待定系數法求圓錐曲線方程

鄭鵬

求圓錐曲線方程的常用方法主要有兩種：一是定義法;二是待定系數法。待定系數法的實質是方程思想的體現，即在確定了圓錐曲線類型的前提下設出方程，利用題中的條件將待定量與已知量統一在方程關系中求解。其整個思維過程可概括為三步（1）先定性（何種圓錐曲線）;（2）后定形（哪種形式的方程）;（3）再定參（建立方程解）。下面就如何用待定系數法求圓錐曲線的標準方程，以及求解過程中需注意的有關問題，通過例題加以分析。

類型一 圓錐曲線類型、方程形式確定，參數待定型

例1.設橢圓的右焦點與拋物線的焦

點相同，離心率為，則橢圓的方程為（? ?）

（A）（B）（C）（D）

解析：拋物線的焦點坐標是，即橢圓的右焦點坐標是，即半焦距為2，

又離心率為，所以，得，而，故答案選B。

點評：以上例題是已知圓錐曲線的類型和方程的形式，只需通過題設條件構造關系式，待定參數即可。

類型二 圓錐曲線類型確定、方程形式待定型

例2.已知中心在原點的雙曲線的一個焦點是，一條漸近線的方程是.求雙曲線的方程。

解：設雙曲線的方程為，由題設得

所以雙曲線的方程為.

例3.求以原點為頂點，坐標軸為對稱軸，并且經過點的拋物線的標準方程.

解析：由已知所求的拋物線開口向左或向下.

若拋物線開口向左，設拋物線方程為，將的坐標代入得，此時拋物線的標準方程為;

若拋物線開口向下，設拋物線方程為，將點

的坐標代入得，此時拋物線的標準方程為.

所以滿足條件的拋物線的標準方程為或.

點評：本題常犯的錯誤是忽視標準方程的種類致誤，導致漏掉其中的某種情況，如中要么認定所求的拋物線開口向左，要么認定開口向下.我們在解決這類問題時應該結合圖形分析判斷所求圓錐曲線的所有可能情況.

類型三 圓錐曲線類型、方程形式均待定型

例4.如圖，直線是兩條互相垂直的直線，垂足為M，點N在直線上.以A、B為端點的曲線段C上的任意一點到的距離與到點N的距離相等.若為銳角三角形，，，且.建立適當的坐標系，求曲線段C的方程.

解析：由于曲線段上的任一點到一個定點的距離與到一條定直線的距離相等，故這一曲線段是一拋物線段，且以N點為焦點，為準線.

建立如圖所示的直角坐標系，其中原點O為MN的中點.設曲線段的方程為.由于

，且，.所以，且

，解得.

∵是銳角三角形，，再由點B在拋物線上，∴，

∴所求曲線段的方程是.

點評：為使得到的方程形式最簡單，同時也使自己解題最簡捷，應根據拋物線的標準方程特征去建立相應的直角坐標系.本題求的是曲線段的方程，其中就有相應的范圍，在解題中不要忽略了這一點.

通過以上的分析我們不難得出，待定系數法求曲線方程可總結如下四步：（1）弄清題中出現的圓錐曲線的基本量（如半長軸，半焦距、離心率等）;（2）根據條件確定需待定的系數并設出方程;（3）列方程（或方程組）并解之;（4）檢驗方程可能存在的不同形式。