悠遠(yuǎn) 融通 靈巧 凝練
——基于整體觀的初中數(shù)學(xué)教學(xué)

石禮芹

(江蘇省淮安市金湖縣教師發(fā)展中心 211600)

布魯納說：“學(xué)生獲得的知識，如果沒有一個完滿的結(jié)構(gòu)把它們聯(lián)在一起，那么一多半便會被遺忘．”[1]就初中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀而言，課堂教學(xué)依賴于教材劃分的課時內(nèi)容，習(xí)慣于“就內(nèi)容講內(nèi)容”，滿足于“完成基本任務(wù)即可”的現(xiàn)象較為普遍．這樣的教學(xué)，由于教師對教材缺乏整體性把握，學(xué)生得到的往往是零散的、碎片化的知識，容易遺忘，也不利于他們的后續(xù)發(fā)展．如何才能改變這種現(xiàn)狀呢？筆者以為，教師要深刻理解布魯納上面這句話的內(nèi)涵，意識到知識體系的構(gòu)建對學(xué)生學(xué)習(xí)的重要性，能從整體觀的角度去引導(dǎo)學(xué)生：在沿襲學(xué)習(xí)路徑中領(lǐng)會學(xué)習(xí)方法，在融會貫通中實(shí)現(xiàn)知識升級，在類比遷移中學(xué)會探究新知，在多題歸一中掌握解決問題的通性通法；從而讓學(xué)生真真切切地感受到數(shù)學(xué)的悠遠(yuǎn)之境、融通之美、靈巧之意、凝練之態(tài)．

1 沿襲學(xué)習(xí)路徑，感受數(shù)學(xué)的悠遠(yuǎn)之境

章建躍博士指出：“數(shù)學(xué)具有‘追求最大限度的一般性模式的傾向’，有一套具有普適性的思考結(jié)構(gòu).”[2]這里的“一般性模式”，其實(shí)就是我們平時所說的學(xué)習(xí)路徑，也是章先生提倡的研究問題的“基本套路”.縱觀數(shù)學(xué)教材，可以發(fā)現(xiàn)，雖然章節(jié)內(nèi)容各不相同，但數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)、研究對象的邏輯關(guān)系、數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)等都是有規(guī)律可循的.教師要引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握研究不同類型數(shù)學(xué)對象的“基本套路”，學(xué)會借鑒以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并沿襲普適性的研究路徑展開學(xué)習(xí)．

案例1《線段、射線、直線》的教學(xué)．

從這節(jié)課開始，學(xué)生將系統(tǒng)學(xué)習(xí)平面幾何，從知識內(nèi)容來看，它是今后研究其他圖形的基礎(chǔ)；從研究方法和路徑來看，可以為今后研究其他圖形提供可借鑒的經(jīng)驗(yàn).本課的重要性不言而喻．在教學(xué)時，教師不僅要研讀本節(jié)課教材編排的內(nèi)容，也要熟悉整個初中階段平面幾何的學(xué)習(xí)內(nèi)容，找出“一般性模式”，按照“背景—圖形—定義—表示(三種語言)—性質(zhì)—聯(lián)系和應(yīng)用”的邏輯路徑展開教學(xué)，尤其在課堂小結(jié)時，要求學(xué)生自已回顧總結(jié)研究的步驟，從而明晰研究幾何對象的“基本套路”，達(dá)到“示以學(xué)生思維之道”的目的．

在接下來學(xué)習(xí)《角》時，首先問學(xué)生：我們學(xué)習(xí)《線段、射線、直線》時，是按照怎樣的研究思路進(jìn)行的？引導(dǎo)學(xué)生回顧后，指出：今天我們將借鑒這樣的路徑研究《角》．同樣地，在平行、垂直、余角和補(bǔ)角等內(nèi)容的學(xué)習(xí)時，也都可以用相同或相近的思路展開探究活動，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)新知是“有路可走”的．

案例2法則教學(xué)．

章建躍博士認(rèn)為：數(shù)學(xué)的命根子是推理，數(shù)學(xué)的童子功是運(yùn)算.[2]法則教學(xué)兼具了培養(yǎng)學(xué)生推理和運(yùn)算能力的功能．以“有理數(shù)的加法”為例，它是初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)的第一條運(yùn)算法則，教學(xué)時要深刻領(lǐng)會教材的編寫意圖，能夠?qū)⑵浞胖糜谡麄€體系中去思考，理出法則教學(xué)的基本套路，按“背景—數(shù)學(xué)式子—法則—聯(lián)系和應(yīng)用”的邏輯順序展開教學(xué).與前面幾何教學(xué)相似，在全課總結(jié)環(huán)節(jié)，也要引導(dǎo)學(xué)生自己對研究過程進(jìn)行梳理，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供可以借鑒的學(xué)習(xí)路徑．

同樣地，概念、公式、定理、性質(zhì)等內(nèi)容的教學(xué)也都有其共性．教學(xué)中，教師要梳理出研究學(xué)習(xí)的基本模式，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會沿襲以往的學(xué)習(xí)路徑，從而能夠順利探得新知、挖得寶藏，使他們感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“珠穆朗瑪峰”雖然離自己很遠(yuǎn)，但“登山”的路就在腳下，從而切實(shí)體會到數(shù)學(xué)的悠遠(yuǎn)之境．

2 學(xué)會融會貫通，感受數(shù)學(xué)的融通之美

數(shù)學(xué)知識的形成是自然拓展的結(jié)果．比如數(shù)的演變過程，由于記事和分配生活用品的需要，先產(chǎn)生自然數(shù)，接著產(chǎn)生分?jǐn)?shù)，然后是有理數(shù)、無理數(shù)……教師在教學(xué)中應(yīng)及時融會貫通，特別要注意將新知識納入原有知識體系，讓學(xué)生感受到，隨著數(shù)學(xué)知識的自然拓展，原有的很多規(guī)定、法則等都會有相應(yīng)的升級、更新．

案例3《冪的運(yùn)算》．

這一章節(jié)內(nèi)容，教材中先安排了四課時學(xué)習(xí)《同底數(shù)冪的乘法》《冪的乘方和積的乘方》以及《同底數(shù)冪的除法(1)》的運(yùn)算法則，這幾種運(yùn)算都建立在冪的指數(shù)為正整數(shù)的前提下.在第五課時學(xué)習(xí)了“零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪”之后，筆者設(shè)計了這樣兩組題目：

要求學(xué)生先計算，計算后引導(dǎo)學(xué)生觀察討論：①和②，③和④之間有怎樣的關(guān)系？同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)與除法運(yùn)算性質(zhì)之間有怎樣的關(guān)系？

第二組 判斷下列計算是否正確：

(1) (4-2)3= 4-6；

(2)(-2 × 3)-2= (-2)-2× 3-2．

學(xué)生依據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的規(guī)定，分別計算等式的左右兩邊，確定出這兩題都正確．然后教師提問：這兩個式子給你們什么聯(lián)想？

設(shè)置這兩組習(xí)題的目的有兩個：一是使學(xué)生知道，冪的運(yùn)算性質(zhì)擴(kuò)展了，使得同底數(shù)冪的乘法和除法運(yùn)算性質(zhì)實(shí)現(xiàn)互通，它們的本質(zhì)是一致的；二是讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識之間的緊密聯(lián)系，感受到數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美、整體美．事實(shí)上，基于整體觀的初中數(shù)學(xué)教學(xué)不僅可以像案例1、案例2那樣反映一個板塊的聯(lián)系，也可以像《冪的運(yùn)算》一樣，體現(xiàn)在一個章節(jié)的前后融通中．

這兩組習(xí)題其實(shí)也是新知學(xué)習(xí)后的“回頭看”，它就像一個控制鍵，按下它就是打開了新舊知識聯(lián)結(jié)的閥門，新知得以與舊知自然連通，舊知也得以更新與升級，學(xué)生眼中的數(shù)學(xué)是可以融會貫通的，從而感受到數(shù)學(xué)的融通之美．

3 加強(qiáng)類比遷移，感受數(shù)學(xué)的靈巧之意

類比遷移是一種基本的思想方法．通過類比，可以有效地將已有知識的內(nèi)容和研究方法正向遷移到新知識的學(xué)習(xí)中．細(xì)心研讀教材我們便會發(fā)現(xiàn)，有不少知識點(diǎn)雖然所在章節(jié)不同，但內(nèi)容非常相近或類似，對于這部分內(nèi)容我們完全可以實(shí)行“點(diǎn)對點(diǎn)”的遷移，在沿襲“路徑”中探究新知，在縱橫比較中加深理解．

案例4教學(xué)《分式》可以類比《分?jǐn)?shù)》進(jìn)行．

從知識板塊縱向比較看，分?jǐn)?shù)和分式同屬于“數(shù)與代數(shù)”這一板塊，它們都可以按照“背景—對象—定義—性質(zhì)—運(yùn)算—應(yīng)用”的設(shè)計線索展開(圖1)；從章節(jié)編排體系橫向比較看，它們的知識脈絡(luò)是一致的 (圖1)：它們的定義形式類似、基本性質(zhì)的內(nèi)容類似、約分和通分的方法及依據(jù)類似、四則運(yùn)算的法則類似，實(shí)際應(yīng)用的范圍也有類似之處，所以類比《分?jǐn)?shù)》進(jìn)行《分式》的教學(xué)，不僅能夠有效培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)解決新問題的能力，更能提高他們對知識生長鏈整體性的認(rèn)同感．

圖1

像這類體系相同、知識點(diǎn)類似的章節(jié)還有很多，都可以進(jìn)行類比教學(xué)．例如，一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)之間，一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程之間，一元一次方程和一元一次不等式之間等．

同樣地，概念是種屬關(guān)系的知識之間也可以進(jìn)行類比遷移．學(xué)習(xí)相似三角形時，可以引導(dǎo)學(xué)生類比它的特殊情形——全等．矩形、菱形、正方形這些特殊平行四邊形的學(xué)習(xí)，也可以類比平行四邊形的學(xué)習(xí)方法和過程展開．

新舊知識的溝通與類比，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，對于不同章節(jié)里有著緊密聯(lián)系的知識，由于它們的知識結(jié)構(gòu)有相似之處，此時的探究學(xué)習(xí)并不需要另辟蹊徑，而是有竅門的，是可以“巧學(xué)的”，從而感受到數(shù)學(xué)的靈巧之意．

4 嘗試多題歸一，感受數(shù)學(xué)的凝練之態(tài)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚把讀書過程歸結(jié)為“由薄到厚”和“由厚到薄”兩個階段．[4]其實(shí)這也正是我們數(shù)學(xué)教學(xué)的兩個階段：在每一節(jié)課教學(xué)時，我們要充分研讀教材，理清知識脈絡(luò)，找到本節(jié)課內(nèi)容的“生長點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”，領(lǐng)會教材所蘊(yùn)含的重要的數(shù)學(xué)思想及可借鑒的學(xué)習(xí)路徑等，這就是學(xué)習(xí)的第一階段——“由薄到厚”；當(dāng)我們將一章乃至更多的內(nèi)容學(xué)完時，就需要進(jìn)行梳理歸類，找出相關(guān)問題的共同點(diǎn)，歸納總結(jié)相同的解題方法和經(jīng)驗(yàn)，用幾句話或一個圖表簡潔地將知識進(jìn)行串聯(lián)，這就是學(xué)習(xí)的第二階段——“由厚到薄”．要做到“由厚到薄”，教師就要善于整合教材，追本溯源，做到“多題歸一”．

案例5銳角三角函數(shù)的簡單應(yīng)用．

由一道實(shí)際問題變式得到四個題目，根據(jù)這四個題目可畫示意圖(圖2)，解答后引導(dǎo)討論．

圖2

問題1 這四個圖形是用“銳角三角函數(shù)解決問題”的幾種常見類型，它們的解題過程有何類似之處？

師生共同小結(jié)，歸納出解題基本思路(圖3)：

圖3

問題2 這四個圖有何聯(lián)系？

學(xué)生討論后明確：通過高線CD可將第一個圖形中的△BCD沿CD翻折得到第二個圖形，將第二個圖形中的CB平移會得到第三個圖形，將第三個圖形中的△BFD沿BF翻折可得第四個圖形，所以后面的三個圖形都可以由第一個圖形變化而來(圖4)．

圖4

教材中，銳角三角函數(shù)的簡單應(yīng)用里的大多數(shù)實(shí)際問題都可以對應(yīng)到以上四種圖形，而這四個圖形都可以由第一個圖形轉(zhuǎn)化而來，就相當(dāng)于這一章所學(xué)的知識，掌握一個基本圖形的解答，再稍加變化就可以了．這樣的整合概括性強(qiáng)、思想性高、數(shù)學(xué)味濃，減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，實(shí)現(xiàn)了多題歸一，讓學(xué)生對整章知識有了全面又簡潔的深刻認(rèn)識，從而感受到數(shù)學(xué)的凝練之態(tài)．

讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的悠遠(yuǎn)之境、融通之美、靈巧之意、凝練之態(tài)，只是“基于整體觀的初中數(shù)學(xué)教學(xué)”的初衷.它的最終目的是希望教師能站在整體觀的高度去審視教材、實(shí)施教學(xué)，摸清不同類型知識的研究路徑，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)探究“有路可走”；加大對學(xué)生知識體系的構(gòu)建強(qiáng)度，讓學(xué)生的知識體系“及時升級”；加強(qiáng)橫向與縱向聯(lián)系，讓學(xué)生的新知學(xué)習(xí)“一馬平川”；拓展對多題歸一研究的深度，讓學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)“一通百通”．