基于PCA-改進TOPSIS的鐵路橋梁加固改造方案決策

裴興旺，李慧民，李軒，李文龍，黃俊杰

基于PCA-改進TOPSIS的鐵路橋梁加固改造方案決策

裴興旺1，李慧民1，李軒2，李文龍1，黃俊杰3

(1. 西安建筑科技大學 土木工程學院，陜西 西安 710055；2. 陜西通宇公路研究所有限公司，陜西 西安 710118；3. 中冶建筑研究總院有限公司，北京 100088)

為降低我國鐵路橋梁加固改造過程中存在的潛在風險，并考慮現有決策方法存在的不足，依據問題特點建立科學的決策指標體系，提出一種基于主成分分析法(PCA)和加權廣義馬氏距離改進TOPSIS的決策模型。首先，利用三角模糊數等方法對指標進行量化與熵權賦值，采用主成分分析法按累計方差貢獻率實現指標的降維處理；其次，依據加權廣義馬氏距離改進TOPSIS方法計算各指標方案與正負理想解的距離并進行方案排序；最后，以5例工程實例驗證本文方法的可信性和優越性，所選方案能最大限度地實現性能提升、經濟合理等要求。

鐵路橋梁；加固改造；方案決策；主成分分析；改進TOPSIS

我國鐵路橋梁加固改造是社會化進程中的重要策略，是可持續發展戰略在交通運輸領域的體現和升華。鐵路橋梁加固改造有別于新建項目[1]，加固改造設計方案需要最大程度地發揮原結構的利用價值，實現性能提升、經濟合理和技術可行等要求。加固改造方案涉及加固改造方法的選擇、新舊結構體系協同工作和承載能力驗算等關鍵環節，并存在因設計人員對原結構體系理解失誤、相關工程經驗不足和計算模型可信度低等原因導致的潛在風險。此外，橋梁多位于自然環境宜人的大江大河和自然保護區，這需要對受損構件進行加固設計和利用原橋梁結構體系進行改造設計的同時，妥善處理諸如加固改造材料盲目選擇造成的環境破壞、野蠻施工超挖超建導致的植被覆蓋及水土流失等諸多不確定環境因素。近年來，國內外相關學者在橋梁加固改造方案決策方面進行了諸多研究，Ellakwa等[2]對纖維增強復合材料不同布置方法及位置對橋梁加固效果的影響進行了分析。Hassan等[3]對碳纖維布(CFRP)整體加固和玻璃纖維布(GFRP)鋼筋復合加固兩種不同加固方案的性能進行了對比分析。張鵬[4]采用層次分析法對橋梁加固方案開展了優選研究；楊雅勛等[5]采用基于改進AHP法和熵值法的組合權值法結合灰關聯法展開對舊橋加固方案的評價研究；邊晶梅等[6]建立了服役橋梁加固方案優選決策支持系統，姜禹等[7]基于熵值-關聯度法展開橋梁加固方案優選模型的研究。周長東等[8]基于層次分析法的模糊決策理論展開對震后橋梁結構應急加固方案優選模型的研究。常見的決策方法有灰色支持向量機法(SVM)、證據推理法(D-S)和逼近理想解法(TOPSIS)等，這其中因TOPSIS理論成熟，計算方法簡單，應用過程直觀而被學者們廣泛應用[9?10]。過往研究取得了一定成果但仍存在如下不足：1) 指標體系建立未考慮各指標之間的內部聯系，且指標數據樣本過大，相互之間存在較強的關聯性，直接分析易導致數據失真；2) 研究方法比較單一，容易產生同時逼近正負理想解、無法同時解決協方差矩陣為0或不可逆時計算不能進行、數據量過大導致數據災難等缺陷。3) 研究內容主要集中在單一橋梁構件加固等方面，涉及到鐵路橋梁整體加固改造的研究不充分。鑒于此，本文擬利用三角模糊數等方法對指標進行量化及熵權賦值，采用主成分分析法按方差貢獻率實現數據降維，待數據處理后引入加權廣式馬氏距離改進TOPSIS法，計算方案的相對貼近度，結合實例對備選方案進行優劣排序，加以驗證。

1 理論基礎

1.1 主成分分析法

主成分分析(Principal Component Analysis)[11]是一種建立在統計最優原則基礎上的特征選取分析方法，最早由Pearson于1901年首次提出；基本理念是在盡可能多地保留數據集中方差的同時，減少該數據集的維度，計算特點是內部模型為線性的，完全不受參數限制，具體步驟如下。

Step 1：首先對方案決策指標進行篩選，對于個樣本維特征變量構建指標體系數據矩陣，對矩陣中各指標元素進行規范化處理。

Step 2：求規范化后矩陣*的樣本相關系數矩陣：

其中：=1, 2, …,,=1, 2, …,，為指標與指標的相關系數。

即可得綜合評價函數：

Step 5：基于主成分分析，根據綜合評價函數值對各方案進行排序。

1.2 加權廣義馬氏距離法

1.2.1 廣義馬氏距離

馬氏距離是由印度學者Mahalanobis于1936年提出的一種統計距離。將馬氏距離代替歐氏距離應用于TOPSIS方法中能有效解決指標間的相關性問題，計算公式如下：

1.2.2 加權廣義馬氏距離

廣義馬氏距離考慮了指標之間的相關性，消除了指標量綱的影響，解決了協方差矩陣不可逆的問題，但沒有考慮到指標間的重要性差異，而用加權廣義馬氏距離代替歐氏距離應用于TOPSIS方法中將有效解決指標間的重要性差異、不同量綱和相關性對決策結果的影響以及協方差矩陣不可逆的問題[12]，計算公式如下：

1.2.3 基于加權廣義馬氏距離改進TOPSIS法

改進TOPSIS法有效解決了指標間的重要性差異、不同量綱和相關性對決策結果的影響以及協方差矩陣不可逆的問題，具體步驟如下。

Step 1：構造包含個備選方案個指標的原始決策矩陣。

Step 2：確定正負理想解+和?。

Step 4：計算各方案相對理想解的貼近度。

Step 5：各方案排序，貼近度越大方案越優。

2 鐵路橋梁加固改造方案決策模型構建

2.1 決策指標體系構建

本文鐵路橋梁加固改造方案決策指標體系的構建，依據指標構建的基本原則，在多次調研和查閱相關文獻的基礎上[2?3, 8]，對影響方案決策的相關因素進行總結，實現指標體系的階梯層次性，最終建立了鐵路橋梁加固改造方案決策指標體系，如圖1所示。

1) 性能提升Q1：性能提升是鐵路橋梁加固改造項目的初衷，橋梁技術狀況等級、橋梁承載能力和橋梁耐久性能這3項指標是性能提升的關鍵，直接決定著鐵路橋梁加固改造項目的成敗。

2) 經濟合理Q2：經濟合理是方案選擇的關鍵因素，對于鐵路橋梁加固改造項目來說，不僅要需要考慮工期、造價及原結構利用率等直接因素，同時需考慮中斷交通損失及后續使用年限和后續維護成本等間接因素。

3) 技術可行Q3：技術可行是保障鐵路橋梁加固改造項目順利進行的關鍵。首先要考慮加固改造技術的成熟度、大型機械的依賴程度及構造措施的合理程度；其次要考慮加固材料的供應難度和現場環境的制約情況；最后要考慮新舊結構的協同工作及現有方案對原橋梁的擾動程度。

4) 社會影響Q4：社會影響是評判基礎設施建設項目成功與否的重要指標。鐵路橋梁為區域經濟和社會發展做出了重要貢獻，是經濟實力和文化自信的重要體現。加固改造方案的選擇要綜合考慮鐵路橋梁加固改造后對交通功能、社會輿論、使用功能及橋梁外觀等方面的影響。

5) 生態安全Q5：樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，是指引建設美麗中國的理論明燈，建設生態文明是中華民族永續發展的千年大計，鐵路橋梁多位于自然環境宜人的大江大河和自然保護區，因此，進行方案決策時需考慮到加固改造方案對區域生態環境的不良影響。

圖1 鐵路橋梁加固改造方案決策指標體系

2.2 決策模型計算過程

Step 1：在鐵路橋梁加固改造方案決策問題中，假定有個備選方案，由專家組對個方案中的個指標數據進行提取(定量指標數據從方案中直接提取，定性指標數據采用語言模糊數法進行提取)，核定后得數據矩陣。

Step 2：對個備選方案首先進行“加固改造價值”評價，當鐵路橋梁加固改造成本比拆除新建節省費用 60%以上認為是有價值的，符合要求則進行下一步計算，不符合則判為最差方案。

Step 3：本文所建立的鐵路橋梁加固改造方案決策指標體系由定量和定性指標組成，且分為效益型指標1和成本型指標22種，計算之前需先進行規范化處理[13]。數據矩陣采用三角模糊數等方法進行規范化處理，得規范化矩陣*，結合熵權 法[14]計算各指標權重。

1) 定性指標按下式計算：

定性指標采用三角模糊數[15]進行量化。記為語義狀態集，{,,,,,,}，依次對應著7個狀態“特別差~特別好”。將轉換為三角模糊數，見表1。

表1 語言類模糊數與三角模糊數的相互轉換

效益型和成本型指標規范化計算公式如下：

為簡便運算，將三角模糊數轉化為精確數，計算公式如下：

2) 定量指標按下式計算：

待定量、定性指標經規范化處理后進行歸一化處理，計算公式如下：

Step 5：經主成分分析后，得旋轉矩陣T，將T按式(2)~(3)計算得到矩陣，即降維后的基于主成分分析的各方案決策矩陣。

Step 6：將矩陣結合加權廣義馬氏距離改進的TOPSIS方法進行鐵路橋梁加固改造方案排序。

3 實例分析

3.1 項目概況

從作者實際參與的諸多橋梁加固改造項目中選取5個具有代表性的項目為研究樣本：XPT橋、WF橋、TFG橋、UW橋和HDH橋，檢驗所建模型的可信性與有效性，部分案例匯總于專著《土木工程安全檢測、鑒定、加固修復案例分析》中，這里以XPT橋為例詳細闡述計算過程。該橋建于1997年，全長3 245 m，預應力混凝土簡支箱梁。經檢測，該橋承載能力嚴重不足，考慮到該橋區域位置的重要性，特進行加固改造。

3.2 計算過程

XPT鐵路橋梁加固改造項目由2家甲級設計院合計提出了5種加固改造設計方案，即方案A1~A5。在方案決策之初，首先對提出的5種方案進行“改造價值評價”，所有方案均通過專家組論證，隨即從方案A1~A5中按三角模糊數轉化得到各指標的量化值，見表2。

3.2.1 指標權重計算

按式(11)~(16)對表2中的數據進行規范化處理，得規范化矩陣*，見矩陣(18)。

熵權法計算各指標權重，得=(0.010 4，0.003 2，0.007 4，0.057 0，0.170 3，0.015 8，0.000 4，0.005 0，0.010 7，0.033 2，0.065 7，0.068 7，0.010 4，0.006 1，0.018 0，0.018 0，0.068 7，0.068 7，0.065 7，0.011 2，0.043 9，0.033 2，0.086 8，0.086 8，0.013 7)。

表2 初始決策指標量化值

3.2.2 主成分分析降維

采用spss24.0軟件對25個指標進行主成分分析，得到各項指標的相關系數矩陣(篇幅有限，不再給出)，從中可知，11，26，31和34等指標具有較高的正負相關性。計算各指標的初始特征值及累計方差百分比，前3個主成分1，2和3的累計方差百分比大于85%，主成分碎石圖如圖2所示，特征值和方差貢獻率見表3。

表3 特征值和方差貢獻率

圖2 主成分碎石圖

表4 旋轉矩陣(XT)

由spss24.0軟件提取主成分初始負載矩陣，旋轉得矩陣T，見表4。從旋轉矩陣T可以看出，主成分1與指標13，23，25，31，34，35，36，51，52，53，54和55；主成分2與指標21，24和26；主成分3與指標12和44，關聯性較大，由此可得主成分1，2和3的權重分別為：0.830，0.099和0.071。從圖2及表3中可以看出，主成分中前3項因子成分的特征根的累計方差貢獻率達到94.276%，因此，從圖2中選取前3個因子作為主成分因子，進行數據分析。

根據上述矩陣所列的主成分指標權重，按照式(3)，即可得到3個主成分表達式：

計算各方案主成分得分，將方案得分代入上面3個表達式，得到5個方案的相應主成分得分，并乘以各主成分指標對應的權重，結果見表5。

表5 基于主成分各方案決策得分Fi

3.2.3 加權廣義馬氏距離求解

表6 加權廣義馬氏距離、貼近度

3.3 結果分析

主成分分析按累計方差貢獻率實現了指標的降維處理，避免因樣本過大、關聯性較強導致的數據失真、排序不可信的問題，體現了主成分分析法在方案決策過程中的優越性。為了便于比較，將本文提出的方法與PCA+其他TOPSIS方法對比分析(歐式距離P1，馬式距離P2，廣義馬式距離P3和本文方法P4)，得貼進度及排序結果，見表7。結果表明，傳統方法與本文方法的排序在最優方案上保持一致，均為3，驗證了本文方法的可信性。但其他方案排序不盡相同，其中，本文提出的方法(P4)與方法(P3)存在方案A2，A4和A5排序不一致的情況；與方法(P2和P1)存在方案A1和A2排序不一致的情況，這是因為本文所提出的方法在計算過程中考慮了指標之間的重要性關系，解決了指標之間因重要性差異導致計算結果不科學的問題；此外，本文提出的方法可以同時解決當協方差矩陣為0或不可逆時計算無法進行的問題，使得分析結果更加可信。

表7 不同方法計算結果：貼進度、排序

同理，對WF橋、TFG橋、UW橋和HDH橋加固改造項目的決策過程按本文提出的方法進行計算，結果見表8。

表8 其余項目計算結果：貼進度、實際情況對比

從表8中可知，WF鐵路橋最優方案為A2，TFG鐵路橋最優方案為A4，UW鐵路橋最優方案為A4，UW鐵路橋最優方案為A3。通過對項目實地情況的調查情況可知，實際情況與模型決策的排序結果均保持一致，相比于傳統決策方法，本文所建立的方法降低了決策過程的復雜性，提高了決策過程的可靠性，所選方案能夠最大限度的實現性能提升、經濟合理、技術可行、社會影響、生態安全的要求，對類似項目決策具有良好的指導作用。從而驗證了所建模型的可信性和有效性。

4 結論

1) 通過實例調研和文獻分析，對鐵路橋梁加固改造項目決策影響因素進行分析識別，建立包括性能提升、經濟合理、技術可行、社會影響和生態安全5個方面在內的鐵路橋梁加固改造項目決策指標體系。

2) 運用三角模糊數對指標進行量化與熵權賦值，降低了人為因素的主觀性；采用主成分分析法按累計方差貢獻率實現指標的降維處理，降低決策過程的復雜性，提高鐵路橋梁加固改造方案決策的可靠性。

3) 構建基于PCA改進TOPSIS的鐵路橋梁加固改造方案決策模型，并運用于工程實例中。結果表明，決策過程清晰，決策結果可靠，同時解決了當協方差矩陣為0或不可逆時計算無法進行、指標之間存在重要性差異致使計算結果不科學、數據量過大導致數據災難這3點缺陷，使得改進后的方法更加全面合理，為類似項目決策提供指導。

[1] 馬建, 孫守增, 楊琦, 等. 中國橋梁工程學術研究綜述2014[J]. 中國公路學報, 2014, 27(5): 1?96. MA Jian, SUN Shouzeng, YANG Qi, et al. Review on China’s bridge engineering research: 2014[J]. China Journal of Highway and Transport, 2014, 27(5): 1?96.

[2] Ellakwa A E, Shortall A C, Shehata M K, et al. The influence of fibre placement and position on the efficiency of reinforcement of fibre reinforced composite bridgework[J]. Journal of Oral Rehabilitation, 2010, 28(8): 785?791.

[3] Hassan T, Abdelrahman A, Tadros G, et al. Fibre reinforced polymer reinforcing bars for bridge decks[J]. Canadian Journal of Civil Engineering, 2000, 27(5): 839? 849.

[4] 張鵬. 橋梁加固方案的層次分析優選法[J]. 公路交通科技, 2006, 23(7): 92?95. ZHANG Peng. Choice of optimum scheme for bridge strengthening by using analytic hierarchy process[J]. Journal of Highway and Transportation Research and Development, 2006, 23(7): 92?95.

[5] 楊雅勛, 李子春, 李子青. 基于組合權值灰關聯法的舊橋加固方案評價[J]. 長安大學學報(自然科學版), 2007, 27(5): 62?65. YANG Yaxun, LI Zichun, LI Ziqing. Evaluation on reinforcement scheme of existing bridges based on combination-weight-gray-relation method[J]. Journal of Chang’an University (Natural Science Edition), 2007, 27(5): 62?65.

[6] 邊晶梅, 朱浮聲, 高曉剛, 等. 服役橋梁加固方案優選決策支持系統[J]. 中外公路, 2009, 29(2): 156?161. BIAN Jingmei, ZHU Fusheng, GAO Xiaogang, et al. Decision support system for optimum selection of reinforcement scheme of service bridges[J]. Journal of China and Foreign Highway, 2009, 29(2): 156?161.

[7] 姜禹, 郝偉. 基于賦權關聯度法的橋梁加固方案優選研究[J]. 鐵道科學與工程學報, 2016, 13(7): 1318? 1322. JIANG Yu, HAO Wei. Research on bridge reinforcement scheme optimization based on empowerment relational degree[J]. Journal of Railway Science and Engineering, 2016, 13(7): 1318?1322.

[8] 周長東, 白曉彬, 張艾榮, 等. 震后橋梁結構應急加固方案優選[J]. 工程抗震與加固改造, 2011, 33(3): 82?87. ZHOU Changdong, BAI Xiaobin, ZHANG Airong, et al. Emergency strengthening scheme optimization for post-earthquake bride structure[J]. Earthquake Resistant Engineering and Retrofitting, 2011, 33(3): 82?87.

[9] ZHANG J, Iwaasa A D, HAN G, et al. Utilizing a multi-index decision analysis method to overall assess forage yield and quality of C3 grasses in the western Canadian prairies[J]. Field Crops Research, 2018, 2(22): 12?25.

[10] 許靜, 何楨, 袁榮, 等. 基于主成分分析與TOPSIS模型相結合的函數型產品質量特性的優化方法研究[J].工業工程與管理, 2016, 21(3): 59?67. XU Jing, HE Zhen, YUAN Rong, et al. Optimization of functional product quality characteristic problems based on PAC and TOPSIS model[J]. Industrial Engineering and Management, 2016, 21(3): 59?67.

[11] Grbovic M, LI W C, XU P, et al. Decentralized fault detection and diagnosis via sparse PCA based decomposition and Maximum Entropy decision fusion[J]. Journal of Process Control, 2012, 22(4): 738?750.

[12] 關宏艷, 李宗坤, 葛巍, 等. 基于加權廣義馬氏距離的TOPSIS方法在水庫防洪調度決策中的應用[J]. 天津大學學報(自然科學與工程技術版), 2016, 49(12): 1276? 1281. GUAN Hongyan, LI Zongkun, GE Wei, et al. TOPSIS method based on weighted generalized mahalanobis distance: An application to reservoir flood control operation[J]. Journal of Tianjin University (Science and Technology), 2016, 49(12): 1276?1281.

[13] LI D F. A ratio ranking method of triangular intuitionistic fuzzy numbers and its application to MADM problems[J]. Computers and Mathematics with Applications, 2010, 60(6): 1557?1570.

[14] HE Y H, GUO H W, JIN M Z, et al. A linguistic entropy weight method and its application in linguistic multi-attribute group decision making[J]. Nonlinear Dynamics, 2016, 84(1): 399?404.

[15] 廖勇. 基于三角模糊數的鐵路客運站選址方案評價方法[J]. 中國鐵道科學, 2009, 30(6): 119?125. LIAO Yong. Evaluation method for the location selection of railway passenger station based on triangular fuzzy number[J]. China Railway Science, 2009, 30(6): 119? 125.

Decision-making of railway bridge reinforcement and reconstruction scheme based on PCA and improved TOPSIS

PEI Xingwang1, LI Huimin1, LI Xuan2, LI Wenlong1, HUANG Junjie3

(1. College of Civil Engineering, Xi’an University of Architecture & Technology, Xi’an 710055, China;2. Shaanxi Tongyu Highway Research Institute Ltd, Xi’an 710118, China;3. Central Research Institute of Building and Construction Co., Ltd, Beijing 100088, China)

In order to reduce the potential risks in the reinforcement and reconstruction process of railway bridges in China, and considering the shortcomings of the existing decision-making methods, this paper established a scientific decision index system according to the characteristics of the problem, and proposed a decision-making model based on principal component analysis (PCA) and improved TOPSIS method of weighted generalized Mahalanobis distance. Firstly, the triangular fuzzy function is used to quantify the qualitative indexes, then the weight of each index is calculated by the entropy weight method. And using the PCA method to reduce the index dimension according to the contribution rate of the cumulative variance of the index. Secondly, using the improved TOPSIS method of weighted generalized Mahalanobis distance to calculate the distance between each index scheme and the positive and negative ideal solutions. Finally, five engineering examples are given to verify the credibility and superiority of this method. The selected scheme can meet the requirements of performance improvement and economic rationality to the greatest extent.

railway bridge; reinforcement and reconstruction; scheme decision-making; principal component analysis; improved TOPSIS

U24

A

1672 ? 7029(2020)04 ? 0823 ? 09

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20190495

2019?06?04

國家自然科學基金資助項目(51478384，51808424)；住建部科技資助項目(2018-R1-009)

裴興旺(1988?)，男，河南漯河人，博士研究生，從事土木工程結構安全檢測、鑒定、加固修復，土木工程建造與管理研究；E?mail：knowledge1020@126.com

(編輯 陽麗霞)