導體棒在勻強磁場中運動模型分析與拓展應用

焦偉

[摘要]導體棒在磁場中的運動問題是高中物理的重要內容，內容比較抽象，相關題型可以涉及的知識很多，題型變化多樣，能很好地考查學生的綜合能力，長期受到高考命題者的青睞。在近幾年的高考物理壓軸題中，導體棒在磁場申的運動問題較少出現，按高考重點知識輪回的可能性，導體棒在磁場中的運動問題值得關注。

[關鍵詞]導體棒，運動模型，拓展應用

[中圖分類號]G633.7[文獻標識碼]A [文章編號]1674-6058（2020）11-0031-04

在電磁感應現象中，導體棒切割磁感線會產生電動勢，當形成閉合電路時，回路中有感應電流，通電導體棒會受到安培力作用。當導體棒所處的物理環境發生改變時，導體棒的運動形式具有明顯的差異性，形成不同的物理模型。這些不同的物理模型蘊含著豐富的物理思想與方法，可以相應地運用動力學、動量、能量等方面知識來解剖模型的結構，進而對模型進行拓展與重組。

一、導體棒在磁場中運動模型分析

1.模型構成

如圖1所示，兩平行光滑的金屬導軌ef、gh位于同一水平面上，相距L，左端與一電阻R相連;整個系統置于勻強磁場中，磁感應強度大小為B，方向豎直向下。一質量為m的導體棒cd置于導軌上，其電阻為r，在滑動過程中始終與導軌垂直并保持接觸良好。重力加速度大小為g，導軌的電阻和空氣阻力可以忽略。

2.模型基本分析思路

在處理這類物理模型時，需要將電磁感應定律、電路規律與動力學規律相結合，按照一定的順序進行動態分析，具體如圖2所示。

導體在安培力或其他外力作用下，運動狀態可以分為兩類，其一為非平衡態向平衡態的動態轉化，其二為非平衡狀態，可能為勻變速直線運動、簡諧運動等。

3.模型分析

第一類運動狀態：由非平衡態向平衡態轉化

導體棒在磁場中由非平衡態向平衡態轉化的問題涉及的知識較多，分析解答這些問題時，需要根據具體問題，運用相應的知識規律進行分析解答。

（1）用動力學知識分析

問題1.若給導體棒施加一個水平向右的恒力F，使之由靜止開始沿導軌運動，則導體棒的加速度怎么變化？

分析：假設導體棒速度為v時，產生的電動勢為E=BLv，方向由d→c，形成如圖3所示的等效電路。

這類問題除了可以用上述動力學觀點分析外，還可以用動量觀點分析。

（2）用動量知識分析

問題2.在問題1中，假設經過一段時間t，導體棒的速度為v（vmax），那么通過導體棒的電荷量g為多少？導體棒運動的位移。為多大？

分析：對導體棒，取運動方向為正方向，由動量定理可知：

第二類狀態：非平衡態

導體棒處于非平衡態時，涉及的知識點也很多，題型變化很多，與上面的第一類狀態相比，處于非平衡態的導體棒運用問題（如導體棒一直做變加速運動、簡諧振動等），數學計算要求更高一些，試題的難度更大。

問題4.若給導體棒施加一個水平向右的力F，使之由靜止開始沿導軌做勻加速運動，加速度為a，則力F隨時間怎樣變化？導體棒的動量與能量如何變化？

問題5.若使導體棒做簡諧振動，周期為T，偏離平衡位置的最大位移為x_max，則速度v隨時間怎樣變化？力F隨時間怎樣變化？產生的電流i隨時間怎樣變化？

這表明F是一個周期性變化的外力，周期也為T。

二、導體棒在磁場中運用模型拓展應用

導體棒在磁場中的運動問題是高中物理的重要內容，也是高考考查的熱點，在2014-2019年，各地高考物理試題均涉及單導體棒模型。各地高考題在考查該模型時，一般是通過對基本模型的適當改變，要求考生從多角度分析導體棒的力學與電學特征，進而深度考查考生的力電綜合分析能力。

關于第一類狀態問題，有一些試題是模型的直接應用，如2014年北京卷、2015年北京卷;有一些試題則是設置不同的物理條件，如在2015年海南卷中改變恒力的來源;2014年江蘇卷與2015年四川卷中使導軌傾斜或豎直放置;2016年全國卷Ⅱ中設置導軌有摩擦;2018年江蘇卷中改變磁場的空間位置;2014年山東卷中改變磁場的大小;等等。還有一些試題改變研究對象，如在2014年上海卷、2015年安徽卷、2015年廣東卷中，使導體棒切割磁感線的有效長度發生改變;2017年新課標全國卷Ⅱ與2019年北京卷中不同導體棒切割磁感線，2016年全國卷I中多個導體棒形成連接體;等等。而在2017年江蘇卷中，則是把常見的電磁阻尼轉化為電磁驅動。

關于第二類狀態問題，試題主要是考查圖像問題，如在2016年四川卷中，涉及v-t圖像、F-t圖像、i-t圖像、U-t圖像、P-t圖像，在2019年新課標全國卷Ⅱ中有多個i-t圖像。

實際上，還可以將這類電阻一導體棒模型拓展到其他模型，如電源一導體棒模型，電容器一導體棒模型、雙導體棒模型等。

1.含電源模型

[例1]如圖5所示，水平放置的光滑導軌MN、PQ上放有長為L、電阻為R、質量為m的導體棒ab，與導軌左端接有內阻為r、電動勢為E的電源組成回路，整個裝置放在豎直向下的勻強磁場B中，導軌電阻不計且足夠長，并與開關S串聯。當閉合電鍵后，試分析導體棒的運動情況與能量的轉化情況。

分析：

（1）運動情況

2.含電容模型

[例2]光滑U型導軌寬為L，足夠長，其上放一質量為m的金屬棒ab，左端連接有一電容為C的電容器，現用平行導軌的水平恒力F拉動導體棒，使棒沿框架由靜止開始運動，如圖6所示，導體棒的電阻不計。試分析導體棒的運動情況與能量轉化情況。

3.雙導體棒模型

[例3]兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內，兩導軌間的距離為L。導軌上面橫放著兩根導體棒ab和cd，構成矩形回路，如圖7所示。兩根導體棒的質量皆為m，電阻皆為R，回路中其余部分的電阻可不計。在整個導軌平面內都有豎直向上的勻強磁場，磁感應強度為B。設兩導體棒均可沿導軌無摩擦地滑行，開始時，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v₀。若兩導體棒在運動中始終不接觸，試分析兩棒運動情況。

在2017年北京卷中，試題將電阻一導體棒與電源一導體棒模型進行對比，分析電動機與發電機的工作原理。而在2016年天津卷中，試題重在分析電容器的充放電問題，并由此分析導體棒的運動問題與能量問題。另外，還有不少試題研究了雙導體棒問題，如2014年天津卷、2018年全國卷Ⅱ、2019年新課標全國卷Ⅱ、2019年新課標全國卷Ⅲ、2019年天津卷等，試題大多屬于綜合類問題，有的是圖像問題，有的是動力學問題，有的是動量與能量問題。

三、高考考查預測

由上述分析可以推測，對于導體棒模型，今后可能考查的方向有以下幾點：

（1）改變磁場，讓其方向不再拘泥于豎直方向，強化學生對空間受力的分析能力，或者設置有間隔的勻強磁場，組合成多種運動，強化學生分析復雜運動的能力。

（2）改變導體棒，從單個到多個，從偽雙導體棒到真雙導體棒，強化學生對研究對象的選擇能力，促進學生分析研究對象之間的關聯，強化事物之間的相互關系意識。

（3）數形結合，用圖像來表達物理信息，增強形象性與直觀性，強化學生的看圖、識圖、用圖的意識，提升學生解決問題與表達問題的能力。