基于降階的變量替換法在二階微分方程求解中的應用

汪雄良 聶芬

摘要：探討變量替換法在二階常系數(shù)非齊次微分方程方程求解中的應用。針對二階常系數(shù)非齊次微分方程，直接將二階常系數(shù)線性非齊次微分方程降階為2個一階線性非齊次微分方程來進行求解，不需要考慮非齊次項的具體函數(shù)形式。該方法是求解二階常系數(shù)非齊次微分方程的另一種有效途徑，且更具一般性。

關鍵詞：二階常系數(shù)非齊次微分方程;變量替換;應用

中圖分類號：G642.0? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2020）15-0277-02

一、引言

通過降階，把高階的常微分方程轉(zhuǎn)化為低階的方程來求解是方程求解中的常見基本思路。變量替換法是求解常微分方程的常用方法之一。通過適當?shù)淖兞刻鎿Q，能將復雜的微分方程化為可解的類型，從而簡化問題的求解[1-2]。比如，一階非線性的伯努利方程可以通過變量替換化為一階線性的微分方程來求解;變系數(shù)的高階線性常微分方程如歐拉方程可通過變量替換化為常系數(shù)的線性常微分方程來求解。本文探討基于降階的變量替換法在二階常系數(shù)非齊次微分方程求解中的應用。

常系數(shù)非齊次線性微分方程求解是微積分教學中的一個重點同時又是難點。難在特解形式復雜，不便記憶，計算量也比較大。同時所考慮的非齊次項僅局限于指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與多項式函數(shù)的乘積[3]，而對于其他的形式（比如對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)以及其他類型的復合函數(shù)）無能為力。本文用基于降階的變量替換的方法來研究針對含任意非齊次項的二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的求解問題。該方法直接將二階常系數(shù)線性非齊次微分方程降階為2個一階線性非齊次微分方程來進行求解，不需要考慮非齊次項的函數(shù)形式，因此該方法是求解二階常系數(shù)非齊次微分方程的另一種有效途徑，且更具一般性。

二、基于降階的變量替換法在二階常系數(shù)微分方程中的應用

（一）二階常系數(shù)齊次微分方程

由以上分析可見，對于二階常系數(shù)齊次微分方程，變量替換法得到了與經(jīng)典求解方法完全相同的通解表達形式，正所謂殊途同歸。

（二）二階常系數(shù)非齊次微分方程

傳統(tǒng)的二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的求解方法，需要先求解對應的齊次方程的通解，再需要根據(jù)二階線性非齊次微分方程中右端非齊次項的函數(shù)形式而設出相應的特解，然后利用待定系數(shù)法求出特解，從而得到非齊次微分方程的通解（齊次方程的通解+非齊次方程的特解）。利用基于降階的變量替換法直接將二階常系數(shù)線性非齊次微分方程降階為2個一階線性非齊次微分方程來進行求解，不需要考慮非齊次項的具體函數(shù)形式。

三、結(jié)語

針對二階常系數(shù)非齊次微分方程，基于降階的變量替換法將它降階為2個一階線性非齊次微分方程來進行求解，該方法是求解二階常系數(shù)非齊次微分方程的另一種有效途徑，還可以推廣應用到高階常系數(shù)非齊次微分方程求解中。

參考文獻：

[1]范周田，張漢林.常系數(shù)非齊次線性微分方程的變量替換法[J].大學數(shù)學，2018，34（01）：89-93.

[2]唐美蘭.變量替換在大學數(shù)學中的應用[J].數(shù)學理論與應用，2010，30（04）：114-117.

[3]李建平，朱健民.高等數(shù)學（上）[M].第2版.北京：高等教育出版社，2015.