基于Kanai-Tajimi譜的單自由度廣義Maxwell耗能結構響應及譜矩解法

鄒萬杰 鄔麗霞 李創第 葛新廣

摘要：針對單自由度廣義Maxwell耗能結構基于kanai-Tajimi譜隨機地震激勵下響應分析較復雜的問題，提出一種簡明解法，利用Kanai-Tajimi譜基于白噪聲的濾波微分方程，與廣義Maxwell耗能結構的運動方程組成非經典阻尼結構的耗能系統，運用復模態方法獲得結構相對位移、相對速度、阻尼器阻尼力和阻尼力變化率基于白噪聲激勵的協方差統一解析表達式，再利用白噪聲激勵下譜矩與協方差的簡明關系，獲得單自由度線性結構響應的譜矩解析表達式，通過與已有方法比較的算例分析證明，提出的方法是一種簡明高效的計算方法，

關鍵詞：廣義Maxwell阻尼器;Kanai-Tajimi譜;濾波方程;譜矩

中圖分類號：TU311.3DOI：10.16375/j.cnki，cn45-1395/t，2020.02.003

0引言

地震是一種突發性并帶有隨機特性的自然災害，除了會造成地表建筑結構、設備裝置上的破環，通常還會導致大量的次生災害發生，造成人畜傷亡和財產損失，嚴重威脅社會經濟發展，早己引起國內外專家學者的廣泛關注。

粘彈性材料首先在機械振動領域被引用，后被引入土木工程的振動控制領域，目前有復模量模型、一般微分模型、分數導數模型和一般積分型模型等，研究表明：在工程上實際應用中，線性流體粘彈性阻尼器和線性固體粘彈性阻尼器其本構關系均可用參數足夠多的廣義Maxwell模型精確表示”因此采用粘彈性阻尼器的廣義Maxwell模型分析粘彈性耗能結構的響應特性具有較好的工程應用價值，

地震動可分為平穩隨機模型和非平穩隨機模型，平穩隨機模型地震動具有形式較簡單、且可以結合演變功率譜表示非平穩激勵，故平穩激勵在結構隨機振動的研究中得到了廣泛的應用[12-131.平穩隨機激勵主要有白噪聲激勵模型、Kanai-Tajimi譜地震激勵模型等，而Kanai-Tajimi譜地震激勵模型具有符合地震動描述、表達式相對簡單的特點而受到工程技術人員的普遍應用，李創第等用傳遞函數法等對基于Kanai-Taiimi譜地震模型的單自由度廣義Maxwell耗能結構進行求解，獲得了結構的響應，在已有文獻中，類似的耗能結構的地震響應求解無論是協方差還是功率譜都具有表達式不易積分的特點，存在計算量大且需要數值積分的問題，本文基于Kanai-Tajimi地震激勵模型，即將基巖運動視為白噪聲激勵，場地土看作是單自由度線性濾波器，將其運動方程表示為白噪聲的二階微分振子，與結構的運動方程聯合組成非經典阻尼結構的地震系統，再運用復模態法求解出結構的相對位移、相對速度、阻尼器阻尼力以及阻尼力變化率的統一表達式;基于隨機振動理論，獲得各類響應的協方差;利用Wiener-Khinchin關系，獲得各類響應的功率譜簡明表達式;最后基于譜矩的定義，獲得各類響應0-2階譜矩的簡明表達式，

由本文方法得到的激勵Kanai-Taiimj譜式（50）和傳統的功率譜式（51）如圖4所示，從圖中可以看到本文方法與傳統方法計算出的功率譜完全重合，而本文方法得到的功率譜表達式為系統特征值的線性組合，更加方便工程應用。

5.2響應與譜矩計算結構響應計算結果如表1。

虛擬激勵法需采用數值積分在[0.∞）區間進行求解，是無法實現的，根據功率譜函數特點可知，隨著頻率ω的增大，功率譜值越來越小，因此取積分區間為[0.10000]，積分間距分別為：①頻率積分間距為0.5rad/s;②頻率積分間距為0.1rad/s③頻率積分間距為0.05rad/s，本文方法和采用虛擬激勵法計算結構響應的0-2階譜矩如表2所示。

由表2可以看出，本文方法與虛擬激勵法的譜矩計算誤差很小，證明了本文方法的精確性和正確性，且本文方法的計算時間僅用了0.01s，而虛擬激勵法則隨著積分區間的減小，計算時間成本增加，計算時間遠大于本文方法，因此，證明了本文方法的計算效率更高。

6結論

針對廣義Maxwell耗能結構基于Kanai-Taiimi譜激勵下的結構響應，提出了新的簡明解法：

1）將結構運動方程和Kanai-Taiimi譜濾波方程組成非經典阻尼結構的耗能系統，從而將Kanai-Taiimi譜激勵轉化成以白噪聲激勵來表示，再應用復模態法將該非經典阻尼系統解耦，求出結構位移響應、速度響應以及阻尼器受力等，解的形式為結構振動特征值指數函數的線性組合，

2）本文方法獲得結構響應0-2階譜矩，由可靠度理論可知，為結構動力可靠度的分析奠定了基礎。