基于貝葉斯更新的盾構掘進經驗模型可靠性分析

吳波，鄧政，黃惟，李志剛，張子儀

基于貝葉斯更新的盾構掘進經驗模型可靠性分析

吳波1，鄧政1，黃惟1，李志剛2，張子儀1

(1. 廣西大學 土木建筑工程學院 工程防災與結構安全教育部重點實驗室，廣西 南寧 530004；2. 中國水利水電第一工程局有限公司，吉林 長春 130062)

利用一種能夠考慮經驗模型不確定性的貝葉斯更新方法，將模型偏差系數視為隨機變量，并根據現場觀測數據對其進行不斷更新，所得更新結果可用于后續階段盾構掘進最大地表沉降和失效概率的預測。以福州地鐵某區間隧道掘進為例，將本文所提方法應用于Peck模型、O′Reilly-New模型和劉建航修正的Peck模型等3種經驗模型。研究結果表明：3種模型一般都會高估最大地表沉降，其中 Peck模型偏差最大，劉建航修正的Peck模型次之，O′Reilly-New模型最小，而劉建航修正的Peck模型偏差比O′Reilly-New模型的變異性更小，通過所提方法可以有效考慮模型不確定性的影響；盾構掘進過程中，與另外2個模型比較，利用劉建航修正的Peck模型進行計算得到的結果更加準確；在本文所研究的算例中，盾構掘進過程中，檢測數據不斷增加，降低了模型偏差系數和土體參數的波動概率，從而使隧道失效概率的預測值降低。

盾構隧道；最大地表沉降；貝葉斯更新；失效概率；監測數據

在盾構隧道掘進過程中，會使周邊地表產生一定程度的沉降。地表沉降過大時，會對周圍建筑物和生態環境造成破壞。所以，在盾構隧道掘進過程中，最為核心的問題是預估地表的沉降與失效概率[1?2]。在預測地表沉降方面有很多方法，如：數值分析法[3?4]、經驗公式法[5?6]和模型試驗法[7?8]，其中經驗公式法因其高效性和便利性而在工程實際中得到了廣泛的應用。Peck[5]研究分析了大量的地表沉降數據，提出了地表沉降槽正態分布的特征和地層損失的理論，并于1969年率先總結出了地層損失理論以及預估地表沉降的方法；依據真實的地表沉降數據，竹山喬利用回歸曲線預測最大地表沉降公式；Attewell[6]等也提出了地表沉降槽呈現正態分布的概念，并通過計算得到了沉降槽的寬度系數。經驗公式需要以大量施工實測數據為前提，在回歸分析基礎上確定擬合公式，所得結果可大體反映本地區地表移動的客觀規律。盾構掘進期間的地表沉降情況可通過這些經驗模型進行預測，但是利用經驗公式進行估算時往往難以考慮地層詳細條件，且相應的施工條件、管片剛度等無法完全考慮，所以經驗公式所得結果和實際情況存在一定偏差。在一定的地層件條件下確定出的經驗公式因其只能單純的應用在相同或相似的地層條件下所得結果才可以滿足應用要求，所以其適用性不高。除此之外，經驗公式還有一個缺點就是一些物理參數無法精確定義，所以無法廣泛推廣應用。現有資料中，在定義模型誤差時一般使用偏差系數，根據這個結論，怎樣有效地估算模型不確定性有重要的意義。此外土體有一定的空間變異性，其性質和所處位置密切相關。地鐵隧道掘進是一個持續性的過程，通過現有技術能夠很方便地獲取不同施工時期的地表沉降數據，利用這些數據進行模型偏差系數的反演，從而能更好地滿足工程應用要求。同時應用各環節土體參數與模型偏差系數，能夠更精確地預估隧道后續掘進的響應，也可以更合理地估計失效概率。本文在研究過程中應用貝葉斯更新方法，基于這種方法并結合盾構掘進實測數據來更新模型偏差系數和土體參數。與QI等[9]不一樣，使用本文的方法可以直接獲得模型偏差系數樣本，進而更有效地預估和更新掘進響應與失效概率。以福州地鐵某區間盾構隧道掘進為例，利用Peck，O′Reilly-New與劉建航模型對隧道地表沉降預測進行比較分析，進而對本文使用的預測方法的有效性進行了驗證。

1 盾構隧道掘進的地表沉降經驗模型

1.1 Peck模型

Peck[5]較早研究了隧道施工相關的地面沉降問題，且通過相關數學方法對隧道開挖地表沉降實測數據進行了分析，在1969年率先總結了地層損失理論以及預估地表沉降的方法，即沿用至今的Peck公式。此后，通過科研人員不斷的深入研究，此公式在隧道施工地表沉降預測方面得到了廣泛應用。假定在不排水條件下，沉降槽體積與地層損失體積一致；隧道長度軸向的地層損失表現出均勻分布特征，橫向的沉降近正態分布。依據該假定可得地表沉降橫向分布的預測計算表達式：

式中：為覆土厚度；為計算半徑；為隧道周圍地層內摩擦角。

1.2 O′Reilly-New模型

O′Reilly等[11?13]根據Peck提出沉降槽正態分布的概念，對英國地鐵隧道施工時沉降槽寬度、最大沉降量和沉降槽體積等基礎數據進行研究分析，通過實際研究得出：無論施工環境土體性質是黏土還是砂土，隧道直徑對地表沉降槽的影響不大，且地表沉降槽的寬度和隧道埋深有相互聯系。經過統計分析19例黏性土、砂性土和16例回填土地質工況隧道基礎上，總結出了沉降槽寬度與隧道埋深深度的關系，如式(4)所示：

其中：是統計系數，它跟土的性質有關，即土的性質不同，得到的值也不相同。砂土和黏土中，值的范圍分別取0.2~0.3和0.4~0.7。

1.3 劉建航模型

在Peck的基礎上，劉建航等[14]在縱向沉降方面對上海地鐵進行了研究，通過統計發現地鐵隧道沉降的一般規律，并且在此基礎上提出了“負地層損失”理論，并根據相關參數得到了預測地鐵隧道縱向地表沉降的數學表達式：

2 考慮模型不確定性的貝葉斯更新

Peck模型的缺陷表現為沒有考慮到模型偏差，而劉建航引入了偏差系數，但在實際估算時，通常將該系數設為常量。為了提高模型估算的精確度，本文將偏差系數設為一個隨機變量，并且該變量隨隧道掘進而不斷更新。

本節選擇劉建航修正的Peck模型，以最大的地表沉降為監測信息，用貝葉斯方法對偏差和土體參數進行迭代更新，因Peck和O′Reilly-New模型的缺陷，因此本文對其更新的對象只有一個，即偏差系數。

2.1 貝葉斯框架

本文以乘積的形式考慮模型偏差系數，即

如果使用的模型偏差系數呈現正態分布，并且均值和標準差分別為和。根據相關概率計算公式[15?17]，在監測數值一定的條件下，對于參數和來說，它們的后驗聯合概率密度函數計算公式如下所示：

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式(9)為貝葉斯更新方程，該方程考慮了模型的不確定性因素。

聯合式(9)~(11)，能夠知道與服從后驗分布。使用貝葉斯進行參數更新[18]，并且將施工時得到的實際測量信息當作一個整體，然后更新中間環節參數。進一步，使用MCMCS[19]按照式(9)能夠得到大量與的數據，通過這些數據可以對失效概率進行更新操作。

2.2 失效概率的更新

在對失效概率進行更新操作時，監測的對象為最大地表沉降，并根據觀測到的信息判斷盾構的好與壞。由于觀測信息運用于更新其他參數，則更新之后的失效概率表示為：

3 某地鐵區間隧道案例分析

3.1 工程概況

以福州地鐵某區間右線隧道掘進為例，比較Peck模型、O′Reilly-New模型和劉建航修正的Peck模型3種經驗模型，在考慮模型不確定性的貝葉斯更新框架下其最大地表沉降和失效概率的更新和預測結果。區間右線隧道長920.93 m(起點里程SK29+939.853，終點里程SK30+860.781)，采用土壓平衡盾構機掘進，共分為765環掘進，以每100環為一個階段，在第3至6階段隧道最大地表沉降觀測值較大，使用這些值進行更新能夠獲得較為明顯的效果，因此本文僅對階段3~6進行貝葉斯更新。隧道主要穿越(含泥)中細沙、粉細砂地層，區間縱坡形態為V型，埋深7.2~13.7 m(埋深最深處在SK30+397.917)，埋深最大處在掘進時間為166 d。圖1為隧道土層縱斷面圖，圖2為掘進過程中各個階段的地表沉降最大觀察結果。

圖1 隧道土層斷面

圖2 隧道最大地表沉降觀測值

本文在研究過程中通過貝葉斯整體更新法并基于5萬個樣本的MCMCS更新參數。詳細操作如下：完成第3階段之后，利用該時期的觀測數據與式(9)對模型的參數進行更新；完成第4階段后，利用前面3和4共2個階段的觀測數據再次對模型的參數進行更新的操作；依次循環進行。除此之外，本文也對最大地表沉降和失效概率分別進行了預測和更新，其中更新的操作對應的是當前正在進行的階段，而預測對應的是后面要施工的所有階段。比如：完成3階段的更新工作之后，需要進行2個操作，其一是利用目前的參數值對現階段的最大地表沉降與失效概率進行更新的，其二是結合后續即將施工的4~6階段的信息，對各個時期的上述2個重要參數進行預測，依次循環進行。

3.2 模型不確定性的更新

利用貝葉斯進行更新，在不同施工階段中利用3種不同經驗模型的模型偏差系數更新所得結果如圖3，具體分析此圖結果可知，這3種模型結果和實測值都存在偏差，預測的最大地表沉降都高于實際值。對比可知，Peck模型偏差最大，O'Reilly-New模型次之，劉建航修正的Peck模型最小。O'Reilly- New模型與劉建航修正的Peck模型進行比較，后者的偏差變異性較小(即更小)，也就是說，劉建航修正的Peck模型的計算結果比較穩定。此外，在盾構機不斷推進時，施工過程中監測信息數據量增大，模型中的不確定性隨之減小，本文所運用的方法也可對此進行描述。以劉建航修正的Peck模型進行舉例分析，第3階段選只有一個監測數據更新操作，這種條件下模型偏差系數的為0.39；同樣條件下到第5 階段，通過3個數據進行更新，則此系數為0.31，其后基本保持恒定直到第6階段。

3.3 最大地表沉降和失效概率的更新

在模型偏差系數和土體參數(僅對劉建航修正的Peck模型來說)更新的基礎上，圖4得到3種經驗模型的貝葉斯更新數據。具體分析圖3結果可知，在圖3(a)中，更新數據越靠近1:1的線，說明這與觀測值越靠近，即數據越精確。為了進行比較，圖4(a)給出沒引入偏差系數的結果。對Peck和O′Reilly-New模型，進行估計過程中，不考慮偏差系數會導致最大地表沉降估計值高于實測值，但是和其他2個模型對比，O′Reilly-New模型估計值和測量值的差異更小，精度更高，這和上節中對模型偏差系數所得結果相一致。考慮模型偏差系數的同時，應用貝葉斯方法進行更新，則所得的最大地表沉降估計結果和觀測結果是一致的，這就證明本文使用的方法是有效的。

(a) 后驗分布；(b) 均值和標準差

(a) 最大地表沉降；(b) 失效概率

考慮模型不確定性后，Peck模型所得估計結果也高于測量值觀測值。其原因為此模型是基于20世紀70年代前的開挖案例進行回歸而建立的，當時盾構掘進方式和管片強度等因素與現今存在較大差異，掘進引起的地表沉降較大，故該方法應用于此區間右線隧道時結果會偏大。O′Reilly-New模型的更新結果最接近實測值。雖然O′Reilly-New模型只考慮了埋深的影響，但它是根據英國多個不同土層地鐵隧道案例提出來的，考慮了砂性土對地表沉降的影響，故對此區間右線隧道有較好的適用性。劉建航修正的Peck模型的更新結果在5個階段和觀測值都很接近，在持續的掘進過程中，該模型的估計精度在不斷提高。這種模型在分析過程中綜合考慮了開挖深度及部分土體參數相關因素的影響，和實際情況更接近，可更好地滿足工程應用要求，因而可有效進行隧道最大地表沉降的預測分析，且它是根據上海地區的盾構掘進案例而提出，而上海與福州均處于中國東部沿海地區，土體性質會有一定的相似性。

在圖4(b)中可以看到上述3個模型的失效概率更新情況。與O′Reilly-New以及劉建航修正的Peck模型相比，Peck模型對應的失效概率值明顯偏大，O′Reilly-New和劉建航修正的Peck模型的失效概率值相差非常小，且3種模型的失效概率都會伴隨盾構掘進而減小。其中，O′Reilly-New模型和劉建航修正的Peck模型的失效概率分別穩定在7%和5%左右，考慮到盾構掘進后2次注漿及地層應力調整，在盾構隧道施工階段失效概率可以接受。當模型的監測信息數據量提高時，偏差系數和土體參數在不確定性方面會有所減小，進而使得失效概率值減小。出現這種現象和實際施工條件是相吻合的，通過本文提出的方法可以有效考慮這種情況。

3.4 最大地表沉降和失效概率的預測

當處于不同的掘進階段時，使用貝葉斯方法可以對其最大的地表沉降與失效概率進行預測分析。對比分析可知圖5(a)中的Peck模型預測所得最大地表沉降預測結果偏差較大，但是，隨著進一步的掘進，其結果會趨于觀測值。比如：當處于階段3對第6階段進行預測時，其預測結果是實際值的2倍，為14.61 mm，而在第5階段對第6階段進行預測時，預測結果為10.10 mm，預測的精度顯著的提高。O′Reilly-New模型和劉建航修正的Peck模型的所得結果和實測值一致性更高。其中，劉建航修正的Peck模型預測精度在掘進持續過程中不斷提高。

相同地，在失效概率預測上，Peck模型的結果較大，而O′Reilly-New模型與劉建航修正的Peck模型預測結果與實際接近，3個模型所預測的失效概率均隨著開挖的進行不斷減小。其中，在圖5(b)與圖4(b)上的趨勢相同，但是對于圖4(b)而言，其失效概率在同一階段更大，導致該現象的原因是其在進行預測時，可用數據較少。進行分析時，在階段4，對失效概率進行更新過程中，需要用到3和4共2個階段實測值。對失效概率進行預測時，單純用到第3階段數據，因而階段4預測時的失效概率(如劉建航修正的Peck模型的12.6%)會高于更新后的失效概率9.1%。除此之外，由圖5(b)可知，在O′Reilly-New模型與Peck模型中，其失效概率預測值在后續的所有階段中保持不變。這是由于它們僅僅考慮了開挖深度對地表沉降的影響，它們的失效概率只與偏差系數有關，當對偏差系數進行更新之后，后面的失效概率值維持恒定。從這個方面分析可知，劉建航修正的Peck模型比Peck模型和O’Reilly-New模型更優。

(a) 最大地表沉降；(b) 失效概率

4 結論

1) 基于經驗模型進行貝葉斯更新過程中，假設模型偏差系數為一個隨機變量，和掘進過程密切相關，則更新后的結果和實測值更接近。

2) 和實測值相比，3種經驗模型計算結果都存在偏差，估計所得最大地表沉降值都高于實際值。在這3種模型中，按照偏差從大到小排序依次為Peck模型、劉建航修正的Peck模型和O′Reilly-New模型。在變異性方面，劉建航修正的Peck模型比較小于O′Reilly-New模型。

3) 在預測和計算最大地表沉降與失效概率方面，Peck模型表現不是很好，偏差較大。后2個模型在這方面的表現相近。當隧道掘進不斷推進時，劉建航修正的Peck模型更有優勢。

4) 隨著隧道不斷掘進，由這3種模型計算的失效概率都會不斷減小，主要原因在于施工中監測所得的數據增加后，模型參數的不確定性降低。這個情況與實際相吻合，因此，本文所采用的方法可以有效考慮這種情況所產生的影響，為盾構隧道掘進最大地表沉降和失效概率的預測提供參考。

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Reliability analysis of shield tunneling empirical model based on Bayesian updating

WU Bo1, DENG Zheng1, HUANG Wei1, LI Zhigang2, ZHANG Ziyi1

(1. Key Laboratory of Disaster Prevention and Structural Safety of the Ministry of Education,College of Civil Engineering and Architecture, Guangxi University, Nanning 530004, China;2. Sinohydor Bureau 1 Co., Ltd, Changchun 130062, China)

A Bayesian updating method considering the uncertainty of the empirical model is used. The model deviation coefficient was regarded as a random variable, and it was updated continuously by using the field observation data. The updating results can be used to predict the maximum surface settlement and failure probability of foundation pit excavation in the subsequent stage. Taking a section of Fuzhou Metro Line 6 as an example, the proposed method was applied to Peck model, O'Reilly-New model, and Peck model modified by Liu Jianhang. The results show that the three models generally overestimate the maximum surface subsidence, among which Peck model has the largest deviation, followed by Liu Jianhang’s revised Peck model, and O'Reilly-New model has the smallest deviation, while the variability of Liu Jianhang’s revised Peck model is smaller than that of O′Reilly-New model, and the influence of model uncertainty can be effectively considered by the proposed method.The results of the modified Peck model are more accurate than those of the other two models. In the case study, the monitoring data increase with the excavation, which reduces the uncertainty of the model deviation coefficient and soil parameters, and ultimately leads to the decrease of the failure probability of shield tunnels.

shield tunnel; maximum surface subsidence; Bayesian updating; failure probability; monitoring data

U231

A

1672 ? 7029(2020)04 ? 0957 ? 08

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20190598

2019?07?03

國家自然科學基金面上資助項目(51478118，51678164)；廣西自然科學基金資助項目(2018GXNSFDA138009)；廣西科技計劃項目(AD18126011)；廣西特聘專家專項資金資助項目(20161103)

吳波(1971?)，男，四川閬中人，教授，從事隧道與地下工程技術研究；E?mail：gremms@126.com

(編輯 陽麗霞)