基于Kanai-Tajimi譜線性結(jié)構(gòu)隨機響應(yīng)的實模態(tài)統(tǒng)一解析法

葛新廣 李創(chuàng)第 鄒萬杰 張夢丹 姜焱

摘要：針對當(dāng)前計算Kanai-Tajimi譜下結(jié)構(gòu)響應(yīng)表達式復(fù)雜的問題，提出了計算單自由度結(jié)構(gòu)相對位移、相對速度和絕對加速度的解析法，首先，利用三角函數(shù)關(guān)系，獲得單自由度結(jié)構(gòu)相對位移、相對速度和絕對加速度響應(yīng)的統(tǒng)一杜哈梅積分表達式;其次，基于Kanai-Tajimi隨機激勵的協(xié)方差特點，給出了Kanai-Taiimi隨機激勵的協(xié)方差簡明表達式，利用隨機振動理論，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系獲得單自由線性結(jié)構(gòu)相對位移、相對速度和絕對加速度的統(tǒng)一簡明的實模態(tài)解析表達式，通過算例，驗證了該方法的正確性及計算高效性，并為多自由線性結(jié)構(gòu)隨機響應(yīng)、結(jié)構(gòu)動力可靠度分析提供了新途徑，

關(guān)鍵詞：Kanai-Tajimi譜;實模態(tài)解;統(tǒng)一解析解;隨機地震響應(yīng)

中圖分類號：TU318DOI：10.16375/j.cnki，cn45-1395/t，2020.02.002

0引言

地震一直是人類面臨的最主要的自然災(zāi)害之一，每年均有數(shù)次引起人員傷亡和財產(chǎn)損失的地震發(fā)生，因此，地震己成為各類工程結(jié)構(gòu)設(shè)計時必須考慮的因素，但其在發(fā)生時間、地點及強度上具有明顯的隨機性，故而地震對工程結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析極其復(fù)雜，基于地震激勵下的結(jié)構(gòu)安全設(shè)計依然是土木工程界的難點和研究熱點，Housner于1947年首次用白噪聲激勵過程描述地震動過程，開創(chuàng)了隨機地震動研究的先河，隨著地震動記錄研究的不斷深入，地震過程具有平穩(wěn)特性和非平穩(wěn)特性，平穩(wěn)特性一般發(fā)生在地震的初時和終時前一段時間內(nèi)，而中間階段具有非平穩(wěn)性，因此，地震動隨機模型的研究分為平穩(wěn)隨機激勵和非平穩(wěn)激勵模型兩大類，日本學(xué)者Kanai和Taiimi于20世紀60年代分別提出了一種平穩(wěn)地震動隨機模型，該模型認為地震動是由巖石震動引起，經(jīng)過土層傳遞到地面的結(jié)構(gòu)上，其中把巖石震動看做白噪聲，非巖石土看做一個單自由度二階微分振子表示的濾波器，稱之為Kanai-Taiimi模型，Kanai-Taiimi模型能考慮場地土的特性對于地震動影響，是被工程界公認的地震動模型;同時，其他改進的隨機地震動模型如Clough-Penzien模型、歐進萍模型等都是在Kanai-Taiimi模型的基礎(chǔ)上提出的，此外，各種演變均勻非平穩(wěn)激勵模型均與Kanai-Taiimi模型有關(guān)，為此，研究基于Kanai-Taiimj激勵下的結(jié)構(gòu)的地震動響應(yīng)的統(tǒng)一分析方法非常必要。

當(dāng)前研究結(jié)構(gòu)隨機地震動響應(yīng)的方法，主要有時域法和頻域法，時域法是利用實模態(tài)或者復(fù)模態(tài)方法獲得結(jié)構(gòu)的振動特性，進而獲得結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的杜哈梅積分表達式，利用隨機激勵的協(xié)方差獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的協(xié)方差，因此該方法的前提是己知隨機激勵的協(xié)方差，F(xiàn)ang等利用復(fù)模態(tài)方法研究了基于Kanai-Tajimi激勵下多自由度結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng);李創(chuàng)第等利用復(fù)模態(tài)方法研究了TMD耗能減震結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi激勵下的耗能體系的位移響應(yīng)，以上研究僅獲得結(jié)構(gòu)的位移協(xié)方差，且結(jié)構(gòu)分析時的振動特征值及響應(yīng)的表達式均為復(fù)數(shù)域，工程應(yīng)用時物理意義不夠明確，此外，結(jié)構(gòu)動力可靠度分析時還需要獲得結(jié)構(gòu)的速度協(xié)方差，結(jié)構(gòu)靈敏度分析時，需要計算結(jié)構(gòu)絕對地震加速度，為此研究基于實模態(tài)標準振子的結(jié)構(gòu)地震動位移，速度及加速度響應(yīng)的解析方法，具有工程應(yīng)用價值。

頻域法也是一種研究隨機振動重要方法，其利用結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜與地震激勵功率譜之間有直接代數(shù)關(guān)系，而隨機地震激勵模型主要是以功率譜形式給出，因此，頻域法應(yīng)用較為廣泛，虛擬激勵法是頻域法的典型代表，李春祥等利用虛擬激勵法研究了MTMD基于Kanai-Tajimi激勵下的動力特性，研究了場地土卓越頻率對MTMD最優(yōu)參數(shù)及有效性的影響，賈超等利用地震最大加速度和功率譜強度的代數(shù)關(guān)系，計算了基于Kanai-Tajimi模型的功率譜密度函數(shù)，并獲得結(jié)構(gòu)關(guān)鍵位置的內(nèi)力或者變形等響應(yīng)值，以上研究僅能獲得結(jié)構(gòu)地震動響應(yīng)的功率譜的表達式，需要對功率譜進行廣義積分才能獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的方差，目前僅能采用數(shù)值積分獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的方差，故頻域法存在計算效率和計算精度受數(shù)值積分方法影響較大的問題，

利用三角函數(shù)變換理論，對Kanai-Tajimi隨機激勵協(xié)方差的表達式進行簡化，并應(yīng)用于結(jié)構(gòu)地震動響應(yīng)的位移、速度和加速度實模態(tài)杜哈梅積分表達式，進而獲得單自由度結(jié)構(gòu)的相對位移、相對速度和絕對加速度時域響應(yīng)的統(tǒng)一杜哈梅積分表達式，最后，基于隨機振動理論，得到了單自由線性結(jié)構(gòu)上述響應(yīng)方差實模態(tài)的統(tǒng)一簡明解析解。

1單自由結(jié)構(gòu)響應(yīng)的杜哈梅積分表達式

4算例

建立在7度區(qū)二類場地上的單層結(jié)構(gòu)，其質(zhì)量、剛度分別為9.8x10⁶kg，5.1x10⁷N/m，自振圓頻率為2.281rad/s，阻尼比為0.05.地震動采用Kanai-Tajimi譜，根據(jù)文獻[5]，中等堅硬土場地地震動的阻尼比0.8.卓越頻率為16.5rad/s，基巖上的白噪聲譜強度因子為0.00694m²/s³，利用Matlab獲得其復(fù)特性及其對應(yīng)的實特征如表1所示，相對位移、相對速度和絕對加速度方差如表1所示，其中相對位移方差與文獻[14]所提方法計算一致。

5結(jié)論

本文運用三角函數(shù)關(guān)系，在實模態(tài)域就單自由度結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi隨機激勵下的相對位移、相對速度和絕對加速度響應(yīng)的統(tǒng)一解析表達式進行研究，獲得如下結(jié)論：

1）利用三角函數(shù)，可將結(jié)構(gòu)響應(yīng)的三要素即相對位移、相對速度和絕對加速度統(tǒng)一表達式，并簡化了其表示形式，本文無需進行復(fù)模態(tài)分析所獲的是實模態(tài)域中結(jié)構(gòu)各類響應(yīng)的值。

2）利用matlab軟件研究了三角正切反函數(shù)取值規(guī)則，有利于簡化三角正弦與余弦函數(shù)線性組合表達式。

3）本文方法為經(jīng)典阻尼基于Kanai-Tajimi隨機激勵下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)三要素的解析解，對于多自由結(jié)構(gòu)可以化成多個單自由結(jié)構(gòu)，利用SRSS組合，進而獲得多自由結(jié)構(gòu)的3種響應(yīng)的解析解。