用排列組合的主要類型。

（1）抽球（樣）問題：從n個不同的球中，一次抽一個球。

①無放回地抽m個球，排成一排，有多少不同結果（排列問題）。

②無放回地抽m個球，組成一組，有多少不同結果（組合問題）。

③有放回地抽m個球，排成一排，有多少不同結果（可重排列問題）。

④有放回地抽m個球，組成一組，有多少不同結果（可重組合問題）。

（2）分房（占位）問題：m個人分到n個房間去住（m

①房間認為是不同的，每個房間只住一個人，有多少不同結果（排列問題）。

②房間認為是相同的，每個房間只住一個人，有多少不同結果（組合問題）。

③房間認為是不同的，每個房間住的人數不限，有多少不同結果（可重排列問題）。

④房間認為是相同的，每個房間住的人數不限，有多少不同結果（可重組合問題）。

（3）利用排列組合求概率的基本思想方法。

①合理構建樣本空間，決定是用排列思想還是用組合思想求概率。若是既能用排列思想也能用組合思想求概率，通常用排列思想求概率，因為用組合思想求概率很容易出錯。

②復雜問題：分步計算，先選后排。

4.利用排列組合求概率的常見問題。

①概率論中的排列問題：相鄰問題、分隔問題、循環問題、對稱問題、可重排列問題、不盡相異元素排列問題…等。

②概率論中的組合問題：搭配問題、分班問題、分堆問題、可重組合問題等。

三、“概率理論”教學中如何分散難點

概率論中的重要理論是大數定律和中心極限定理。在概率理論教學中分散難點，就是通過概率理論的產生、建立、完善過程中所體現的數學思想方法與實例，進行分散，構造教學結構，實施教學。

在中心極限定理的教學中，我們可以通過中心極限定理的產生過程中所體現的數學思想方法，分散難點，進行教學，以加深學生對中心極限定理的理解與掌握。

人們在實踐中發現，許多隨機現象都服從正態分布，于是提出兩個問題：（1）為什么正態分布廣泛存在。（2）滿足什么條件的隨機現象服從正態分布。這兩個問題從18世紀開始，在長達兩個世紀的時間內成為概率論研究的中心，對這兩個問題研究得出的有關理論稱為中心極限定理。

通過對這兩個問題的研究得出：如果某個隨機變量，是由許多獨立隨機變量的總和組成，而每個隨機變量對于總和都不起主要作用，那么這個隨機變量就近似地服從正態分布。

因現實世界中，許多隨機現象都是由一些獨立隨機現象的總和組成，且每個隨機現象對于總和都不起主要作用，故服從正態分布的隨機現象較多。在獨立同分布的中心極限定理中，每個隨機變量都是獨立同分布，故不存在起主要作用的隨機變量，所以和式近似服從正態分布。

四、“概率教學結構的建構”教學中如何分散難點

在概率教學結構的建構教學中分散難點，一種方法就是在已知教學結構構建過程中，所體現的數學思想方法的基礎上，通過類比推廣增加建構新的教學結構，進行分散，實施教學。

對于二維隨機變量分布的教學結構的建構，就是依據一維隨機變量分布的教學結構，通過類比推廣增加的方法，進行分散，從而建構出二維隨機變量分布的教學結構。

1.一維隨機變量分布的教學結構：

（1）離散型。

①定義，②表示法，③性質，④常見分布，⑤函數分布。

（2）連續型。

①定義，②分布密度性質，③常見分布，④函數分布。

2.依據一維隨機變量分布的教學結構，通過類比推廣增加，建構二維隨機變量分布的教學結構：

通過類比與一維隨機變量分布教學結構類似的內容：

（1）離散型。

①定義，②表示法，③性質，④常見分布，⑤函數分布。

（2）連續型。

①定義，②分布密度性質，③常見分布，④函數分布。

因二維隨機變量含有二個變量，故需要推廣增加有關它們間關系的內容。在二維隨機變量分布的教學結構中需要推廣增加的內容：

（1）離散型。

⑥邊際分布，⑦獨立性，⑧條件分布。

（2）連續型。

⑤邊際分布，⑥獨立，⑦條件分布，⑧極值的分布。

總之，在概率論教學中恰當合理地運用“分散難點”的教學方法，就能實現教師輕松講、學生輕松學，就能使教學成為藝術享受，就能使學生學得更好，同時它也是反映教師教學水平的一項重要指標。

最后還應該指出的是，“分散難點”沒有固定、明確的一般方法，要具體問題，具體分析，但只要教師在備課與教學過程中，始終想到如何提高教學質量，如何使學生學得更好，那么在教學中就一定會體現“分散難點”的教學思想或創建出“分散難點”一些具體方法。

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