有深度的學(xué)習(xí)需循序漸進(jìn)螺旋上升
——“分式”教學(xué)實(shí)錄與反思

龐彥福

(江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 214036)

1 基本情況

1.1 授課對象

學(xué)生來自學(xué)區(qū)普通班，基礎(chǔ)不夠扎實(shí)，認(rèn)知水平與能力及再學(xué)習(xí)的能力都相對薄弱，缺乏良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣及行為習(xí)慣，但可塑性較強(qiáng).經(jīng)過一年半多的引導(dǎo)與磨合，大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)有了一定的探究意識(shí)與能力、聯(lián)想能力、抽象能力及推理能力．

1.2 教材分析

蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》將“分式”一章安排在八年級(jí)下冊，屬于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(下稱《標(biāo)準(zhǔn)》)“數(shù)與代數(shù)”板塊內(nèi)容．此時(shí)學(xué)習(xí)分式，學(xué)生不僅有了一定的代數(shù)基礎(chǔ)，而且也有了必要的推理能力和思辨意識(shí)．分式是整式內(nèi)容的進(jìn)一步延續(xù)和發(fā)展，是代數(shù)恒等變形的重要內(nèi)容之一．分式是由分子、分母兩部分組成的，相對于分?jǐn)?shù)和整式而言，其概念的內(nèi)涵更為豐富，運(yùn)算難度增大，符號(hào)變化更為復(fù)雜，方法也更為靈活．分式的概念具有承上啟下、統(tǒng)攬全局的作用，為全章的學(xué)習(xí)和研究搭建了框架，對該板塊內(nèi)容的建構(gòu)與學(xué)習(xí)起先行組織者的作用．分式又是后續(xù)學(xué)習(xí)分式方程、函數(shù)以及其他有關(guān)知識(shí)的重要基礎(chǔ)．

基于以上理解，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：(1)了解分式的概念，會(huì)判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式；(2)能用分式表示簡單問題中的數(shù)量關(guān)系，理解分式有、無意義的條件，會(huì)根據(jù)已知條件求分式的值；(3)經(jīng)歷用字母表示實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的過程，體會(huì)分式是表示現(xiàn)實(shí)世界中一類量的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)觀念，體悟用類比研究問題解決問題的思想方法．

教學(xué)重點(diǎn) 正確理解分式的意義，了解分式是否有意義的條件及分式的值為0的條件．

教學(xué)難點(diǎn) 能將分母不為0靈活運(yùn)用到問題解決之中．

2 教學(xué)過程

2.1 本真引入，有效教學(xué)

師：同學(xué)們，由“分式”這個(gè)課題能想到什么？

生1：分?jǐn)?shù)．

師：大家回想一下分?jǐn)?shù)，它是怎樣產(chǎn)生的呢？

師：之前我們學(xué)習(xí)過整式，能舉幾個(gè)整式的例子嗎？

生3：太多了！譬如1, 2x,a+b, 3m2- 2n3, ….

師：從中任選兩個(gè)作運(yùn)算，你準(zhǔn)備作什么運(yùn)算？

問題1(1)面積為6 m2的長方形一邊長是5 m，則它的另一邊長為m；一塊長方形玻璃板的面積為2 m2，如果寬為am，那么長是m；長方形的面積為S，長為m，則寬為.

(3)兩塊面積分別為a公頃、b公頃的棉田，產(chǎn)棉花分別為mkg,nkg．這兩塊棉田平均每公頃產(chǎn)棉花kg.

(4)小明從家到學(xué)校的路程約為3 km，平均速度為vkm/h，需要的時(shí)間是h；為了能夠早點(diǎn)來到學(xué)校，若平均每小時(shí)多走bkm，那么需要的時(shí)間是h．

設(shè)計(jì)意圖奧蘇貝爾把全部教育心理學(xué)歸結(jié)為一句話：影響學(xué)習(xí)唯一重要的因素，是學(xué)生知道了什么．建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：學(xué)生的學(xué)習(xí)是從自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)的一種自主建構(gòu)的過程．我國古代著名哲學(xué)家、思想家老子有句名言：“天下難事，必做于易；天下大事，必做于細(xì)”，它精辟地指出了想成就一番事業(yè)，必須從簡單的事情做起，從細(xì)微之處入手．知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展與探索是一個(gè)逐步的過程，分?jǐn)?shù)的概念既來源于實(shí)際的需要，又是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要，從分?jǐn)?shù)到分式是數(shù)到量飛躍的標(biāo)志．從除法到分?jǐn)?shù)、從整式到分式，意在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要聯(lián)系地學(xué)、整體地學(xué)．這樣設(shè)計(jì)，揭示知識(shí)間的聯(lián)系，緊靠學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，加深了學(xué)生對知識(shí)的理解和內(nèi)化．

2.2 體悟本質(zhì)，深度學(xué)習(xí)

師：仿照分?jǐn)?shù)，能給分式下個(gè)定義嗎？

設(shè)計(jì)意圖概念是教學(xué)的基石，是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，是學(xué)生開展數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的載體．對于概念學(xué)習(xí)的方式，奧蘇貝爾區(qū)分了兩種基本形式，即概念形成和概念同化．這里主要采用的是概念形成的方式來初步認(rèn)識(shí)和理解分式的概念，其過程往往需要從現(xiàn)實(shí)生活或者是問題情境中歸納分式結(jié)構(gòu)的共同特征并抽象出其本質(zhì)屬性來．章建躍博士指出“概念教學(xué)必須讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程”．而類比分?jǐn)?shù)來認(rèn)識(shí)分式的學(xué)習(xí)過程其實(shí)就是概念同化．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中，要“構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中學(xué)會(huì)思考”[1]，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)從有效教學(xué)到深度學(xué)習(xí)的過渡，以達(dá)到理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)．

2.3 循序漸進(jìn)，螺旋上升

師：根據(jù)同學(xué)們理解的分式概念，請回答：

問題2下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？兩類式子的區(qū)別是什么？

2.4 思悟數(shù)學(xué)，增長智慧

學(xué)生做了很多數(shù)學(xué)題，但學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)與理解并未水漲船高，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)并未得到提升，其原因就是缺少對數(shù)學(xué)內(nèi)容深度思考、理解與體悟．思悟數(shù)學(xué)就是要通過適宜的教學(xué)引發(fā)學(xué)生深度思考，能夠有所悟、有所得．

問題4對下列分式，你能提出什么問題？

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)的核心是研究關(guān)系[3]，就初中階段的數(shù)學(xué)來說，無外乎數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系以及隨機(jī)關(guān)系．運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力[4]是落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》倡導(dǎo)的“問題意識(shí)”，更是引導(dǎo)學(xué)生通過觀察和思考來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)．《標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)要注意知識(shí)的“生長點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”．如何延伸呢？拓展題，就是為了發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性和靈活性而設(shè)置的，以踐行《標(biāo)準(zhǔn)》指出的“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的基本理念．

問題5如何回顧總結(jié)提煉學(xué)習(xí)過程？

師：概念是思維的基本單位，是數(shù)學(xué)邏輯的起點(diǎn)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心．同學(xué)們想一想，能用簡潔的語言提煉你學(xué)習(xí)分式概念的體會(huì)嗎？

生8(文科很好)：我覺得可以總結(jié)為兩個(gè)“三”.一是分式概念要三個(gè)條件：(1)分子分母都是整式，(2)分母中含有字母，(3)分母不為0；第二是分式的條件要注意三條：(1)分式在什么條件有意義，(2)分式在什么條件無意義，(3)分式在什么條件值為0．

師：總結(jié)得很有條理，很有數(shù)學(xué)味．

生9：其實(shí)我覺得，分式的分母不為0是我們應(yīng)該想到的，而不是定義中給出的……

在學(xué)生的期望和等待中，教師示意生9繼續(xù)．

師：大家有什么意見？

師：真理需要辯論！對分式的認(rèn)識(shí)、理解在爭辯中越來越清晰，分式的本質(zhì)也越來越明了了．同學(xué)們還想說什么？

生11：我想分式接下來的內(nèi)容也應(yīng)該和學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)差不多，從概念到基本性質(zhì)再到運(yùn)算和應(yīng)用問題．

師：思考的方向很正確，很有思維含量.研究問題有了清晰的主脈線，再加上有效的策略，接下來的學(xué)習(xí)就會(huì)越來越有思路和方法了．

設(shè)計(jì)意圖該環(huán)節(jié)相當(dāng)于課堂小結(jié)，借學(xué)生之口把學(xué)習(xí)的體會(huì)與經(jīng)驗(yàn)分享給大家，提出學(xué)習(xí)的困惑或認(rèn)識(shí)的誤區(qū)提醒大家注意，達(dá)到廓清概念本質(zhì)、厘清知識(shí)思路、明確內(nèi)容結(jié)構(gòu)、積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)．教學(xué)策略、學(xué)習(xí)方法是多變、靈活的，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的策略與方法才是最好的．

3 回顧與反思

3.1 教學(xué)設(shè)計(jì)的立意

概念教學(xué)要摒棄“一個(gè)定義+幾項(xiàng)注意+若干練習(xí)”的枯燥做法．?dāng)?shù)學(xué)題目是練不完的，練是學(xué)習(xí)過程中的必要經(jīng)歷和環(huán)節(jié)，練是進(jìn)一步理解、是為了鞏固、是知識(shí)的運(yùn)用，切不可以教育的名義或打著“熟能生巧”的幌子讓學(xué)生傻練、死練．殊不知“沒有理解的練習(xí)是傻練，越練越傻；沒有練習(xí)的理解是空想，越想越空”(羅增儒語)．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)當(dāng)然需要解題，但更需明白題目背后蘊(yùn)含的知識(shí)、方法及數(shù)學(xué)思想，把解題過程中積累的經(jīng)驗(yàn)與技巧變成再學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，把習(xí)得的思想方法與感悟提煉為成長過程中的素養(yǎng)和智慧．

3.2 教學(xué)反思

(1)要厘清分式定義本質(zhì)

(2)要體悟其中的思想方法

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓，蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和運(yùn)用過程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括.[4]一個(gè)數(shù)學(xué)思想的形成需要經(jīng)歷一個(gè)從模糊到清晰、從理解到應(yīng)用的長期發(fā)展過程，需要在不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容教學(xué)中通過提煉、總結(jié)、理解、應(yīng)用等循環(huán)往復(fù)的過程逐步形成，學(xué)生只有經(jīng)歷這樣的過程才能逐步“悟”出數(shù)學(xué)知識(shí)、技能中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想．從分?jǐn)?shù)到分式，既有類比的思想方法又是特殊到一般、一般到特殊的體現(xiàn)，討論分式有無意義或值為0往往是轉(zhuǎn)化到了關(guān)注分子、分母上來．?dāng)?shù)學(xué)的思想方法及技巧難以由教師教會(huì)學(xué)生，往往是學(xué)生通過解決問題或深入思考而自己習(xí)得與悟到．學(xué)生自己真正體悟到思想方法與技巧才會(huì)更好地延續(xù)和發(fā)展．

(3)要虛實(shí)結(jié)合側(cè)重分明

(4)發(fā)現(xiàn)不足要及時(shí)彌補(bǔ)

本節(jié)課的不足是沒能將教師用書中的“解釋簡單分式的實(shí)際背景和幾何意義”教學(xué)目標(biāo)在學(xué)生層面上落實(shí)，其次是教材中數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)不充分．不過，在接下來“分式的基本性質(zhì)(第1課時(shí))”及時(shí)進(jìn)行了彌補(bǔ)．

數(shù)學(xué)學(xué)與教的過程中，該簡約時(shí)要簡約，做到了“簡約而不簡單”就是一種境界．