初中幾何證明分析方法簡析

馬維俊

【摘要】幾何證明是初中幾何學習過程中的一個難點，從七年級的證明兩直線平行到九年級的證明直線與圓相切，是一個不斷演進和深化的過程。在初中學段，從知識結構和推理方法上，幾何證明形成一個有機的學習鎖鏈，最終在學生的知識體系里建立起完整的幾何推理機制。因此，在幾何教學中老師對幾何證明的分析方法的指導顯得尤為重要。

【關鍵詞】初中幾何 ?幾何證明 ?分析方法

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）02-0172-02

在初中階段，幾何證明是以幾何公理和定理為基礎，找出“已知”和“求證”之間的聯系，進行演繹推理的過程。其中，如何找出“已知”和“求證”之間的聯系是幾何證明的關鍵所在。現將一般常用的幾何證明分析方法總結如下：

一、審題——明確已知和求證

幾何證明的第一步是審題。審什么和怎么審是這一步的兩個重要方面。一是審什么。一道幾何證明題，在證明之前我們要明確題目給了哪些已知條件，要讓證明什么結論，也就是說我們要明確已知和求證。二是怎么審。初中幾何證明題，常見形式有兩類：一類是文字命題的證明，這類題目，通常用一句嚴謹簡練的強邏輯文字給出，已知和求證相對較為隱匿，所以要確定已知和求證就需要從命題的結構出發，分析題設和結論，從而實現已知和求證分離的目的。例如，“求證平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦且平分弦所對的兩條弧”。這道題目中的已知和求證是不明顯的，從命題的結構出發，分解成題設和結論的形式，“如果一條直徑平分了一條弦（這條弦不能是直徑），那么這條直徑垂直于這條弦并且平分這條弦所對的兩條弧”，則容易發現：已知里有兩個條件，一個基本條件“一條直徑平分一條弦”，一個限定條件“這個弦不能是直徑”;求證的結論有兩個“這條直徑垂直于這條弦”，“這條直徑平分這條弦所對的兩條弧”。另一類是具體條件下具體結論的證明，這也是幾何證明題最常見的證明類型。這類證明題，與文字命題的證明有顯著的不同，一般情況下都會明確給出已知和求證，同時已知和求證用數學符號語言給出。這類證明題在審題時區分已知和求證的難度相對低一點，如果已知條件給得較多，就要分析已知條件的特點和已知條件之間的關系。

二、讀圖——顯化已知和求證

明確了題目中的已知和求證后，就要讀圖。讀圖時要結合已知和求證，這是讀圖的前提。根據已知和圖形的聯系程度，幾何證明題常見的情形有兩種，第一種情形是題目中的已知和求證已經明確的表達了完整的題意，對圖形的依賴程度不強。例如，四邊形ABCD中對角線AC⊥BD，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，求證：四邊形EFGH是矩形。這道證明題中的已知和求證所表達的題意很完整，可以不借助圖形就能直接進行證明，但是對于直觀想象能力較弱的同學，作圖讀圖同樣顯得非常重要，借助圖形，證明過程更加輕松高效。第二種情形是已知中只給出了部分條件，其他條件通過圖形呈現出來，已知和圖形結合起來才能得到完整題意，所以讀圖是一個必要的環節。例如，如圖1，∠EAC=2∠B，且AD平分∠EAC，請說明AD與BC的關系，并說明理由。這是一道極其簡單的證明題，但是如果沒有給出圖形，就無從證明，只有將已知與圖形結合，才能明確題意，完成證明。由此可見，讀圖是幾何證明題證明過程中一個非常重要的環節，讀圖的過程是思路再整理的過程，讀圖使得已知和求證更加明顯，更加容易理解，為分析已知和求證之間的聯系做足準備。

三、分析——連接已知和求證

如何通過已知推出所求證的結論，關鍵是已知和求證之間建立連接，形成合理的邏輯關系，這個過程就是分析的過程。通常分析幾何證明題，有兩種方式。一是從“已知”出發，分析出求證的結論。這種分析方法是最常見的分析方法，根據已知的特點，分析這些已知能帶來哪些結論，這些結論之間有怎樣的聯系，如何利用這些聯系推出最終所求證的結論。另一種是從“求證”出發逆向推導，回到已知。這種逆向推導的基本思路是“知結論尋條件”，經過若干步的逆推，回到已知，從而把求證和已知連接起來。這種分析方法在部分題中會有特別好的效果，使得分析過程更加順暢。例如，已知如圖2，E是四邊形ABCD的對角線BD上的一點，且AB：AE=AC：AD，∠1=∠2，求證：∠ABC=∠AED.這道題從求證出發分析，若要證得∠ABC=∠AED，則需證明△ABC∽△SED，若要證明△ABC∽△SED，則需滿足三角形相似的條件，顯然題目中已經有“兩條對應邊的比相等”的條件，只需夾角相等即可，又已知∠1=∠2，則可得到∠BAC=∠EAD，逆推到這里，所有條件已具備，于是從∠1=∠2這個條件順推下去，這個題的證明思路便一目了然。

在分析已知和求證關系的過程中，幾何圖形同樣起著重要的作用，不可忽視。有些題目中已知條件比較多，或者推導的中間過程較多，這個時候幾何圖形起著部分思維緩存的作用，使得推導過程在幾何圖形這個中繼站的輔助下可以有序的進行;有些題目中，如要建立已知和求證之間的聯系，必須要借助圖形，通過在圖形上作輔助線，增加已知條件的數量，使得已知條件更加充足，進而與求證產生聯系。例如證明相交弦定理，如圖3，若圓內任意弦AB、弦CD相交于點P，求證：PA·PB=PC·PD。證明這個定理，需要證明兩個三角形相似，而原題目中沒有三角形，需要連接AD、BC，得到△PAD和△PCB，根據圓周角定理得到∠A=∠C，∠D=∠B，于是有△PAD∽△PCB，從而證得PA·PB=PC·PD。這個分析過程中，輔助線一旦做出來，證明思路就十分清晰了。

四、書寫——呈現思維成果

在分析的過程中，已知和求證之間形成了一條紐帶，順著這條紐帶用幾何符號語言把推理過程寫出來，便是幾何證明。如何完美書寫自己的思維過程，是個難點。書寫證明過程之前需要明確以下幾點：（一）明確幾何證明過程中的基本邏輯關系“因為……所以……”;（二）明確每個小結論得出的條件。有些小結論只需要一個條件就可以得出，有些小結論需要兩個或以上條件才能得出，有些小結論的得出以之前的一個小結論為條件，這些邏輯關系的書寫過程各有不同，需要明確掌握;（三）明確每個小結論之間的順序關系。有些小結論要作為后面結論的條件，那么這些小結論之間就存在邏輯關系，順序就不能亂;有些小結論之間沒有明確的先后關系，那么這些小結論可以任意順序書寫;（四）明確各小問之間的關系。有些證明題有兩問或者三問，首先明確各小問的已知條件之間的關系，如果是總題中的已知條件，則可公用，若是某個小問下的已知條件，則只在本小問中可用。其次明確前面小問與后面小問之間的關系，是否存在前一問為后一問做準備的情形;（五）將證明過程分塊進行。有些較復雜的證明過程，根據邏輯上的先后順序分成若干部分分別進行，這樣有利于化整為零，弱化證明的復雜性。明確了這幾點，那么書寫出一個完美的證明過程便是件容易的事情了。

初中幾何證明題，盡管每一個題目有每一個題目的特征和具體證法，但是證明流程上不外乎以上分析的四個過程，即審題、讀圖、分析、書寫的過程。這里特別強調的是，具體證明一道題目時，這四個過程不能刻板的分離開來，根據題目的難易程度，題目越簡單，四個過程越不明顯，題目越難，四個過程越需要分別進行。

初中幾何證明題的證明過程，從知識的掌握到技能的應用，從分析能力的提升到數學思維的錘煉，從嚴謹的書寫表達到優秀的數學素養的展現，綜合反映學生的數學能力，而老師對幾何證明題的分析方法的有效指導，可使學生的學習過程更加高效快捷。

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