數學史上的三次危機

摘 要 數學發展史上發生過三次重大危機，對數學的發展產生了巨大影響。就三次數學危機的產生以及危機的解決方面進行梳理，從數學史的視角給出了三次數學危機的啟示。

關鍵詞 數學危機 數學史 危機解決

0 引言

經歷幾千年的發展之后，數學已發展成為一個龐大的學科體系。1868年還只有38個分支的數學學科，到了1979年就發展成擁有約3 400個分支的學科體系。在漫長的發展過程中，數學的發展道路并不平坦，出現了多次危機，而這些危機的解決，進一步促進了數學的發展。本文將就其中的三次重大危機進行梳理，探索這三次數學危機產生的歷史根源、思想背景以及危機的解決過程，這對了解數學這門學科的發展脈絡、領略數學的旖旎風光與思想方法無疑具有十分重要的意義。

2 第一次數學危機

2.1 第一次數學危機的產生

畢達哥拉斯是公元前5世紀古希臘哲學家、數學家、天文學家。相傳畢達哥拉斯青年時代曾就學于泰勒斯，后到過亞洲和埃及旅行，特別是在埃及，學到了很多數學知識。約公元前530年，他返回故里，創立了自己的學派—畢達哥拉斯學派。

該學派是一個神秘的宗教組織，主要從事哲學和數學的研究，內部紀律嚴明，把一切發現歸功于學派領袖，而且秘而不宣，以致后人無法得知這個學派的發現是何人在何時發現的。畢達哥拉斯及其學派的思想以及學說是在很久以后，該組織漸漸分散、保密的教條被放棄以后在一些公開講述該學派教義的著作中逐漸出現的，所以我們今天看到的這個學派的傳聞有著不同的版本。

畢達哥拉斯學派在數學上有很大的貢獻，論證數學的成長、數學抽象的提出等都歸功于該學派。特別是畢達哥拉斯定理，盡管各個文明圈都獨立地發現甚至證明了該定理，但西方將之命名為畢達哥拉斯定理，可見世界對該學派數學貢獻的認同。

這個學派信奉“萬物皆為數”的理念，具體地有兩個方面的內涵：（1）宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比。（2）任意兩條線段都是“可公度的”。這里兩條線段a、b可公度是指總可以找到第三條線段t，使得a、b的長度都是t的長度的整數倍。

作為學派信條的“萬物皆數”在當時一直能解釋各種現象，但學派成員根據畢達哥拉斯定理，通過邏輯推理發現，邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示的，正方形的一邊與該正方形的對角線是不可公度線段。

這一發現從根本上沖擊了畢達哥拉斯學派的根基，對古希臘的數學觀產生了巨大的沖擊，引發了第一次數學危機。據傳一開始只有畢達哥拉斯學派的成員知道這一結果，內部非常恐慌，極力掩蓋事實，希望在內部化解危機。據說學派成員希伯索斯因泄露了這個秘密而被秘密處死（也有傳聞說希伯索斯本人就是不可公度比的發現者）。

2.2 第一次數學危機的解決

古希臘人解決這個問題的基本思路是：在數的領域仍然只承認證書（或整數比），只要在幾何的研究中能解決幾何量中出現的不可通約（不可公度）量問題就可以萬事大吉了。也就是說，把數和量分開處理。

幫助古希臘人擺脫困境的關鍵一步是由才華橫溢的歐多克索斯邁出的。歐多克索斯（公元前408—公元前355）是古希臘著名的數學家、天文學家與地理學家，被認為是古代世界最卓越的創新人物之一。約公元前370年，歐多克索斯天才地給出了“兩個量的比相等”的新定義，這是歐多克索斯比例論的核心。他的著作已經全部失傳，但幸運的是，他的比例論成果保存在歐幾里得《幾何原本》的第五卷中，從中可以看到其主要思想。歐多克索斯從這個新定義出發，推出了“，則 ”等25個有關比例的命題。在論證了比例的這些“通常”性質后，古希臘人就能夠對幾何量之比進行運算了，這與現在我們對實數進行算術運算的方式幾乎相同。這樣古希臘人部分地消除了危機。之所以說“部分地”消除了危機，是因為“一切都可以歸結為整數比”這一命題的錯誤仍然沒有辦法消除，徹底解決這一危機是在19世紀，實數理論建立以后的事情。

3 第二次數學危機

3.1 第二次數學危機的產生

第二次數學危機則是由牛頓學派的外部、貝克萊大主教提出的，是對牛頓“無窮小量”說法的質疑引起的。16～17世紀，數學家對瞬時速度、切線、極值以及曲線所圍圖形面積等四大類問題的追究，經過許多數學家的多年努力，終于在17世紀晚期，形成了無窮小演算—微積分這門學科，其中貢獻最大的是牛頓、萊布尼茲兩位數學家。

但牛頓、萊布尼茲創立的微積分理論是不嚴格的，兩人的理論都建立在無窮小分析上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用比較混亂，推理過程中存在著明顯的矛盾。以求自由落體的瞬時速度為例：

前面提到的其他三類主要問題也采用這樣的無窮小分析方法，都得到了解決，這一方法也成功地用在解決過去大量的科技問題上，因而得到了廣泛的認同，并得以迅速發展。

但是當時的微積分理論雖然在計算上能方便地解決許多的計算問題，可對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的，模糊不清的。圍繞“無窮小”作為一個量，究竟是不是0？微積分理論的創立者在推導過程中對“無窮小”的屬性的說明是不一致的。

3.2 第二次數學危機的解決

為了補救第二次數學危機，數學家們開始嚴格化重建微積分。微積分的創立者牛頓、萊布尼茲自身也做了很多努力，但問題沒有得到解決。此外，英國數學家泰勒在微積分創立之初也曾努力地去彌補被遺留的難題，但是嘗試沒有取得成功。

在貝克萊悖論提出后的7年，出現了30多種的小冊子和論文試圖消除悖論并回擊貝克萊的批評，并把主要的努力投入到微積分基礎的嚴密化嘗試中。其中，英國數學家麥克勞林對貝克萊悖論做出了最重要的回應，他采取了拒斥無窮和無窮小量概念，用幾何方法嚴格論證微積分的做法。

但這樣的工作沒有獲得18世紀大多數數學家的認同，因為麥克勞林的方法退回到了古希臘人的煩瑣方法，這樣做就放棄了微積分理論的優點：迅速而有效地解決重要的計算問題。因此數學家需要尋找其他途徑加固微積分基礎。

18世紀更多消除貝克萊悖論的工作是由歐洲大陸數學家完成的。歐拉、達朗貝爾、拉格朗日、卡諾等做出了較大的貢獻。其中達朗貝爾設法利用極限的方法給出微積分的理論依據，拉格朗日設法放棄無窮小量的概念，卡諾則采取了用事實證明和說明無窮小的現有算法。但整個18世紀，人們都試圖為微積分找到合乎邏輯的理論基礎，幾乎每一個數學家也都做出了一些努力，雖然有一些發現，但所有的努力都沒有獲得圓滿的結果。

4 第三次數學危機

4.1 第三次數學危機的產生

19世紀末和20世紀初，數學迎來了空前興旺發達的時期。首先是數理邏輯學科的誕生，實現了邏輯的數學化。19世紀70年代，德國數學家康托爾創立了集合論，旨在為數學學科奠定堅實的基礎。19世紀末戴德金和皮亞諾對算術及實數理論進行公理化，希爾伯特則完成了初等幾何的公理化。同一時期，現代數學的一些新興分支，如抽象代數學、點集拓撲學、代數拓撲學、泛函分析、測度與積分理論等也得到蓬勃發展。

數學學科取得的一系列巨大成就，令數學家振奮。1900年，在巴黎召開的國際數學家會議上，法國大數學家龐加萊興奮地宣布：“我們可以說，現在數學已經達到了絕對的嚴格”。但數學家們很快發現了集合論內部存在的問題，他們提出的多個數學悖論讓數學大廈又一次受到強烈沖擊，引發了第三次數學危機。這些悖論中包含了康托爾本人發現的悖論，但康托爾等人提出的悖論并未引起數學家的重視。一直到1902年羅素悖論的出現，終于引起了數學界的極大震動，圍繞集合論形成了20世紀初數學基礎的大論戰。

羅素悖論可以這樣描述：以M表示“是其本身成員的所有集合的集合”，以N表示“不是它本身成員的所有集合的集合”，問，集合N是否是它本身的成員？

我們可以通過推理得出：無論是哪種情況，都出現矛盾。

羅素悖論曾被以多種形式通俗化，其中最著名的是羅素于1919年給出的“理發師悖論”：某村有個理發師，宣布了這樣一條原則：他給且只給村里不自己刮臉的人刮臉。問：理發師是否給自己刮臉？如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按規則，理發師不應該給他自己刮臉，矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的人，按規則，理發師應該給他自己刮臉，這又矛盾。無論是哪種情況，都出現矛盾。

羅素悖論比起之前的數學家提出的悖論以簡單明了的方式揭開了集合論本身矛盾重重的蓋子，震驚了整個數學界。法國數學家、數理邏輯先驅弗雷格當時正準備出版《算術的基本法則》第二卷，收到羅素的信后，只能把自己為難的心情寫在新著的末尾：“對一位科學家而言，最難過的事情莫過于在他的工作即將結束時，其基礎崩潰了。”提出算術公理完整系統的德國數學家戴德金也因此推遲了他的《什么是數的本質和作用》一文的再版。

4.2 第三次數學危機的解決

危機產生后，數學家紛紛提出自己的解決方案。數學家開始了對康托爾集合論的改造，主要是通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。這些原則既要保證能排除一切矛盾，又能使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。1908年，策梅羅在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，后來經弗倫克爾的改進，形成了著名的Zerme-to-Fraenkel（ZF）集合論公理體系，之后在ZF公理體系的基礎上添加了選擇公理，形成ZFC集合論公理體系。這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZFC系統外，集合論的公理系統還有多種，如馮·諾伊曼、博內斯、哥德爾等提出的NBG系統等。公理化集合系統的建立，成功地排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。

盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數學的確定性卻在一步一步地喪失。現代公理集合論中一大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的。所以，第三次數學危機表面上解決了，實質上以其他形式更深刻地延續著。

在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，以羅素為代表的邏輯主義、以布勞威為代表的直覺主義、以希爾伯特為代表的形式主義三大數學哲學學派（數學基礎的三大學派）應運而生，而各派之爭又促進了數學的大發展等等。

5 三次危機對我們的啟示

三次數學危機能給人很多啟示，本文從數學史的角度去思考，能得到以下啟示：

（1）首先是理解無限并非易事。無理數的發現導致了第一次數學危機，而無理數實際上就是無限不循環小數;第二次危機，正像貝克萊指責的那樣在“無窮小量”上，實際上要害的核心極限理論的邏輯基礎不完善;而第三次危機，涉及無窮集合，也與無限有關。可以看到，三次危機都與無限有關。現代人在學習、理解涉及無限的概念或現象、解決涉及無限的問題是也常常發生困難，由于人們習慣于有窮情況下的思維，往往從有窮狀況類比、推斷無窮情況、認知未知情形、未知世界，而有窮與無窮有著本質的區別，因此一旦遇到無窮時要格外謹慎。

（2）數學發展的歷史有助于深入理解數學。數學學習中我們經常遇到會有許多如下的疑惑：為什么古希臘數學家喜歡用幾何方法研究處理數學問題？為什么把無限不循環小數叫做無理數？數學的理論或結構是如何建構的？為什么要進行證明？為什么有的教科書對平行線給出“同一平面內垂直與同一直線的兩條直線”這樣的定義，而不用“同一平面內永不相交的直線呢”？為什么要這樣構建公理系統？戴德金分割和皮亞諾公理有什么意義？這些問題在教科書中找不到現成的答案，絕大部分教師也不會提及會解釋這些問題。而通過前面的討論我們對這些問題會在某種程度上找到答案。比如對教科書中平行線的兩種定義，實際上是數學哲學三大流派中直覺主義與形式主義的“代表”，是否“永不相交”無法判別，形式主義給予認可，但直覺主義則希望能實實在在地進行判斷，而采用垂直于同一條直線這樣的說法。

6 結語

通過對三次數學危機發生、發展史的考察，我們對數學的理解能得到提高。相對數學世界的瀚海大海，限于目前已知的狹隘知識面，我們對數學的認知目前還是冰山一角。如果我們能比較全面、系統地了解數學的發展史，無疑能提高我們對數學理解的高度以及深度。

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（2019-12-30收稿，2020-02-26修回）

作者簡介：陸新生（1963—），男，副教授，研究方向為數學基礎理論、數學教材教法，E-mail： xslu@shnu.edu.cn。

Three crises in the history of mathematics// LU Xinsheng

Author's Address Mathematics & Science College of Shanghai Normal University， E-mail： xslu@shnu.edu.cn.

Abstract There have been three major crises in the history of mathematics development， which have a great impact on the development of mathematics. In this paper， the emergence and solution of the three mathematical crises are combed， and the Enlightenment of the three mathematical crises is given from the perspective of the history of mathematics.

Keywords mathematical crisis， history of mathematics， crisis resolution