任務設計：重在促進學生對概念的內化
——觀摩“弧度制”同課異構教學引發的思考

華志遠

(江蘇省無錫市第一中學 214031)

2019年10月，江蘇省高中青年教師優秀課評比活動在常州舉行，“弧度制”是其中的課題之一.此次活動中共有14位青年教師展示了自己的教學風采，給筆者留下印象較深的是以下三點：一是創設的教學情境富有個性，能為師生互動提供較好的平臺；二是幾乎所有教師都以HPM視角來設計教學，發掘數學史的教學價值；三是打破例題與練習的界線，使教與學融會貫通．一些教學形式較為新奇的課堂并沒有得到同行認同，而那些看似平實、內涵卻豐富的教學設計受到評委的青睞，從而體現了良好的課堂教學評價導向．在評課活動中，教學專家也提出了一些教學上的不足．例如，有些課堂的引入離課題較遠，明顯帶有“去數學化”現象；有些設計在角度制復習或角度制數學史記載等方面的教學用時較多，從而沖淡了本節課的主題，導致教學前松后緊，影響了課堂效果．蘇州大學數科院的徐稼紅教授一針見血地指出：幾乎所有選手對弧度制概念引入的必要性都缺乏有說服力的解釋，這樣學生很難體驗角度制與弧度制相互轉化的數學價值．

本文試圖通過若干弧度制概念發生階段的教學片段的比較，談一談如何優化數學問題、數學任務的設計，理清教學主線，提出數學觀點，滲透思想方法，引導認知方略，促進概念內化，從而實現學生的深度學習．

1 初始任務：讓學生找到認知的固著點

任務設計1 (1)度量長度既有國際公制又有中國市制．例如，南京到常州約132千米，一位同學身高1.8米，當然也可以說南京到常州約132 000米，但說該同學身高0.001 8千米，明顯不妥．不同的單位會給不同環境下解決問題帶來方便．

(2)復習提問：1度角是如何定義的？在角度制背景下，弧長公式和扇形的面積公式是怎樣的？

任務設計2 (1)目前，蘋果公司發布了A13手機芯片，華為公司也面向全球發布了麒麟990系列手機芯片．從麒麟910到990，從A4到A13，芯片發展的共同點是希望尺寸更小、運算更快、性能更強．數學中也有類似的發展．

(2)在半徑為r的圓中，填寫圓周長、半圓周長、圓周長、n°的圓心角所對的弧長．教師：該弧長公式反映了弧長、圓心角、半徑之間的關系，但運算不夠簡潔．

任務設計3 (1)在章首語中，我們學到周期現象最簡單的例子就是：圓周上一點的運動．設P是半徑為r的圓O上一點，為了構建數學模型來刻畫點P在圓周上的周期運動，首先要將點P表示出來：(r,α), (r,l), (x,y)都可以表示點P，那么α,l,r,x,y之間具有怎樣的關系？今天我們先來研究l,r與α之間具有怎樣的關系.

(2)記圓心角α=n°，l,r與n有怎樣的等式？這反映了l,r與α之間具有怎樣的關系？

點評上述三種任務設計開始時有差異，第一位主要創設類比情景，說明長度單位因適切性而不同，聯想到角度的單位制也可不同；第二位的引入主要說明數學與其他行業一樣都要追求發展，意味著角度制具有局限性，明顯與主題相去較遠，此外，弧度制的引入也不是因為弧長公式不夠簡潔產生的；第三位利用章首語導入，具有大單元的意識，引入自然，但學生不知道問題的去向，后續提問也不夠直接．三種設計最終都回歸到復習初中學過的角度制背景下的弧長公式，這是新舊知識鏈接點，只是設計1更簡潔明了，直奔主題．

2 探究任務：在實驗與思考中逐步完成

3 核心任務：在高水平示范中實現遷移

也有選手介紹了1837年James Thomson教授首次使用了弧度一詞，當時他將半徑(radius)的前四個字母與角(angle)的前兩個字母合在一起，構成radian，并被人們廣泛接受和使用，從而加深了學生對弧度符號的理解．

4 反思性任務：在質疑釋疑中促進理解

點評發掘學生熟悉的知識背景，一方面引發了學生的認知沖突，并在分析、解決問題的過程中，建立起良好的認知結構；另一方面簡要再現了弧度制的發展史，減少了數學學習的“冰冷性”，促進了學生的理解和思考；同時也為后續三角函數的學習作認知心理的準備． 縱覽數學發展史，弧度制的建立主要是由于變量數學的興起，尤其是函數、微積分等近代數學的發展． 此外，物理學、天文學、工程學及測量學等也起到了較大的推動作用． 教學中，由于時間和學生認知等原因，我們不能一一向學生介紹，但是有了這樣的數學史學觀，教學才能駕輕就熟，高屋建瓴．

各參賽教師在例題、練習、歸納、小結等方面各顯神通，體現了良好的專業素養，不再贅述．

當下的數學概念教學存在兩種錯誤傾向：一種是常態教學中受應試觀念影響，許多教師忽視概念發生階段的教學，通過所謂的學案編制大量的基礎題讓學生練習.這樣,短期的成績較好，但由于沒有理解概念的來龍去脈，數學思想方法的滲透也兼顧較少，導致學生的學習遺忘現象較為嚴重，獨立分析解決問題的能力下降，學生的認知水平并沒有提高.另一種是公開教學中教學設計追求新穎奇特，課件追求華麗炫酷，課堂教學氣氛追求熱鬧，知識發生階段的教學漫無邊際、盲目擴張，多數教學活動僅停留在知識的外圍，沒有涉及數學概念的本質，同時由于課堂的拖沓，影響了后續的例題、習題教學，加重了學生的學習負擔.這樣的“偽探究”并沒有真正提升學生的能力和素養． 這兩種極端的教學思潮，都是課堂教學缺乏品質的表現．

教師只有依據學生的學情，設計科學合理的數學問題和任務，才能驅動學生認知的探索熱情，并在教師高水平的示范引領下，促進學生對概念的內化、思想方法的領悟和認知能力的提升． 怎樣評價數學問題和任務的有效性和高品質？從認知能力維度分類，可把數學任務分為高認知水平、中等認知水平和低認知水平任務三個層次． 高認知水平任務核心是培養學生的關鍵能力和核心素養，如數學抽象、數學推理、直觀分析、建模用模、質疑探究和數學交流等，中等認知水平任務則注重學生對數學認識和理解水平的提高，而低認知水平任務則主要依賴概念的記憶和應試的訓練． 由于教學理念的區別，數學任務的設計具有明顯的差異． 高認知水平任務對學生的感悟、理解、思考、探索、推廣等具有積極地推動作用，并能引領學生通過自身的努力，構建優質的認知生態，提高學生的能力和素養．