四旋翼飛行器串級自抗擾姿態控制方法研究

陳志旺,李 博,張忠新,宋 娟,彭 勇

1(燕山大學 工業計算機控制工程河北省重點實驗室,河北 秦皇島 066004)

2(國網黑龍江省電力有限公司 佳木斯供電公司,黑龍江 佳木斯 154002)

3(燕山大學 電氣工程學院,河北 秦皇島 066004)

E-mail:506719511@qq.com

1 引 言

無人機具有占地小、價格低、效率高、性能優異等特點,因此無論應用在軍方或者民用,無人機的未來都具有無限的可能[1].其中,最受引人注目的莫過于四旋翼飛行器,四旋翼飛行器是一種蝶形飛行器[2],因為它有眾多固定翼飛行器都無法做到的事情,因此它是當前各國研制的無人機中出場率最高、功能最廣泛、研究最透徹的旋翼無人機.

四旋翼飛行器是一個復雜的欠驅動系統,無人機在室外飛行時,抗風擾是不可回避的實際問題[3],無人機是否能夠平穩地、具有較強的自適應能力以及快速靈活地機動飛行,其關鍵是飛行控制系統穩定性能的優劣[4].因此,研究四旋翼飛行器的姿態控制方法具有一定的理論意義和實用價值.目前國內外研究學者普遍采用的控制方法包括PID控制[5]、Back-Stepping控制[6]、嵌套飽和控制[7]等.基于PID控制算法的姿態控制器是將控制系統橫滾、俯仰、偏航通道相互獨立,對每個通道單獨設計相應的PID控制算法,該方法具有原理易懂,容易實現,廣泛適用等特點,但是其存在可移植性差、穩定性能弱等缺點,這些缺點導致了四旋翼很難得到理想的控制效果.基于Back-Stepping控制的四旋翼的姿態控制器把系統分解成不超過系統階數的子系統,然后為每個子系統設計Lyapunov函數獲得控制律,此方法具有超調量比較低并且調節時間快速等優點,但是該方法一般需要滿足嚴格反饋的控制系統,所有局限性比較高.基于嵌套飽和控制的姿態控制器具有計算簡單、穩定性強且能獲得全局漸進穩定的控制效果等優點,但是此方法多適用于嚴格的前饋級聯非線性系統,對于欠驅動的四旋翼飛行器,無法做到完全的反饋線性化.

由我國著名學者韓京清研究院研究提出的自抗擾控制(ADRC)技術[8,9]是一種不依賴于精確的系統模型的新型控制技術.通過安排過渡過程(TD),擴張狀態觀測器(ESO)跟蹤輸出控制器輸出信號并得到狀態信息,最后通過狀態誤差信息來獲得非線性誤差反饋控制量(NLSEF),并依據擾動估計值對系統執行擾動補償來獲得理想控制量,可以比較有效的解決復雜不確定系統的控制問題[10,11].

針對傳統ADRC方法存在的諸多問題很多研究團隊進行了一定程度的改良.Gao[12]提出了線性自抗擾控制方法,并引入“頻率尺度”的概念,在賦予參數明確意義的基礎上使得參數整定工作量大幅度減少來以便于實際應用;吳云潔等[13]在自抗擾控制器中的ESO引入變結構控制理論,既能保證原控制器的控制效果同時還能降低可調參數;李大宇,邵星靈等[14,15]通過對ESO的改良使其可獲得更多的系統狀態信息,從而提高了對“總擾動”的觀測精度;邱搏博,齊乃明等[16]對ESO和非線性誤差反饋控制器進行了重新構造,避免了在傳統ADRC中非光滑函數易引起高頻震顫.

為了解決四旋翼飛行器的雙回路、多子系統的結構問題,本文作者提出了一種串級自抗擾控制方法.將各姿態通道間的耦合視為系統內部不確定擾動,并于外部擾動一起構成總擾動.利用ESO對系統的總擾動進行估計,利用NLSEF補償系統的總擾動.基于串級 ADRC的四旋翼姿態控制系統以角度作為外環,以角速度作為內環,外環輸出的控制量做為內環的輸入量,最終實現了預期的目標.

2 四旋翼飛行器數學模型

由于四旋翼飛行器的非線性特性,本節基于假設,建立四旋翼飛行器角速度動態模型.

建立模型過程中對其系統提出以下幾點假設:

1)四旋翼飛行器是一種剛體,結構和彈性形變可以忽略;

2)四旋翼飛行器具有嚴格的對稱結構;

3)四旋翼飛行器重心在自身坐標系的中心.

那么四旋翼的模型如下所示,具體推導過程見文獻[17，18]:

Ω4(t))+q(t)r(t)(Iy-Iz))/Ix

(1)

Ω4(t))+p(t)r(t)(Iz-Ix))/Iy

(2)

(3)

其中p(t)、q(t)、r(t)分別表示橫滾、俯仰、偏航三個角的角速度,Ix,Iy和Iz分別為x軸、y軸和z軸的轉動慣量,M1(t),M2(t)和M3(t)分別為橫滾、俯仰和偏航方向的驅動轉矩,Ω1(t),Ω2(t),Ω3(t),Ω4(t)為四個螺旋槳的旋轉速度,IR是每個螺旋槳相應的電機軸的轉動慣量.設φ(t)、θ(t)和ψ(t)表示大地坐標系下四旋翼機體繞橫滾軸、俯仰軸、偏航軸的旋轉角度.三個角速度和三個姿態角度有如下關系:

p(t)=φ(t)-ψ(t)sin(θ(t))

(4)

(5)

(6)

并且通過關系式(1)～式(3),將角速度等式(4)～式(6)轉換為:

(M1(t)-IRq(t)(-Ω1(t)+Ω2(t)-Ω3(t)+

Ω4(t))+q(t)r(t)(Iy-Iz))/Ix

(7)

(-Ω1(t)+Ω2(t)-Ω3(t)+Ω4(t))+

p(t)r(t)(Iz-Ix))/(Iycos(φ(t)))

(8)

(Ix-Iy))/(Izcos(θ(t)))cos(φ(t))

(9)

由以上公式可知,橫滾角φ和俯仰角θ分別會約束在x軸和y軸的線運動,任何一個旋翼轉動速度的變化都會引起至少3個方向自由度運動的變化,具有高度的耦合性.

3 串級ADRC控制器的設計

圖1為四旋翼控制系統的整體框圖,在圖1中,ρ(t)是遙控器給定的目標角,ε(t)是目標角和當前角的偏差,ζ(t)是目標角速度與當前角速度的偏差,φ(t)為實際得到的角度.

圖1 四旋翼橫滾軸角度控制結構圖

3.1 內環控制器設計

本節在姿態控制器的內環設計自抗擾控制器來追蹤目標角速度.為了簡化分析,我們以橫滾軸為例.在動力學中,將橫滾軸模型(7),拆分簡化為式(10)～式(12)

(10)

M1(t)/Ix=b0u(t)+Δu(t)

(11)

f(t)=Δu(t)-IRq(t)(-Ω1(t)+Ω2(t)-Ω3(t)+Ω4(t))/Ix

(12)

(13)

其中,b0為一階系統中的可調參數.在f0(t)中包含了狀態(φ,ψ,θ)和對其的一階二階的導數的信息.我們知道在實際中四旋翼系統中姿態角可以通過加速度計和陀螺儀獲得,角速度也可以由陀螺儀傳感器直接獲得.已知前兩項后,角加速度可以通過式(7)～式(9)獲得.

3.1.1 擴張狀態觀測器設計

在四旋翼系統中未建模動態部分主要是受陀螺效應的影響.擴張狀態觀測器主要處理未確定的擾動和未建模的動態.為了簡化分析,假定非線性部分未知項f(t)是連續可微的有界函數并把它看作擴張狀態x2(t),即f(t)=x2(t).橫滾軸模型(7)可改寫為：

(14)

(15)

ω(t)為x2(t)的微分,在實際系統中ω(t)是有界的.對系統(7)～(9)的擴張狀態觀測器為：

(16)

(17)

z1(t)和z2(t)分別觀測x1(t)和x2(t).e1(t)=z1(t)-x1(t),β1(t)和β2(t)代表兩個可調節的觀測器參數,δ1為給定的參數.

由fal(e(t),α,δ)的表達式知此函數的分段點為不可導點,為了簡化理論分析,在fal(e(t),α,δ)函數中我們選擇δ1=0作為擴張狀態觀測器的參數,這意味著在函數中取消了線性段,也就是說：

為了方便我們把上式簡記為fal(e1(t)).進一步,令e2(t)=z2(t)-x2(t).根據橫滾角動態方程(14)～(15)和擴張狀態觀測器(16)～(17),誤差系統為：

(18)

(19)

定理1.考慮四旋翼角速度系統模型(14)～(15)和擴張狀態觀測器(16)～(17)和誤差系統(18)～(19).如果存在兩個參數β1和β2滿足：

(20)

則擴張狀態觀測器(10)～(11)對四旋翼角速度系統模型(8)～(9)是有效的.

證明:考慮下面的Lyapunov函數

(21)

其中系數滿足：

(22)

根據以上不等式組(20)和(22),容易得到以下結果：

也就是說函數V1(t)滿足Lyapunov候選函數的正定條件.V1(t)對e1(t)和e2(t)的偏導數分別為:

(23)

(24)

因此,可以得到：

·(e2(t)-β1e1(t))+(λ2e1(t)-2λ3e2(t))

合并后,得：

(25)

得到：

(26)

其中,有等式：

和，

(27)

η3=λ2>0

(28)

(29)

存在一個二次型函數:

(30)

對函數來說,令:

a=β1λ2

我們容易得到a>0,并且μ(ω)得判別式滿足:

Δ=b2-4ac

=4(λ2β2(2β1λ3-λ2))>0

(31)

因此μ(ω)=0有兩個不同的解.如果不等式:

整理得到如下:

不等式進一步化簡整理得到:

(32)

根據不等式(27)～(29)和(32),Lyapunov函數V1(t)是正定的,它的導數在變量e1(t)的很大范圍內和對任意的e2(t)是負定的.令:

(33)

(34)

的解是同一量級,也就是說,

3.1.2 非線性姿態誤差反饋控制器

為了跟蹤外環的目標角速度信號,本節設計一個非線性的誤差反饋控制器.誤差信號為ζ(t)=v(t)-z1(t),其中,v(t)為給定的角速度,z1(t)為擴張狀態觀測器(10)～(11)的角速度觀測值.構造如下的非線性狀態誤差反饋控制器:

u(t)=(α1fal(ζ(t),0.5,δ2)-f0(t)-z2(t))/b0

(35)

其中α1是非線性控制器的增益;z2(t)/b0是f(t)的補償量.

令s1(t)=v(t)-x1(t)

(36)

則s1(t)的導數為：

(37)

ζ(t)=s1(t)-e1(t)

對其求導,進一步,我們可以得到：

其中e2(t)=z2(t)-f(t).

定理2.考慮閉環誤差系統和誤差反饋控制器,如果存在一個合適的正系數α1,則閉環誤差系統是穩定的.也就是說,通過控制器(35),輸出x1(t)可以收斂到輸入v(t).

證明:考慮下面的Lyapunov函數：

(38)

V2(t)的導數為：

e2(t)-(e2(t)-β1e1(t)))

=-(s1(t)-e1(t))α1fal(ζ(t))+

(39)

由于函數fal(x)是單調遞增奇函數,所以不等式-(s1(t)-e1(t))α1fal(ζ(t))≤0成立.通過定理1可知,e1(t)和e2(t)是有界的.進一步,在實際系統中,誤差s1(t)也是有界的.令：

3.2 外環控制器設計

四旋翼姿態控制系統的外環也是采用的自抗擾控制器,ρ(t)是遙控器給定的目標角,ε(t)是目標角和當前角的偏差,有等式(40)成立.

ε(t)=ρ(t)-y(t)

(40)

從圖1可以知道,外環的輸出值是內環的輸入目標值.在橫滾軸角速度模型中,令y1(t)=φ(t),角速度模型重寫為：

(41)

與式(16)-式(17)相似,定義e3(t)為e3(t)=z3(t)-x1(t)對系統(4)-(6)的擴張狀態觀測器為：

(42)

(43)

式中z3(t)、z4(t)為狀態x1(t)、x2(t)得觀測值;β3、β4兩個可調參數;δ2為給定參數.

為了跟蹤目標角度,由此設計了一個非線性狀態誤差反饋控制器.令誤差信號為ζ(t)=ρ(t)-z3(t),其中ρ(t)為期望角度,z3(t)為擴張狀態觀測器的角度觀測值.構造如下的非線性狀態誤差反饋控制器：

v(t)=(α2fal(ζ(t),0.5,δ3)-f0(t)-z4(t))/b1

(44)

式中α2是非線性控制器的增益;z4(t)/b0是f(t)的補償量.

4 自抗擾控制器的參數整定

針對串級的被控對象,一般內環運動變化比外環運動變化快,因此做數學運算時“內環”和“外環”應采用不同的采樣步長,即對應的內環采樣步長比對應于外環采樣步長要小,這樣做可以避免出現高頻震顫.

4.1 擴張狀態觀測器的參數整定

擴張狀態觀測器是自抗擾控制器的最重要的環節,它的參數整定對整個控制器來說至關重要.擴張狀態觀測器有4個可調參數,分別為fal函數的非線性參數δ1和觀測器參數β1、β2和補償系數b0.本小節重點討論前三個參數.

fal函數中,δ為fal函數在原點附近線性區間寬度.若δ太大,ESO大部分工作在線性區,無法體現出非光滑反饋的優勢且對非線性信號的逼近能力也會減弱很多.若δ太小,在原點附近容易出現高頻震顫現象.所以δ一般可取5h≤δ≤10h左右.

觀測器參數β1、β2為狀態誤差反饋的反饋增益,影響ESO的收斂速度.參數β1,β2是由系統所用的采樣步長來決定的.也就說,不管什么樣的對象,采樣步長一樣,都可以用相同的β1,β2.

4.2 非線性狀態誤差反饋控制率的參數整定

在自抗擾控制器中,NLSEF有6個可調的參數.控制器增益α1、α2和fal函數中的非線性參數δ2、δ3和補償系數b0、b1.δ的整定方法與ESO中的相同.

對于控制器增益α1、α2,α1、α2越大系統的上升時間越少,但是α1、α2過大會導致系統振蕩,甚至導致系統輸出發散.補償系數b0、b1類似于PID中的積分增益,我們要盡量的將參數調到“盆地”的中間位置.

5 仿真實驗分析

在Matlab中的Simulink環境進行四旋翼姿態控制仿真實驗,四旋翼飛行器機身參數如表1所示.串級ADRC控制器的角度環和角速度環仿真參數如表2和表3所示.

表1 四旋翼無人機仿真參數

Table 1 Quadrotor UAV simulation parameters

參數數值參數數值質量m1Z軸慣量Izz1.42e-3旋翼臂展l0.24升力系數b5.42e-5X軸慣量Ixx8.10e-3阻力系數d1.04e-4Y軸慣量Iyy8.10e-3旋翼轉動慣量1.04e-4

表2 四旋翼無人機的外環仿真參數

Table 2 External loop simulation parameters of quadrotor UAV

外環φθ?α230030065δ30.10.10.1δ40.10.10.1b1111

表3 四旋翼無人機的內環仿真參數

Table 3 Inner loop simulation parameters of quadrotor UAV

內環φθ?β1200200200β2900900900α1150150100δ10.10.10.1δ20.10.10.1b0111

串級ADRC控制器的外環為角度環.圖2所示為串級ADRC控制器外環跟蹤曲線.圖3對比圖2加入高斯白噪聲之后,串級ADRC控制算法、串級PID控制算法和PD+ADRC控制算法的控制效果對比.

5.1 穩定跟蹤仿真

選取四旋翼飛行器的初始姿態角為[φθψ]T=[30° 20° 10°],仿真時間為10秒.仿真結果如圖2所示.

圖2 無擾動情況下外環角度的跟蹤圖

定義如下2個性能指標,姿態角第一次跟蹤上目標值的時間,用ts表示;姿態角的最大超調百分數用σ表示,則3個通道的各項性能指標見表4.

圖2和表4表明,俯仰角、滾轉角和偏航角均能快速、高效的跟蹤給定的姿態角信號.

5.2 抗擾性實驗

基于串級ADRC的四旋翼飛行器姿態控制器優點不僅在于不需要精準的數學模型且控制精度高,但最突出的地方的是其對擾動的抑制能力.通過對3個姿態角的反饋變量加入高斯白噪聲來模擬傳感器噪聲并選用串級PD+ADRC、串級PID控制算法做一下控制性能對比.

表4 跟蹤實驗的性能指標

Table 4 Track the performance of the experiment

通道 ts/sσ/%橫滾角2.32.69俯仰角2.21.75偏航角3.11.87

由圖3和表5可見:加入高斯白噪聲后,ADRC控制效果優于PD+ADRC和串級PID的控制效果,本文算法能夠在更短的時間內達到穩態且超調百分比很低.可見串級ADRC能夠有效的抑制各個通道之間的耦合效應和外界帶來的干擾,具有很強的抗干擾能力.

圖3 加入高斯白噪聲情況下三個姿態角的跟蹤圖

表5 擾動作用下的性能指標

Table 5 Performance indicators under disturbance

橫滾角俯仰角偏航角算法ts/sσ/%ts/sσ/%ts/sσ/%ADRC+ADRC2.32.841.72.153.11.34PD+ADRC2.21.751.86.742.59.35PID+PID3.13.973.11.952.415.34

6 結束語

本文充分利用了雙閉環控制結構和自抗擾控制對四旋翼系統的穩定控制性能.針對擴張狀態觀測器,本文構造了一個合適的Lyapunov函數以證明其穩定性.最后仿真驗證了雙閉環自抗擾控制器在噪聲擾動影響下針對于四旋翼系統的優勢.總的來說,文中所設計的自抗擾控制器具有抗干擾能力佳、穩定控制能力強的特點.