指向生成的數(shù)學(xué)單元開篇課教學(xué)
——以蘇科版八年級下冊“分式”章頭圖的教學(xué)為例*

任宏章 張 璇

(江蘇省南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校 215100)

蘇科版八下第10章“分式”的章頭內(nèi)容占兩頁，配了兩幅圖：第1頁是一幅求矩形面積圖，第2頁是一幅火車運(yùn)行圖，圖的附近是簡潔的文字說明(如 圖1)，第2頁下方附文字“本章將學(xué)習(xí)分式、分式的運(yùn)算以及分式方程”．針對這樣的素材，如何組織教學(xué)？南師大蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中數(shù)學(xué)教研組進(jìn)行了多次“分式”章頭圖的單元開篇課堂教學(xué)實(shí)踐研究活動(dòng)，嘗試以全面理解和開放思維為教學(xué)設(shè)計(jì)的著力點(diǎn)，課堂指向生成，關(guān)注教學(xué)過程，不斷地留意學(xué)生的變化和反應(yīng)，捕捉偶發(fā)的教育契機(jī)與智慧火花，并對學(xué)生的反應(yīng)作出積極的回應(yīng)[1]．先后在校、區(qū)、市開設(shè)教學(xué)研究公開課，并取得了一定成效．

1 教材分析與教學(xué)定位

分式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的一類代數(shù)式，是“數(shù)與代數(shù)”部分的重要內(nèi)容，是繼整式之后對代數(shù)式的進(jìn)一步研究．本節(jié)課分式章頭圖的教學(xué)建立在小學(xué)學(xué)過分?jǐn)?shù)與初中學(xué)習(xí)過一元一次方程的知識(shí)基礎(chǔ)上.分式與小學(xué)學(xué)的分?jǐn)?shù)具有相似的形式、類似的性質(zhì)，因此它們有一致的研究方法和相同的結(jié)構(gòu)思維．基于此，通過數(shù)式通性和類比思想來研究分式的相關(guān)內(nèi)容．本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)從章頭圖的 第2個(gè)問題開始，通過變式引申生發(fā)出教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，課堂指向生成、關(guān)注過程，問題開放，要求教師能夠很好地駕馭課堂．

首先，從章頭圖的實(shí)際生活中抽象出分式模型，感悟分式研究的必要性；其次，從知識(shí)結(jié)構(gòu)和研究方法上類比分?jǐn)?shù)，生成研究分式的一般性思考方法；再次，嘗試分式運(yùn)算和解分式方程，初步感悟分式運(yùn)算規(guī)律，并且通過求同存異，初步感悟分式方程的概念和解法，這也為后續(xù)的具體學(xué)習(xí)研究打下一個(gè)良好的基礎(chǔ)．另外，章頭圖的教學(xué)設(shè)計(jì)和一般的知識(shí)點(diǎn)新授課教學(xué)設(shè)計(jì)不同.平時(shí)新授課要求有深入的探究過程，概念細(xì)實(shí)清晰，還要有相應(yīng)的練習(xí)等．而章頭圖的教學(xué)設(shè)計(jì)卻不需要給出準(zhǔn)確的概念和相應(yīng)的練習(xí)，只要初步感悟知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和體系建構(gòu)．

教學(xué)目標(biāo)：(1)從實(shí)際生活中抽象出分式模型，感悟分式研究的必要性；(2)類比聯(lián)想，形成研究分式的一般性思考方法；(3)嘗試分式的運(yùn)算和解分式方程，初步感悟分式運(yùn)算法則和解分式方程的方法．教學(xué)重點(diǎn)：了解學(xué)習(xí)分式內(nèi)容的必要性，整體建構(gòu)分式全章的內(nèi)容，感悟研究分式的方法．教學(xué)難點(diǎn)：類比分?jǐn)?shù)，初步探究分式的研究方法，滲透轉(zhuǎn)化，形成解分式方程的指導(dǎo)思想．

2 問題設(shè)計(jì)與片段實(shí)錄

2.1 提出問題，全面理解，自然生成研究問題的新知體系

·教學(xué)片斷1——提出問題

(章頭圖2問題變式)京滬鐵路是我國東部沿海地區(qū)縱貫?zāi)媳钡慕煌ù髣?dòng)脈，是我國最繁忙的鐵路干線之一．

(1)已知全長1 462 km，貨車的速度為120 km/h，那么貨車從北京到上海需要多少時(shí)間？

(2)如果北京到蘇州為skm，貨車的速度 120 km/h，那么貨車從北京到蘇州需要多少時(shí)間？

(3)已知全長1 462 km，貨車的速度akm/h，那么貨車從北京到上海需要多少時(shí)間？

(4)如果北京到蘇州為skm，貨車的速度akm/h，那么貨車從北京到蘇州需要多少時(shí)間？

師：列出你認(rèn)為最簡潔的式子來表示各小題的結(jié)果！(教師巡視并請4位學(xué)生到黑板前把結(jié)果寫到

對應(yīng)位置．)

師：請大家觀察上面這四個(gè)式子，說說看它們有什么共同特征？

生1：分?jǐn)?shù)．

生2：分?jǐn)?shù)形式．

師：分子、分?jǐn)?shù)線、分母，每個(gè)式子都是這樣的結(jié)構(gòu)特征，所以我們可以把這四個(gè)式子都看成是分?jǐn)?shù)？還是分?jǐn)?shù)形式？

生眾：分?jǐn)?shù)形式．

師：生2觀察得很仔細(xì)．(教師在4個(gè)式子上方板書：分?jǐn)?shù)形式)繼續(xù)觀察這四個(gè)式子，說說看它們有什么不同之處？

生3：第一個(gè)式子①的分子分母都不含字母(教師在①后面板書：不含字母)；第二個(gè)式子②分子含字母(教師在②后面板書：分子含字母)；第三個(gè)式子③的分母含字母(教師在③后面板書：分母含字母)；第四個(gè)式子④的分子分母都含字母(教師在④后面板書：都含字母)．

師：再觀察這四個(gè)式子，哪些式子你以前見過、研究過，說說看？

生4：①是小學(xué)學(xué)過的分?jǐn)?shù)，分子、分母為正整數(shù)，是我們小學(xué)研究過的分?jǐn)?shù)．

師：正確．(教師在“①不含字母”后面進(jìn)一步板書：分?jǐn)?shù))

師：第二個(gè)式子②是分?jǐn)?shù)嗎？為什么？

生5：不是，分子不是整數(shù)，而是字母．

生5(恍然大悟)：單項(xiàng)式．

師：②就是我們七年級研究過的整式中的單項(xiàng)式．(教師在“②分子含字母”后面板書：整式)

師：③以前研究過沒有？它是分?jǐn)?shù)嗎？

生6：不是，分母含字母．

師：它是整式嗎？

生6：這個(gè)式子不能寫成數(shù)字乘字母的形式，它是字母乘以字母倒數(shù)的形式，或者字母除以字母的形式，而整式是數(shù)字乘以字母或字母乘以字母的形式，所以它不是整式．

師：③既不是我們學(xué)過的分?jǐn)?shù)，也不是整式，那它是什么呢？請一位同學(xué)起個(gè)名字.

生7：分式.

師：是的，這就是我們將要研究的分式，在后面的學(xué)習(xí)中我們將用15課時(shí)左右的時(shí)間來研究分式這一對象．(教師在黑板中間寫出課題：“分式”，同時(shí)在“③分母含字母”后面板書：分式)

師：繼續(xù)來看式子④，它是分?jǐn)?shù)嗎？

生8：不是！同樣的，分子、分母中含字母．

師：下面請觀察③④這兩個(gè)式子，它們的共同特征是什么？

生9：分母中含有字母．

師：什么叫分式呢？

生10：分?jǐn)?shù)形式的式子叫做分式．

生12(馬上補(bǔ)充)：分?jǐn)?shù)形式且分母含有字母的式子叫做分式．

師：這樣是不是就可以了呢？我們看分母B能為0嗎？

生14(立刻補(bǔ)充)：A,B為整式，B≠0．

·教學(xué)片斷2——追問問題

(小組討論) (1)想一想：小學(xué)時(shí)我們是如何研究(從哪些方面)分?jǐn)?shù)的？

(2)猜一猜：將從哪些方面研究分式呢？

(教師在課題下方板書：分?jǐn)?shù)．在小組討論的時(shí)候，教師行間巡視，引導(dǎo)、幫助不同小組進(jìn)行總結(jié)、歸納，然后小組派代表進(jìn)行班級交流．)

師：請第3小組代表回答“想一想”．

生1：什么是分?jǐn)?shù)？

師：如果用兩個(gè)字概括一下，可以稱之為分?jǐn)?shù)的什么呢？

生1：概念．(教師在“分?jǐn)?shù)”后板書：→概念)

師：除了概念，我們還研究了分?jǐn)?shù)的哪些內(nèi)容？(學(xué)生沉默)

生2：分?jǐn)?shù)的性質(zhì)．(教師在“分?jǐn)?shù)→概念”后面板書：→性質(zhì))

生3：運(yùn)算．(教師在“分?jǐn)?shù)→概念→性質(zhì)”后面板書：→運(yùn)算)

師：運(yùn)用概念、性質(zhì)、運(yùn)算來解決實(shí)際問題稱為什么？

生3：分?jǐn)?shù)的應(yīng)用．(教師在“分?jǐn)?shù)→概念→性質(zhì)→運(yùn)算”后面板書：→應(yīng)用)

師：概括一下，在小學(xué)我們是從概念、性質(zhì)、運(yùn)算、應(yīng)用這四個(gè)方面來研究分?jǐn)?shù).那么同學(xué)們覺得，在今后的分式學(xué)習(xí)中我們將會(huì)從哪些方面來研究呢？(教師在“分?jǐn)?shù)”下方板書：分式)

生4：概念、性質(zhì)、運(yùn)算、應(yīng)用．

(教師在“分式”后面板書：→概念→性質(zhì)→運(yùn)算→應(yīng)用，然后在分?jǐn)?shù)、分式間板書：類比)

2.2 拓展問題，類比聯(lián)想，自然生成研究問題的數(shù)學(xué)方法

·教學(xué)片斷3——拓展問題

已知京滬鐵路全長1 462 km，提速后貨車的速度為akm/h，客車的速度是貨車速度的2倍，從北京到上海的客車比貨車少用6 h，求貨車的速度.

想一想：你能用方程描述其中的數(shù)量關(guān)系嗎？

說一說：你得到的方程中包含哪些運(yùn)算關(guān)系？如何運(yùn)算？

試一試：你會(huì)解你列出的方程嗎？

師：想一想，請你用方程來表示其中的數(shù)量關(guān)系？(教師巡視、觀察，或者幫助學(xué)生)

師：這是什么方程？方程(*)中未知數(shù)是什么？

生2：一元一次方程，未知數(shù)是a．

師：之前我們研究過的一元一次方程，一元、一次分別指什么？

生2：一元是指方程只含有一個(gè)未知數(shù)，一次是指未知數(shù)的最高次為1次．

師：方程(*)是一元一次方程嗎？

生2：不是．

師：那這究竟是什么方程，能給它起個(gè)名字嗎？

生3：分式方程．(教師在“分式→概念→性質(zhì)→運(yùn)算→應(yīng)用”的下方板書：分式方程)

生4：分?jǐn)?shù)的分子分母同時(shí)乘以或除以一個(gè)不為零的數(shù)，分?jǐn)?shù)值不變．

師：乘除法呢？分式的乘除是否也能類比分?jǐn)?shù)的乘除運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算呢？

生7：可以．

師：我們把這個(gè)問題留給同學(xué)們在今后的具體學(xué)習(xí)中進(jìn)一步去發(fā)現(xiàn)、解決．

師：這個(gè)方程解到這一步，下一步該如何進(jìn)行呢？(教師請生8到黑板前講解．)

師：我們再來梳理一下這個(gè)分式方程的解答過程.首先我們應(yīng)用分式的性質(zhì)把方程化簡為(** )式(在方程后面板書：性質(zhì))，然后利用分式減法法則繼續(xù)化簡方程為(*** )式(在方程后面板書：運(yùn)算)，再利用等式性質(zhì)把方程進(jìn)一步化為6a=731，最后求出這個(gè)方程的解．

師：注意觀察，方程(*)是分式方程嗎？

生(齊答)：是．

師：方程(** )呢？

生(齊答)：也是．

師：方程(*** )是分式方程嗎？

生(齊答)：還是．

師：方程6a=731還是分式方程嗎？

生(齊答)：不是．

師：那它是什么方程呢？

生(齊答)：一元一次方程．

師：它是我們學(xué)過的一元一次方程，是整式方程．在以后具體研究分式方程解法時(shí)，這將體現(xiàn)出一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，知道這是什么數(shù)學(xué)思想嗎？

生9：轉(zhuǎn)化思想．

師：對，轉(zhuǎn)化思想，即把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程．

2.3 提煉問題，完善認(rèn)知，自然生成研究問題的數(shù)學(xué)思想

·教學(xué)片斷4——提煉問題

說一說：(1)為什么學(xué)習(xí)這一章內(nèi)容？分式與分?jǐn)?shù)的差別在哪里？(2)本節(jié)課我們是從哪些方面研究分式的？采用了什么思想方法？(3)還有什么困惑？

師：我們?yōu)槭裁匆芯糠质侥兀?/p>

生1：實(shí)際問題中出現(xiàn)了分式，是生活的需要，而且以后還要用到．

師：僅僅如此嗎？

生2：七年級我們研究有理數(shù)后，研究了整式相關(guān)內(nèi)容，有理數(shù)分類為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，式子分為整式和分式，數(shù)學(xué)知識(shí)自然生長．

師(有點(diǎn)激動(dòng))：你說得真是太好了，“自然生長”這個(gè)詞用得好!(學(xué)生自發(fā)的掌聲)

師(進(jìn)一步補(bǔ)充)：學(xué)習(xí)分式是解決實(shí)際問題的需要，也是數(shù)與式內(nèi)部結(jié)構(gòu)發(fā)展的需要．

生3：分式是分?jǐn)?shù)的延伸，分式中含有字母，而分?jǐn)?shù)中不含字母．

生4(補(bǔ)充)：分式是分母中含有字母，且要求分母不為零．

師：問題(2)呢？

生5：我們研究了分式的概念、性質(zhì)、運(yùn)算和應(yīng)用，采用了類比分?jǐn)?shù)的思想方法．

師：能說得再具體一些嗎？

生6：類比分?jǐn)?shù)概念得到了分式的概念，類比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算初步感悟到分式的運(yùn)算也分為加減乘除，對于加減同分母的直接分母不變、分子相加減，異分母的要先通分后加減．分式的乘除可以先化除法為乘法，再約分，約分的方法跟分?jǐn)?shù)一樣．

生7(補(bǔ)充)：還學(xué)了分式方程的相關(guān)內(nèi)容，解分式方程的方法就是化分式方程為整式方程．

師：同學(xué)們說得太好了，你們的總結(jié)用一個(gè)圖譜來表達(dá)，就是圖2．(投影展示)

圖2

3 課堂反思與教學(xué)思考

3.1 以問題為引導(dǎo)，建立全局理解，在整體思考的過程中生成新的知識(shí)體系

“提出問題”中四個(gè)小問題是教材章頭圖2問題的變式，讓學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)列出四個(gè)式子．通過分析它們的特征引發(fā)認(rèn)知沖突，提出要研究的新問題,讓新知識(shí)自然產(chǎn)生．學(xué)生列出四個(gè)表達(dá)式后，教師提問：哪些形式是已經(jīng)學(xué)過的，哪些是沒有學(xué)過的？沒有學(xué)過的式子有什么特征？在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生不斷思考，知識(shí)在不斷創(chuàng)新，對概念的認(rèn)識(shí)逐步完善，學(xué)生的學(xué)習(xí)靈性智慧被不斷激發(fā)出來．學(xué)生在不斷地頓悟中很快得到對分式概念的深度理解．

“追問問題”通過“全面理解，系統(tǒng)建構(gòu)”完成．先是小組成員集體討論，然后小組選派代表發(fā)言．大家一起回憶小學(xué)時(shí)研究分?jǐn)?shù)的一般性方法，類比聯(lián)想到分?jǐn)?shù)，做出大膽合理的猜想，準(zhǔn)備從概念、性質(zhì)、運(yùn)算、應(yīng)用等方面來研究分式，教師給予充分的肯定．“追問問題”的教學(xué)過程是問題促思、類比建構(gòu)，在教師與學(xué)生的對話過程中初步構(gòu)建分式一整章的知識(shí)研究框架，自然而然地自主建構(gòu)研究新的數(shù)學(xué)對象的知識(shí)體系．

3.2 以拓展為契機(jī)，類比參照對象，在全面比較中生成新的研究體系

“拓展問題”中，一方面通過開展討論、師生對話，利用類比思想不斷創(chuàng)新地思考問題、不斷地解決問題，類比一元一次方程的概念、解法，嘗試領(lǐng)會(huì)分式方程的意義．另一方面，類比思想的本質(zhì)也包含兩個(gè)方面：求同、存異，即相同點(diǎn)和不同點(diǎn)．在知識(shí)體系構(gòu)成上分式是否有不同于分?jǐn)?shù)之處呢？自然而然地，在“提出問題”的基礎(chǔ)上提出“拓展問題”，學(xué)生得到方程后，為了解方程，從已有的關(guān)系式出發(fā)，通過“想一想”“說一說”“試一試”，類比分?jǐn)?shù)的性質(zhì)、加減運(yùn)算法則，初步感悟分式的性質(zhì)、運(yùn)算法則，經(jīng)歷探究分式方程的運(yùn)算過程，初步猜想解簡單分式方程的一般方法，體會(huì)轉(zhuǎn)化解分式方程的指導(dǎo)思想，知道檢驗(yàn)方程解的必要性．

3.3 以提煉為意向，健全認(rèn)知體系，在思維碰撞中生成整體的智慧理解

值得一提是“提煉問題”，即課堂小結(jié)．基于全面性理解和開放性思維，課堂小結(jié)力求厘清三個(gè)問題：(1)為何研究分式？一是其必要性．通過分析生活中的實(shí)際問題，學(xué)生直觀地感受到實(shí)際問題中存在著新的數(shù)量關(guān)系，而且這種數(shù)量關(guān)系在生活中廣泛存在，新的表達(dá)形式的出現(xiàn)成為新的研究對象，有必要去研究.二是其重要性．學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)掌握了分?jǐn)?shù)的知識(shí)體系，又有了初中階段整式的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，類比分?jǐn)?shù)發(fā)展，分式是數(shù)與式內(nèi)部知識(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)展的需要，也是數(shù)、式運(yùn)算發(fā)展的需要，依賴學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蛏尚轮?，學(xué)習(xí)分式有客觀的重要性，還會(huì)形成學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力．(2)分式研究什么？這個(gè)問題與怎樣研究分式是相互聯(lián)系又交叉在一起的．具體來說，分式的學(xué)習(xí)要利用七年級上代數(shù)式知識(shí)中從數(shù)到式抽象過程的經(jīng)驗(yàn)，通過類比小學(xué)學(xué)習(xí)的有關(guān)分?jǐn)?shù)的概念、性質(zhì)、運(yùn)算、應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)來探索，實(shí)現(xiàn)從分?jǐn)?shù)到分式的跨越．(3)怎樣研究分式？課堂充分利用了學(xué)生已有的學(xué)習(xí)水平、經(jīng)驗(yàn)、能力以及基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，誘發(fā)學(xué)生自然而然想到小學(xué)學(xué)過的分?jǐn)?shù)，這就奠定了學(xué)習(xí)分式的基礎(chǔ)．根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論原則，類比聯(lián)想推理分式的概念、性質(zhì)、運(yùn)算和應(yīng)用．類比思想是研究分式問題的基本方法．

總之，分式章頭圖的教學(xué)要以全面理解和開放思維為課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的著力點(diǎn)，課堂教學(xué)以問題為引導(dǎo)、以生成為追求，類比思想貫穿教學(xué)過程的始終.課堂上，教師要不斷留意學(xué)生的變化和反應(yīng)，捕捉教學(xué)的契機(jī)與智慧火花，自然地生成新知識(shí)、新方法、新思想．