正項級數的收斂性問題研究

曾春花 余英

摘 要 本文對正項級數的收斂性方法進行了總結，并舉例說明了這些方法在解題中的應用。

關鍵詞 正項級數 收斂 發散

數項級數是表示函數的一個形式，也是學習數學分析和高等數學的重要組成部分，而正項級數是數項級數里最基本的級數。對于正項級數斂散性的判別是學習正項級數的的重要內容，判別數項級數的常用方法有比較判別法、比值判別法、根值判別法、積分判別法等，在文獻[3，4]中對正項級數的斂散性問題進行了討論，本文將對正項級數斂散性的判別法進行總結及其比較，并舉例說明了這些方法在解題中的應用。

1正項級數收斂性的判別方法

1.1比較判別法

設和都是正項級數 且。

若收斂，則收斂;若發散，則發散。

1.2比值審斂法

若正項級數滿足，則當時級數收斂;

當（或）時級數發散，當時級數可能收斂也可能發散。

1.3根值審斂法

若正項級數滿足，則當時級數收斂;

當（或）時級數發散。當時級數可能收斂也可能發散。

1.4 p-判別法

設為正項級數 滿足，則

（1）如果而則級數發散;

（2）如果，而則級數收斂。

1.5積分判別法

設在區間上函數且單調遞減。則正項級數與積分共斂散。

1.6拉貝判別法

若為正項級數，且存在某正整數及常數，

（1）如果對一切，成立不等式則級數收斂;

（2）如果對一切，成立不等式，級數發散。

2判別法的應用

級數收斂的必要條件是其通項趨于0，因此如果通項不趨于0，級數一定發散。但是注意此條件是必要非充分條件，若通項趨于0的級數未必收斂，再考慮用定義或判別法來判別級數的斂散性。在判別收斂性時，要熟記一些重要級數的收斂性，如級數當時發散，當時收斂; 幾何級數當時發散;當時收斂。

例1：判別級數的斂散性。

分析：首先判別此級數的通項極限是否為0。

解： 由于，得此級數通項的極限不為零，根據收斂級數的必要條件級數通項的極限必為零，知此級數發散。

例2：判斷級數的斂散性。

分析：此級數容易想到用比較判別法來做。

解：當時，，而等比級數收斂，由比較判別得級數收斂。

例3：判斷級數的斂散性。

分析：此極限比較法、比值法、根值法都不能判別，這時考慮積分判別法。

解：函數在非負遞減，而此積分發散，由積分判別法得原級數發散。

例4：判斷級數的斂散性 ， 其中。

解：當時，有，而級數收斂，由比較判別法得原級數在時收斂;當時，有，收斂級數的必要條件級數通項的極限必為零，知此級數在時發散。

例5：設函數在點有連續的二階導數，且。試證明：

（1）若，則級數發散;

（2）若，則級數收斂。

證明：把函數在點展開成帶二階Lagrange型余項的Maclaurin公式，有， 介于 0與 之間，則

（1）若，則當充分大時 不變號，可認為 是同號級數，可用正項級數的判別法進行判別。有當時，，得，，由p-判別法得此級數發散;

（2）若，注意到在點連續，在點的某鄰域內有界，存在正數，使得，于是，而p級數收斂，由比較判別法得此級數收斂。

3總結

當遇到判別正項級數收斂性問題時，首先考慮收斂級數的必要條件是否滿足，級數的通項是否趨于零，若不趨于零級數發散。若趨于零則考慮用比較判別法，通過觀察是否容易找出對比的級數;若通項里有階乘的因式，則優先考慮用比值判別法;若通項里有次冪的因式，則優先考慮用根值判別法;最后再考慮用積分判別法等其他方法來判別。在判別過程中，需熟記一些重要級數的收斂性，對解決收斂性問題會事半功倍。

參考文獻

[1] 華東師范大學數學系.數學分析：下冊（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 同濟大學.高等數學：下冊（第6版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3] 趙士元.正項級數斂散性的判別法[J].濟南職業學院學報，2017（06）：103-105.

[4] 許紹元.一類正項級數收斂性的一個刻畫及其應用[J].吉首大學學報（自然科學版），2018，3（39）：1-4.