例談平面解析幾何中常見“隱形圓”問題

許萬成

(江蘇省建湖縣第二中學(xué) 224700)

平面解析幾何中的圓在歷年高考中都會(huì)出現(xiàn)，對(duì)于那些簡單的圓問題很多學(xué)生能夠快速并且準(zhǔn)確地解答，但是對(duì)于一些條件中沒有直接給出圓方面的信息，而是隱藏在題目中，需要通過分析和轉(zhuǎn)化，然后才能發(fā)現(xiàn)的圓，最后利用圓的知識(shí)來解決的問題，不少學(xué)生就束手無策了.因?yàn)檫@一類問題有一定的難度，要解決此類問題，要求學(xué)生對(duì)于圓的本質(zhì)認(rèn)識(shí)要有一個(gè)新的高度.我們通常把這些可以通過題目條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化后得到的圓稱為“隱形圓”.為了讓同學(xué)們對(duì)此類問題有個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，下面就一些常見的“隱形圓”問題舉例進(jìn)行說明.

一、利用圓的定義確定隱形圓

二、動(dòng)點(diǎn)P對(duì)兩定點(diǎn)張角為確定隱形圓

例2(2019·江蘇省徐州市第一中學(xué)月考)若實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列且點(diǎn)P(-1,0)在動(dòng)直線ax+by+c=0上的射影為M，點(diǎn)N(3,3)，則線段MN長度的最大值是____．

解析因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，

所以2b=a+c，即0=a-2b+c，

可見方程ax+by+c=0恒過點(diǎn)Q(1，-2).

又因?yàn)辄c(diǎn)P(-1,0)在動(dòng)直線ax+by+c=0上的射影為M，

所以∠PMQ=90°，M在以PQ為直徑的圓上.

三、A，B是兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足(常數(shù))確定隱形圓

四、兩個(gè)定點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA2+PB2是定值確定隱形圓

例4(2017年南京、鹽城一模)在△ABC中，A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a2+b2+2c2=8則△ABC面積的最大值為____.

解析以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系.

評(píng)注若兩個(gè)定點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA2+PB2=λ(λ>0)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后找出A,B坐標(biāo)，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，化簡整理，可以很快得到P點(diǎn)的坐標(biāo)符合圓的一般方程.

五、兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足確定隱形圓(阿波羅尼斯圓)

整理得x2+y2=4，

P的軌跡是以O(shè)(0,0)為圓心，以2為半徑的圓.

又∵P在圓C上，

∴圓C與圓O有公共點(diǎn)，