基于S變換與奇異值分解的大型起重機減速箱故障信號降噪方法

沈科宇，嚴華，申雨

（上海振華重工（集團）股份有限公司，上海200125）

減速箱作為港口起重機進行裝卸作業的主要動作機構，具有功率大、啟停頻繁、正反轉切換頻繁等特點。由于減速箱各零部件間存在力的交互，發生故障時，通常會在主故障的影響下引發相關部件的次生故障。例如齒面發生剝落現象，剝離物會隨著潤滑油液在減速箱內部循環，可能造成其他齒面或軸承的操作。因此單純的理論分析方法可能對仿真信號或故障試驗臺模擬的信號均能取得較好的診斷效果，但在實際運用中就會受到噪聲和多故障源相互干擾的影響，使診斷算法難以發揮應有的作用。本文提出一種基于S-T變換和SVD的信號降噪方法。通過S-T將時域信號向時頻域轉換，再用奇異值分解即SVD對轉換后的時頻矩陣進行分解，最后根據奇異值大小對信號進行去除噪聲的處理并重新構造時域信號，以實現對信號濾除噪聲的目的。

1 算法

1．1 S 變換（S-T）

S-T是Stockwell提出的時頻分析算法，它是基于連續小波變換的一種信號時頻轉換算法。在頻率較低的信號帶中，由于高斯窗函數更寬且分辨率比Gabor變換的分辨率高，因此S-T更適合于對低頻信號進行濾除噪聲處理。經S-T后信號h(t)的時頻矩陣為：

式中，v為頻移參數。

基于連續小波變換的時頻分析算法也就是S變換，在沿著時域信號時間軸方向有可積分性，積分后將可以得到針對原來時域頻譜信號x(t)的積分頻譜信號X（f）即此可以視為S變換的逆變換，其具體的推導如下：

利用高斯窗所包含面積等于1的特性：

需要注意的是，由于在時頻分析變換過程中沒有引入窗口函數，導致傅里葉變換后信號的還原度不高，信號頻譜失真的程度較大。針對此缺點，STFT引入窗口函數以期解決無窗口函數導致變換后信號噪聲過多失真的缺點，但引入的窗口函數的寬度是固定的，這使得對于信號中的低頻信號部分，STFT轉換后信號丟失的信息較多，使得最后得到的結果信號頻率分辨率較低，失真程度較大；同理，轉換過程中寬度不隨頻率高低變換的窗口函數，對于信號中的高頻分量轉換后的噪聲也較多，使得信號失真程度較大，而S函數的窗口函數是高斯函數，高斯窗函數的顯著特點就是寬度隨信號頻率而變化，根據頻率高低變換窗口函數寬度大小，這使得無論是對于信號中的高頻部分還是低頻部分，S變換過濾后的信號相較以上兩種方法都更為準確，原信號的損傷較小。從S變換的表達式（1）也可以看出，在頻譜信號較低頻域帶時，S-T變換中高斯窗函數的寬度大于高頻域時的窗口函數寬度，所以使得低頻時信號的頻率分辨率較高；而在頻譜信號較高頻域帶時，高斯窗口函數的寬度則較小，能較好地濾除高頻信號中的噪聲，提高高頻時信號的分辨率。綜上所述，與基于傅里葉變換的短時傅里葉變換與傅里葉變換兩種信號處理方法相比較，S變換及其逆變換后得到的時域頻譜信號具有高分辨率和信號信息無損性較高的特點，轉換后得到的信號準確性高。

S變換作為一種基于特定基本小波的小波變換，結合相位校正，可以與經典的傅立葉變換相結合。也正因如此，S變換結合了兩者的特點，具有小波變換與傅里葉變換具有的線性關系和可逆性，與此同時也可與快速傅立葉變換結合進行相關運算，以實現提高頻譜信號轉換效率的目的，尤其對復雜信號的轉換來說，保存原有信號的信息量相較于其他方法更多，故與傅立葉變換和短時傅立葉變換相比，S變換具有可逆性和多分辨率的優點，使得S變換后的信號損傷成為時頻處理領域的一種優越方法。

1．2 奇異值分解（SVD）

奇異值分解（SVD）是一種在數學領域的矩陣理論中具有重要數理意義和廣泛應用的對矩陣的分解方法。它無論是在矩陣理論研究還是在工程信號領域的分析與統計研究中都具有很重要的應用研究價值。

奇異值分解（SVD）的數學定理為對于一個實矩陣S（n ×m)，其秩為p(p≤min(n,m))，則必存在一個正交陣U（n×n)和V(m×m)使得稱為原矩陣S的非零奇異值，并且有表達式S=UWVT稱為S的奇異值分解式。

在矩陣S的SVD分解中S=UWVT，U列構成與S正交的一組輸入或分析基向量。V列則成為對S正交輸出的一組基向量。A矩陣對角線上的元素稱為該矩陣的奇異值，可以視為對輸入和輸出之間的標量控制系數也就是U和V的列向量。

用SVD分解方法去除信號噪聲的具體步驟為：（1）構造重構矩陣A；（2）對A進行奇異值分解；（3）確定有效階次；（4）信號還原。

對于以上給定的奇異值矩陣如果其秩為r,那么其SVD為

以下引出一個數學引理，此引理是奇異值分解去除信號噪聲的其中一個理論依據。

引理1設A∈Rm×n,m×n=N,rank(A) =r則A的奇異值分解為：

綜上所述再依據矩陣理論中對于F范數的數學定義，可知在空間R中A矩陣的一個最佳逼近為

引理1給出了矩陣降秩的計算方法。該方法是利用奇異值較大的矩陣來實現的。在處理信號時，濾波信號的形成也采取同樣的原理，通過使用較大的奇異值來實現。因此，SVD濾波方法不僅可以消除噪聲，而且可以保證原始信號的逼近功能。

因此奇異值分解處理信號數據的主要特點就是保留奇異值較大的對應矩陣的信號，放棄奇異值較小矩陣對應的信號也就是噪聲，能夠又能最大程度地保留原始信號的主要信息，使分解處理后的信號真實性提升，損傷減小，這也是采用奇異值分解減少信號噪聲的基本原理。

2 實測信號降噪處理

2．1 樣本基本情況

取得樣本的減速箱為岸邊集裝箱起重機起升機構4:1縮小尺寸試驗臺，采集硬件配置列于表1：

表1

試驗時，振動加速度傳感器安裝于高速軸軸承支座上，傳感器中心線正對軸心且與徑向重合。樣本采集了試驗臺高速軸軸承外圈預制故障情況下的振動信號1024點作為原始樣本，原始樣本中含有少量本底噪聲。在原始樣本中添加隨機Gaussian白噪聲模擬干擾環境，噪聲為線性幅值0.25W。圖1(a)為原始信號，圖1(b)為添加噪聲的信號。

圖1 輸入信號時域波形

2．2 降噪處理過程

第一步：將圖1(b)的信號作為輸入信號h(t)，經S-T求出它的時頻矩陣，其時頻譜如圖2。從時頻譜中可以看出，振動沖擊主要集中在3000～4000Hz頻段。

圖2 信號h(t)的時頻譜

第二步：采用SVD對第一步得到的時頻矩陣進行分解并將求取的奇異值按由大到小進行排序。根據奇異值分解的特點，隨著奇異值的減小，其存儲的信號信息也越來越少。根據圖3(a)顯示，第200個以后的奇異值變化已經十分平緩。因此選取前200個奇異值求其差分，并將奇異值差分譜示于圖3(b)。從差分譜可看到第70個奇異值后的變化已很微小，因此可將奇異閾值設為70。

圖3 信號h(t)時頻矩陣的SVD譜和差分譜

第三步：將大于閾值的奇異值置為零，重新構造信號h(t)的時頻矩陣，再對構造時頻矩陣求其S-T逆變換，即可得到降噪后的信號h‘(t)，其時域波形如圖4所示。

圖4 經降噪處理后的信號

從圖4可以看到，信號經降噪處理后不僅濾除了添加的噪聲信號，甚至還有效的抑制了本底噪聲，進一步提升了信號的信噪比。

3 結語

本文選用S變換將信號從時域向時頻域轉換，同時利用其具有的無損逆變換特性來將重構的時頻矩陣變回時域信號，從而在時頻域中實現對信號噪聲的處理。

在時頻域中，利用SVD差分譜確定信號的奇異閾值，通過將大于閾值點的奇異值強制置零的方法生成新的奇異矩陣，并重構時頻矩陣。

從實驗數據來看，通過S-T和SVD組合算法對于大型起重機的減速箱故障信號具有良好的降噪效果，能有效的提高信噪比。