從培養中學數學教師的角度淺談《數學分析》的教學

摘?要：一名合格的中學數學教師要有扎實的專業基礎和完整的理論知識體系，更要有不斷學習研究的能力，這對大學課程的教學提出了更高的要求。本文以《數學分析》中和中學數學內容聯系緊密的內容為例來談談如何在教學中培養學生的數學學習和研究的能力。

關鍵詞：數學分析;中學數學;數學能力

很多學生認為《數學分析》這門課對數學專業的后繼課程比較重要，但是對中學數學教學幫助不大，對于以后想從事中學數學教育的學生來說，還不如多熟悉一下中學教材。我們指出，這是一個極其錯誤的觀念，作為中學數學教師，要有深厚扎實的數學基礎知識、數學學科完整的理論體系和開闊的數學視野，在教學中才能高屋建瓴、深入淺出。這對大學課程的教學提出了更高的要求，如何在課程的教學中培養學生數學思想、數學觀念、數學品質并幫助學生構建系統的數學知識理論體系？下面我們以《數學分析》這門課程中與中學數學聯系緊密的內容為例，來談談如何在教學中培養學生的這些能力。

一、 “實數”理論教學

在初中二年級時我們就知道正的整數和分數，負的整數和分數以及零，叫作有理數，它是無限循環小數，而無限不循環小數是無理數，有理數和無理數統稱為實數。為什么大學課程《數學分析》還要再講實數，而且將實數理論看得這么重要？這是因為數學分析的主要研究對象是實函數，主要研究課題是這些函數的連續性、可微性、可積性與級數展開。

許多數學家進行長期大量的研究發現，這些理論的基礎是嚴格的極限理論，而人們發現極限理論的基本原理依賴于實數的完備性，從而需要了解實數的發展并對它給出嚴格的定義。

我們最熟悉的是正整數1，對其作加法我們就得到了所有正整數集合

如果我們對做減法就會導致零和負數的產生，從而得到了全體整數集合

如果我們對做除法運算，便產生了分數，從而我們得到了所有的有理數集合

很長時間內，大家都認為數就是有理數，都可以寫成兩個整數的商。直到畢達哥拉斯的一個學生發現兩直角邊為1的三角形的斜邊的長不能寫成兩個整數的商，才發現了新的數。那么問題就來了，這樣的數應該怎樣定義呢？

我們中學教材說無理數是無限不循環小數，這個說法只能說明它是實數的一種表示，而作為定義是欠妥的。因為我們是將無理數看成是它的不足近似所構成的有理點列的極限值。而極限理論是依賴于實數的完備性理論的，這樣我們就犯了邏輯上的錯誤。為了解決這個問題，很多數學家做了很多努力，最后圓滿地給出了無理數的定義，其中最主要的是戴德金和康托建立的實數理論（相關定義見[1][2][3]）。我們簡要敘述一下康托的實數理論，他注意到在有理數內的基本列有的收斂，有的不收斂。于是他將收斂的有理基本列定義為有理數，不收斂的有理基本列定義為無理數，這樣實數就是有理基本列的全體。

實數域與有理數域的一個重要差別在于實數集布滿了整個實軸，它是連續不斷的，這種連續性也稱為實數的完備性，它本質上說明了實數域對極限運算是封閉的。換言之，當實數域中的一個序列無限接近一個數時，這個數一定還在這個域中?？坍媽崝档耐陚湫杂泻芏喾N等價的說法，它們分別是：單調有界定理、閉區間套定理、致密性定理、柯西收斂準則、有限覆蓋定理和確界原理（相關定義見[1][2][3]）。

實數的完備性理論建立起來后，我們就可以自由地討論極限理論了，以此為工具研究函數的連續性、可微性、可積性以及級數展開。在高維歐氏空間或者無窮維度量空間中討論極限理論，也必須先建立相應的完備性理論。

通過對實數理論的系統分析，讓學生理解了這一理論的重要性，對整個中小學階段所學的實數的相關性質有了重新的認識，提高了數學品味，為他們以后走上中學講臺打下了基礎。

二、 “函數”理論教學

一個變量完全由其他量所確定，我們稱前者為因變量，后者為自變量，它們之間的這種確定性的依賴關系稱為函數關系。對于大多數學生而言，他們認為所謂函數關系就是由解析表達式所表示的關系，例如y=sinx+2x+5。

數學分析課程中還有很多這樣和中學內容銜接很緊密的內容，我們應該在教學過程中培養學生的學習和思考的習慣，強調數學概念及其發展歷史，探究問題存在的條件，思考概念的廣義化，強調數學問題中的數學思想和數學觀念，打好堅實的基礎，擴大數學視野，將所學理論知識形成體系并應用于實際問題。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析（第五版）[M].高等教育出版社，2019.

[2]伍勝健.數學分析[M].北京大學出版社，2011.

[3]陶哲軒.陶哲軒實分析[M].人民郵電出版社，2012.

作者簡介：

唐樹安，貴州省貴陽市，貴州師范大學數學科學學院。