計及牽引負荷相關性的概率模型及對電力系統影響分析

羅培，謝亞文，文焱

計及牽引負荷相關性的概率模型及對電力系統影響分析

羅培1, 2，謝亞文1，文焱1

(1. 湘潭大學 信息工程學院，湖南 湘潭 411105；2. 多特蒙德工業大學能源系統，能源效率和能源經濟研究所，德國 多特蒙德)

為準確描述牽引負荷的關聯特性對電力系統運行產生的負面影響，引入Copula理論對牽引負荷構建具有相關性的概率分布模型，并對接入該負荷的電力系統運行進行評估。基于負荷實測數據，采用非參數核密度估計法構建累積分布函數，再根據優選指標選擇最佳Copula函數，并與蒙特卡洛模擬法結合進行概率潮流計算，以實測負荷為參考，采用偏差程度、不平衡度與波動程度對所建相關性模型進行準確性評估。將計及相關性、不計相關性的模擬負荷和實測負荷依次接入IEEE-30節點系統。研究結果表明：計及相關性負荷如同實測負荷會引起電力系統較大波動，驗證了所建模型的適用性和準確性，為系統安全運行提供參考價值。

牽引負荷；相關性；Copula 理論；電力系統；概率潮流

近年來高速鐵路快速發展，鐵路牽引負荷對電力系統的不良影響日益嚴峻。由于牽引負荷具有較強的隨機波動性和相關特性，使得負荷行為難以準確描述[1?2]。現階段對牽引負荷的隨機波動特性研究已較深入，而對其相關特性關注卻很少。所以，如何準確描述牽引負荷的相關特性并分析其對電力系統的影響是一個值得研究的問題。目前的研究側重分析牽引負荷的隨機波動性[3?4]，考慮負荷間相關特性的研究國內外開展的很少[7]。楊少兵[3]采用參數識別法分段表述牽引負荷的分布模型的建模思路，方法簡單但不具有通用性。王芳等[4]將牽引負荷視為恒功率源進行網壓分析，模型誤差較大。Trevor[5]針對牽引負荷的隨機波動性，用隨機過程描述負荷變化，可較真實地模擬負荷分布特征。王斌等[6]基于牽引變電所實測負序電流，通過概率統計建立的負序概率分布可以較真實的模擬實際負序電流分布情況。高鋒陽等[7]建立了計及牽引負荷相關性的負荷模型，但采用參數法構建的概率模型與實際分布誤差較大。如何準確建立計及牽引負荷相關性的概率模型并分析其對電力系統的影響，還有待進一步研究。Copula 理論作為研究多個隨機變量間相關特性的常用數學工具，在金融和新能源領域應用廣泛[8?10]。韋艷華等[8]運用 Copula技術對金融市場中存在的相關性問題展開分析，并對中國股市各板塊的相關關系進行實證研究。Pagaefthymiou等[9]提出風電出力不僅具有波動性還具有相關性，使描述風電出力特征的模型更加完整。WANG等[10]為了更精準表述變量間的相關性，采用混合Copula函數構建多風電場出力聯合概率模型的方法，可以得到比較可靠的潮流計算結果。目前，Copula 理論在某些應用方面已較成熟，但其在高速鐵路牽引負荷領域應用較少。因此，本文提出將Copula 理論應用于高速鐵路牽引負荷的相關性建模，并分析其對電力系統的影響。首先，將牽引負荷等效為兩供電臂負荷的合成，通過對負荷實測數據的統計處理，采用非參數核密度估計法構建累積分布函數；然后，利用常見的5類Copula函數分別構建不同分布特性的聯合概率模型，并根據優選指標選擇最佳Copula 函數并生成相關性模型；最后，將牽引負荷的相關特性與蒙特卡洛模擬法(Monte Carlo Simulation Method，MCSM)結合進行概率潮流計算，在接入牽引負荷的IEEE-30節點系統上分析牽引負荷相關性對電力系統的影響，同時也驗證了所提相關性模型的適用性與準確性。

1 牽引負荷相關特性描述

1.1 牽引負荷特征

目前建立的考慮隨機波動性的牽引負荷模型一般需要考慮線路坡道、行車密度、限速等因素，建模難度大且不能準確反映實際概率分布特征，并不利于開展牽引負荷相關性建模及對電力系統的影響分析。為了全面可靠的描述牽引負荷特性，可把供電臂上的各種負荷等效為一個供電臂負荷，通過實測數據反映分布特征，可避免諸多因素對建模的影響。如圖1所示，牽引變電所牽引負荷由AB 2個供電臂負荷組成的單相負荷，牽引負荷的功率等于兩供電臂功率之和，并采用基于實測數據研究牽引負荷相關性的方法，可有效提高建模的準確性。

本文以湖南某牽引變電所AB供電臂現場測量的負荷有功數據為例進行研究。為了便于分析，首先對原始數據進行預處理：對出現零值項和個別獨立數據進行了適當刪減，即對無發車和低密度發車適當縮減，得到36 000組有效實測數據，在基本不影響負荷特性的情況下大大提高了分析的簡便性。圖2為供電臂負荷有功功率頻率直方圖，求得偏度值為1.388 6，說明牽引負荷有功是非對稱的；對其進行-檢驗發現該負荷有功并不服從正態分布；另作2負荷的Q-Q分布見圖3所示，圖中牽引負荷有功的分布點基本集中于對角線上，說明兩負荷存在較強的相關關系，這種相關性會對電力系統運行帶來影響。因此，本文基于實測數據，引入 Copula 理論對牽引負荷相關性進行聯合概率建模。

1.2 累積分布函數

當牽引負荷屬于不規則分布函數時，用參數估計法得到的累積分布函數準確性偏低，而運用非參數核密度估計式(1)擬合得到的累積分布函數可以反映實際分布中存在的分布不對稱、多峰等情況，并且該方法不需要提前做出任何參數假定，因而適用性更加廣泛。

式中：h為窗寬系數；n為樣本容量；K(·)為核函數。

圖2 牽引負荷有功功率直方圖

圖3 兩供電臂負荷有功的 Q-Q 圖

采用經驗累積分布函數對其進行擬合優度檢驗，經驗累積分布函數=e()是實際分布函數的一個逼近，可用于比較擬合結果的優劣性，其逆函數=?1()可用于生成滿足相關性條件的模擬負荷，計算步驟如下：

2)牽引負荷經驗累積分布函數=e()與其逆函數=?1()的計算公式如下：

式中：表示只保留整數部分，小數部分四舍五入。

基于實測數據，選取高斯核作為核函數[11]，根據最優寬窗的優化模型選擇最優寬窗0[12]，求得()后，對其積分即可得累積分布函數()。由圖4可見，非參數核密度估計法得到的結果與經驗累積分布函數十分接近，可見該方法是準確有效的。

圖4 經驗分布函數與核分布函數對比

2 基于Copula理論的牽引負荷建模

2.1 Copula函數

Copula函數被用來描述多元隨機變量間的相關性，是一種可以將隨機變量的聯合累積分布函數與它們各自的邊緣累積分布函數連接在一起的函數，通常也被稱為連接函數。由Sklar定理[13]可知：若隨機變量(1,2,…,X)的聯合分布函數為(1,2,…,x)，其中隨機變量X由個離散數據{x1,x2,…,x}組成，其邊緣分布表示為F(x)，其中∈[1,]，那么存在一個Copula函數，使得

由于邊緣累積函數F(x)為離散函數，則Copula函數只在區間[0,1]是唯一的。由式(5)可得,邊緣累積函數=()為在區間[0,1]上均勻分布的函數，隨機變量的聯合累積分布函數(1,2,…,x)可由式(6)推導，因而可把Copula函數等效為在區間[0,1]上均勻分布的函數()的聯合累積分布函數。并由此可得，經驗Copula函數的計算如式(7)。

式中：(·)為示性函數，當(x)≤u時，[(x)≤u]=1，否則[(x)≤u]=0。

Copula函數的類型很多，應根據樣本的分布特征選擇合適的Copula函數[14]。本文選擇常用的5類Copula建立不同結構的相關性模型，基本可以描述絕大多數變量間的相關關系，表1為各類型Copula函數及其表達式。

表1 常見Copula函數類型

以供電臂負荷AB有功數據為例，采用極大似然函數法，估計各類型Copula函數未知參數值[15]。可得Gumble-Copula，Frank-Copula，Clayton- Copula，正態-Copula和t-Copula函數的參數估計值分別為1.628 8，4.483 5，0.917 8，0.447 9和0.932 5，其中-Copula函數的自由度為4.386 9，由此完成5類Copula函數模型的建立。

2.2 Copula函數的優選

建立5類Copula 模型之后，需要根據優選指標選擇最佳Copula函數作為牽引負荷聯合分布模型，如表2所示。具體相關性指標包括：1) kendall秩相關系數：表示2種變量間變化趨勢一致與否；2) Spearman 秩相關系數：表示2種變量間累積分布是否相同，這2個系數均可用于度量隨機變量間的相關性；3) 歐氏距離：其值越小表示所建模型越貼合經驗分布函數，式(9)為優選指標其值越小，表示所屬模型與實際分布越接近。

式中：1，2和3分別表示Copula函數與樣本數據的kendall、Spearman秩相關系數之差的絕對值和歐式距離，k為其指標的權重，可依次取0.2，0.2和0.6。

表2 相關性指標參數值

表2為5類Copula函數的指標參數值，代入式(9)可知，-Copula函數的優選指標值最小，說明其函數最接近實際分布，同時基于現場測量的數據驅動而建立的累積分布函數和Copula函數參數可以準確體現實際負荷特性，具有普遍適用性，并且樣本的二元頻率直方圖(圖5)與-Copula函數的概率密度分布(圖6)基本一致，所以選擇-Copula函數描述牽引負荷的相關性是精確的和適用的。

2.3 相關性模型生成

采用 Copula 函數生成具有相關性的牽引負荷模型主要分為 3 步：

1) 基于負荷實測數據，采用非參數核密度估計法建立邊緣函數；

2)根據相關性指標選擇最優 Copula 函數，采用抽樣法生成在[0,1]上均勻分布的組符合相關性條件的隨機數；

3)通過式(3)將生成的組隨機數據轉換為符合實際相關結構的相關性模型。

選用-Copula 函數描述負荷間功率的相關性最為精確和適用，并采用隨機抽樣法生成1 000組在區間[0,1]服從均勻分布且滿足相關性條件的隨機數，利用式(3)可模擬得具有相關性的牽引負荷模型。圖7為模擬計及相關性的牽引負荷有功的散點圖。同時，采用同樣的采樣方法模擬不計相關性的牽引負荷有功散點圖，如圖8所示。

圖5 樣本二元頻率直方圖

圖6 t-Copula 概率密度分布

圖7 模擬計及相關性的牽引負荷散點圖

圖8 模擬不計相關性的模擬牽引負荷散點圖

3 計及牽引負荷相關性對電力系統影響

3.1 概率潮流計算過程

為了分析牽引負荷相關性對電力系統的影響，有必要建立計及相關性和不計相關性的負荷模型。對接入牽引負荷的系統進行潮流計算是研究負荷并網后對電力系統運行狀態影響的基礎。在牽引負荷相關特性與MCSM結合進行概率潮流計算的方法中，將計及相關性、不計相關性的模擬負荷和實測負荷(采樣組)分別接入式(10)的系統潮流方程和支路功率方程，進行次重復的確定性潮流計算，再通過統計學方法得到電力系統的節點電壓和支路功率的數字特征和分布曲線，可以比較準確地反映接入牽引負荷的電力系統潮流分布特征和狀態變量(電壓和潮流)的波動情況，并在此基礎上分析計及牽引負荷相關性對電力系統的影響。

式中：為節點注入功率向量；為節點電壓向量；為系統阻抗參數；為支路潮流向量。

3.2 牽引負荷準確性評估指標

為量化基于 Copula 理論建立的計及牽引負荷相關性模型在潮流計算中的準確性評估，在此采用3項指標對其進行準確性評估。

1) 相對誤差指標ε用于評估所建模型在潮流計算中狀態變量的數字特征偏差程度，數字特征包括期望值和標準差等；

2) 不平衡度均值指標ξ用于評估所建模型對接入點狀態變量造成的三相不平衡程度,包括電壓和電；

3) 根均值指標用于描述潮流計算中狀態變量的累積波動程度。

式中：和分別為狀態變量數字特征的模擬值和實際值；和分別為狀態變量累積分布函數上第個點的模擬值和實際值，為采樣數。

4 算例仿真與分析

4.1 接入牽引負荷對電力系統的影響

為了驗證本文所建相關性模型的準確性及其對電力系統的影響，將前文提及的牽引負荷接入IEEE-30 節點系統的節點21,其余負荷恒定。圖9為IEEE-30節點系統拓撲。系統中平衡節點為節點1，其余電源節點均視為 PV 節點，系統容量基準值為100 MVA。

將基于Copula 理論構建的計及相關性、不計相關性模擬負荷和實測負荷(采樣10 000組)接入IEEE-30節點系統進行概率潮流計算，再統計得到的節點電壓和支路潮流的期望值和標準差等數字特征、概率密度和累積分布函數；根據圖1搭建牽引負荷仿真模型，由于篇幅原因此處省略，仿真可得系統三相不平衡程度。圖10~13分別給出了系統節點電壓的數字特征，節點21，節點9和節點12的電壓幅值的累積分布曲線和概率密度分布曲線。以電力系統的節點電壓為例，分析牽引負荷對電力系統的影響。

圖9 IEEE-30節點系統拓撲

(a) 節點電壓的期望值；(b) 節點電壓的標準差

(a) 電壓幅值累積分布；(b) 電壓幅值概率密度分布

(a) 電壓幅值累積分布；(b) 電壓幅值概率密度分布

(a) 電壓幅值累積分布；(b) 電壓幅值概率密度分布

由圖10可知，牽引負荷是否計及相關性對節點電壓期望值幾乎無影響，但計及負荷相關性的電壓標準差明顯更接近波動較大的實測數據，并且發現越是接近牽引負荷接入點(節點21)的節點，其電壓數字特征的波動越是劇烈，說明牽引負荷會導致所在區域的電力系統較大波動。

在圖11(a)中，不計相關性的電壓幅值在 1.051 2～1.058 9間波動，而計及相關性和實測數據的電壓幅值均在1.047 0～1.059 2區間變化且波動相對前者更大；在圖12(a)中，不計相關性和計及相關性負荷的節點電壓在1.074 1～1.764和1.072 7～1.076 5間波動；而在圖13(a)中，兩者的波動范圍基本一致。由此可知，距離牽引負荷越遠其潮流波動越小，相關性因素的影響也越小。在圖11(b)中，計及負荷相關性的ε指標為7.20%，而不計相關性的ε指標為36.05%，同樣，在圖12(b)和13(b)中計及相關性的ε指標也遠小于不計相關性，說明計及相關性的負荷累積分布在實測負荷附近上下浮動，函數分布比較平緩，而不計相關性的負荷則偏離實測負荷較遠且變化比較劇烈，和實測數據的偏差較大。

所以，在潮流計算中不計牽引負荷相關性的潮流波動范圍小但變化劇烈，和實際負荷偏差較大，而計及相關性的潮流波動范圍大但變化平緩，顯然更接近于實際負荷情況。

4.2 相關性模型的準確性驗證

以牽引負荷實測數據計算結果為參考值，計及相關性和不計相關性的2組模擬結果為驗證值。根據節點6電壓和支路6-7潮流的數字特征進行偏差程度驗證，評價指標包括期望值和標準差的相對誤差指標ε衡量所提模型計算結果的偏差程度；狀態變量的累積分布數據與期望值的根均值指標來衡量所提模型計算結果的波動程度；再根據負荷接入點的電力系統不平衡度ξ來反映牽引負荷模型所造成的電網測三相不平衡程度。

表3 狀態變量偏差程度指標

根據表3中的ε指標，可知計及負荷相關性和不計負荷相關性的概率潮流計算的偏差指標差異很大，特別是前者的標準差的相對誤差要比后者明顯小很多，其他指標前者亦優于后者。說明計及負荷相關性比不計負荷相關性的潮流計算偏差更小，更貼近實測數據的計算結果。根據表4中的指標可以看出計及負荷相關性比不計負荷相關性中的潮流計算狀態變量波動程度大，但更接近與實測數據的波動量，說明計及相關性的潮流計算更能反映實際的波動情況。

由表5可知，牽引負荷會引起網測系統的三相不平衡，包括三相電壓和電流不平衡。計及相關性的負荷產生的不平衡度接近于實測負荷，而不計相關性的負荷會產生較大的三相不平衡度，對分析牽引負荷特性產生的不平衡影響的準確性不利。綜上所述，計及負荷相關性所建立的模型的精確性更高，能更好的模擬牽引負荷的實際運行特性。

表4 狀態變量波動程度指標

表5 狀態變量不平衡程度指標

5 結論

1) 對于不規則分布的牽引負荷，可等效為兩供電臂負荷的合成，采用Copula函數構建具有相關性負荷模型。由牽引負荷準確性評估指標可知，計及相關性比不計相關性的負荷模型波動更大、偏差更小和三相不平衡度更小，能更好的模擬牽引負荷的實際運行特性，仿真結果驗證了所建模型的有效性和準確性。

2) 將計及相關性與不計相關性的模擬負荷與實測負荷的系統潮流結果對比分析，發現計及相關性導致所在區域的電力系統波動更大，但隨距離的增加波動逐漸減弱，并且其潮流波動范圍較大但變化平緩，更接近于實際牽引負荷情況。

[1] 楊強, 郝文斌, 洪行旅, 等. 考慮負荷時變性和動態補償的電力系統負荷建模[J]. 電力系統保護與控制, 2011, 39(17): 17?21, 59. YANG Qiang, HAO Wenbin, HONG Xinglü, et al. Load modeling of power system considering time-variant load and dynamic compensation[J]. Power System Protection and Control, 2011, 39(17): 17?21, 59.

[2] 何洋陽, 黃康, 王濤, 等. 軌道交通牽引供電系統綜述[J]. 鐵道科學與工程學報, 2016, 13(2): 352?361. HE Yangyang, HUANG Kang, WANG Tao, et al. Railway passenger transportation development in China[J]. Journal of Railway Science and Engineering, 2016, 13(2): 352?361.

[3] 楊少兵. 電氣化鐵道牽引負荷概率分布特性與數學模型研究[D]. 北京: 北京交通大學, 2016: 29?57. YANG Shaobing. Probability distribution characteristics and mathematical models of traction power load of electrified railways[D]. Beijing: Beijing Jiaotong University, 2016: 29?57.

[4] 王芳, 王曉茹. 基于恒功率負荷的牽引供電系統潮流計算[J]. 電力系統及其自動化學報, 2015, 27(3): 59?64, 70. WANG Fang, WANG Xiaoru. A power flow analysis method of traction power supply system based on constant-power load[J]. Proceedings of the CSU-EPSA, 2015, 27(3): 59?64, 70.

[5] Trevor Williams, Curran Crawford. Probabilistic load flow modeling comparing maximum entropy and Gram- Charlier probability density function reconstructions[J]. IEEE Transactions on Power Systems, 2013, 28(1): 272?280.

[6] 王斌, 張民, 邱忠才, 等. 基于實測數據的高鐵牽引變電所負序電流概率分析[J]. 西南交通大學學報, 2015, 50(6): 1137?1142.WANG Bin, ZHANG Min, QIU Zhongcai, et al. Probability analysis of negative phase-sequence current for high-speed railway traction substation based on measured data[J]. Journal of Southwest Jiaotong University, 2015, 50(6): 1137?1142.

[7] 高鋒陽, 喬垚, 杜強, 等. 計及牽引負荷相關性的隨機潮流計算[J]. 鐵道學報, 2018, 40(10): 23?29.GAO Fengyang, QIAO Yao, DU Qiang, et al. Probability load flow calculation considering the correlation of traction load[J]. Journal of the China Railway Society, 2018, 40(10): 23?29.

[8] 韋艷華, 張世英.Copula理論及其在金融分析上的應用[M]. 北京: 清華大學出版社, 2008: 81?92. WEI Yanhua, ZHANG Shiying. Copula theory and its application in financial analysis[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2008: 81?92.

[9] Pagaefthymiou G, Kurowicka D. Using Copulas for modeling stochastic dependence in power system uncertainty analysis[J]. IEEE Transactions on Power Systems, 2009, 24(1): 40?49.

[10] WANG Yuankun, MA Huiqun, WANG Dong, et al. A new method for wind speed forecasting based on copula theory[J]. Environmental Research, 2018, 160(2018): 365?371.

[11] 劉丹丹. 考慮相關性的風電場等值及概率潮流計算研究[D]. 北京: 華北電力大學, 2017: 21?23. LIU Dandan. Research on equivalence of wind farms and probabilistic load flow calculation considering dependence[D]. Beijing: North China Electric Power University, 2017: 21?23.

[12] Rouhani M, Mohammadi M, Kargarian A. Parzen window density estimator-based probabilistic power flow with correlated uncertainties[J]. IEEE Trans Sustain Energy, 2016,7(3): 1170?1181.

[13] Nelsen R B. An introduction to Copulas[M]. 2nd Edition. New York, USA: Springer, 2006: 4?30.

[14] 呂穎, 魯廣明, 謝昶, 等. 考慮大規模集中接入風電功率波動相關性的在線概率安全評估[J]. 電網技術, 2018, 42(4): 1140?1148. Lü Ying, LU Guangming, XIE Ying, et al. Online probabilistic security assessment considering centralized integration of large scale wind powe[J]. Power System Technology, 2018, 42(4): 1140?1148.

[15] ZHAI Jinjin, YIN Qilin, DONG Sheng. Metocean design parameter estimation for fixed platform based on copula functions[J]. Journal of Ocean University of China, 2017, 16(4): 635?648.

Probability model considering the correlation of traction load and its impact on power system

LUO Pei1, 2, XIE Yawen1, WEN Yan1

(1. School of Information Engineering, Xiangtan University, Xiangtan, 411105, China; 2. Institute of Energy Systems, Energy Efficiency and Energy Economics (ie3) TU Dortmund University, Dortmund, Germany)

In order to accurately describe the negative impact of the traction load’s correlation characteristics on the operation of the power system, this paper introduces Copula theory to build a correlated probability distribution model of the traction load, then to evaluates the operation of the power system with the load. Based on the measured load data, the cumulative distribution function is constructed by the non-parametric kernel density estimation method, and the best Copula function is selected according to the optimal index, and it is combined with the Monte Carlo simulation method to calculate the probabilistic load flow. Taking the measured load as the reference, the accuracy of the established correlation model is evaluated by the degree of deviation, imbalance and fluctuation. The simulated load with and without correlation and the measured load are connected to the IEEE-30 bus system in turn, the results showed that the correlated load as the measured load will cause large fluctuations in the power system, verfies that the proposed model is applicable and accurate, and provides reference value for the safe operation of the system.

traction load; correlation; Copula theory; power system; probabilistic load flow

TM922

A

1672 ? 7029(2020)04 ? 1004 ? 11

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20190628

2019?07?13

湖南省自然科學基金資助項目(2018JJ2397)；中國國家留學基金管理委員會(CSC)資助項目(201808430009)

羅培(1974?)，男，湖南沅江人，教授，博士，從事電力系統電能質量控制研究；E?mail：lpmq@163.com

(編輯 蔣學東)