基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的概念教學(xué)研究*

趙天璽

(安徽省界首第一中學(xué) 236500)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下稱《標(biāo)準(zhǔn)(2017)》)提出培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)[1].數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，概念是思維的細(xì)胞，概念教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體.筆者結(jié)合課題組的實踐，就概念教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)給出一些思考，以期拋磚引玉.

1 從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題以引入概念

概念教學(xué)中，概念引入作為“排頭兵”，是概念課教學(xué)不可缺少的重要一環(huán).教師在引入概念時要重視學(xué)生的認(rèn)知需求和困惑，從學(xué)生的認(rèn)知角度出發(fā)，設(shè)計合適的情境和問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)和提出問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

案例1函數(shù)概念的引入

閱讀北師大版教材《數(shù)學(xué)(必修1)》[2]第二章第一節(jié)“生活中的變量關(guān)系”的練習(xí)3：“在一定量的水中加入蔗糖，在未達(dá)到飽和之前，糖水的質(zhì)量濃度與所加蔗糖的質(zhì)量之間存在怎樣的依賴關(guān)系？如果是函數(shù)關(guān)系，指出自變量和因變量.”

師：注意到“在未達(dá)到飽和之前”這個條件，你能據(jù)此提出新的數(shù)學(xué)問題嗎？

生1：在達(dá)到飽和后，糖水的質(zhì)量濃度與所加蔗糖的質(zhì)量之間是函數(shù)關(guān)系嗎？(問題1)

生2：在達(dá)到飽和前與飽和后的整個過程中，糖水的質(zhì)量濃度與所加蔗糖的質(zhì)量之間是函數(shù)關(guān)系嗎？(問題2)

師：很好的問題！問題1、2該怎么解答？

生：都不是函數(shù)關(guān)系.因為問題1中飽和后糖水的質(zhì)量濃度是常量，不是變量；問題2中飽和前與飽和后有兩個變化過程.

師：但我要說的是按照高中的函數(shù)概念，這兩個問題中糖水的質(zhì)量濃度與所加蔗糖的質(zhì)量之間是函數(shù)關(guān)系.要想明白它們之間為什么是函數(shù)關(guān)系，我們需要學(xué)習(xí)高中函數(shù)概念.

評注概念教學(xué)要注重揭示概念學(xué)習(xí)的必要性.函數(shù)的概念學(xué)生初中時已經(jīng)學(xué)過，高中為什么又要學(xué)習(xí)，這是學(xué)生最大的困惑.初中函數(shù)的“變量說”定義：在一個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x的值，相應(yīng)地就能確定一個y的值，那么我們稱y是x的函數(shù).按初中教材說法，數(shù)值發(fā)生變化的量叫變量，數(shù)值始終不變的量叫常量.另外，“一個變化過程”含義也不夠準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)，這說明初中函數(shù)的概念有待進(jìn)一步發(fā)展.教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，通過引發(fā)認(rèn)知沖突來激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，提升核心素養(yǎng).

2 站在學(xué)會數(shù)學(xué)抽象的高度來建立概念

“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng).建立概念主要是“抽象”過程.在這一過程中，學(xué)生對典型、豐富的具體事例進(jìn)行觀察、比較、歸納，抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，即共同且本質(zhì)的數(shù)學(xué)特征，并用數(shù)學(xué)的語言(文字、圖形、符號)予以表征.教師要力爭讓學(xué)生在概念建立過程中學(xué)會“數(shù)學(xué)抽象”.

案例2函數(shù)單調(diào)性概念的建立

思考并完成下列問題：

問題1 觀察函數(shù)f(x)=x+1的圖象 (圖1)和函數(shù)g(x)=x2的圖象(圖2)，從左到右它們是怎樣變化的？

圖1 圖2

問題2 怎樣從自變量和函數(shù)值變化的角度刻畫圖象的變化?

問題3 怎樣用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)函數(shù)f(x)在R上、函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,+∞)上隨著自變量x的增大，對應(yīng)函數(shù)值也跟著增大？

問題4 請用數(shù)學(xué)符號語言給出函數(shù)單調(diào)遞增(遞減)的定義.

評注學(xué)生在問題解決中體驗了概念從圖形語言的“上升、下降”到自然語言的“增大、減少”，再到數(shù)學(xué)符號語言“單調(diào)性”的定義過程，經(jīng)歷從具體的直觀描述到形式化的符號表達(dá)的抽象過程，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)得到了培養(yǎng)和提升.

3 運用邏輯推理來理解概念

概念的理解離不開邏輯推理素養(yǎng).概念的理解包括探究概念變式和重建概念系統(tǒng).概念變式包括圖形變式、式子變式、符號表示、等價說法及反面實例等.數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)是一類事物的共同本質(zhì)屬性，在變式中進(jìn)行思維有利于學(xué)生掌握概念的本質(zhì).重建概念系統(tǒng)的過程就是新概念同原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用而形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程.

案例3函數(shù)單調(diào)性概念的理解

變式加深了對概念的理解深度，體現(xiàn)了概念的本質(zhì).特別地，最后一個變式有利于以后斜率和導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)，非常有必要.

評注這是個演繹推理的過程，學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)得到了培養(yǎng)和提升.

案例4數(shù)列和等比數(shù)列概念的理解

按一定次序排列的一列數(shù)a1，a2，a3，…，an，…稱作數(shù)列，簡記為數(shù)列{an}.記號{an}并不能深刻反映數(shù)列的本質(zhì)和內(nèi)涵.實際上，數(shù)列{an}每一項的序號與該項有唯一的對應(yīng)關(guān)系，因此數(shù)列也可以看作定義域為正整數(shù)集N(或它的有限子集)的函數(shù).在等比數(shù)列概念的教學(xué)中，可以類比等差數(shù)列的概念和性質(zhì)來理解等比數(shù)列，從而更加快速有效地理解等比數(shù)列的概念和性質(zhì).

評注數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列和函數(shù)是特殊和一般的關(guān)系，數(shù)列概念可以納入到函數(shù)概念的知識體系.類比等差數(shù)列的概念和性質(zhì)來理解等比數(shù)列，這是一個類比推理的過程，學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)得到培養(yǎng)和提升.

4 在概念應(yīng)用中發(fā)展理性思維與科學(xué)精神，全面提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

理性思維和科學(xué)精神是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素的靈魂，數(shù)學(xué)教學(xué)聚焦點應(yīng)放在理性思維和科學(xué)精神發(fā)展上[3].概念是理性思維的基本形式，概念應(yīng)用要讓學(xué)生養(yǎng)成“不斷回到概念中去，從基本概念出發(fā)思考問題、解決問題”的習(xí)慣，注重發(fā)展學(xué)生的理性思維、科學(xué)精神.概念應(yīng)用也是全面提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要過程.

案例5“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”教學(xué)片斷

題目：求過點(1,0)與曲線y=x3相切的直線方程.

師：方程y=0為什么要舍去？

生：因為直線y=0(x軸)，在原點處穿過了曲線y=x3.切線與曲線只有唯一公共點，且曲線在切線的同側(cè)，如直線與圓相切.

師：我們不是靠經(jīng)驗感覺判斷直線y=0是否為切線，而是按照概念嚴(yán)格地進(jìn)行驗證.

教師利用幾何畫板作函數(shù)y=x3的圖象.在曲線y=x3上取一動點Pn，作過原點O和Pn的割線OPn.當(dāng)Pn沿著曲線趨近于點O時，割線OPn趨近于x軸.當(dāng)Pn和點O重合時，割線OPn與x軸重合.

生：按照切線定義x軸的確是y=x3在原點處的切線.

師：對的.曲線的切線與曲線是否只有唯一公共點？

生：是的，有兩個公共點就不是相切而是相交了.

圖3

師：我們?nèi)杂脦缀萎嫲鍋眚炞C.如圖3，可以看到切線27x-4y-27=0和曲線除了切點外還有一個交點A(-3, -27).

生：(驚詫不已)曲線的切線和曲線真的可以不止一個公共點！

評注經(jīng)歷了利用幾何畫板來驗證直線y=0為曲線切線的過程，學(xué)生認(rèn)識到嚴(yán)格按數(shù)學(xué)概念來判斷和思考問題的重要性，逐步形成實事求是的科學(xué)態(tài)度，發(fā)展了理性思維.通過觀察圖3，學(xué)生糾正了“切線與曲線只有唯一公共點”的錯誤認(rèn)識，發(fā)展了敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神.[4]

案例6橢圓概念的應(yīng)用

A.{Sn}為遞減數(shù)列

B.{Sn}為遞增數(shù)列

C.{S2n-1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列

D.{S2n-1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列

分析若構(gòu)造函數(shù)求解，運算量極大，很多學(xué)生只能望而卻步，或中途退卻.

解析(師生共同)在數(shù)軸上把各邊長度對應(yīng)的點表示如下：

圖4

圖5

評注學(xué)生先通過直觀的數(shù)軸圖形和數(shù)學(xué)運算得到cn+bn=2a1為定值這個結(jié)論，然后利用橢圓概念建立橢圓模型，接著通過數(shù)學(xué)運算推得|bn-cn|在逐漸減少，最后利用△AnBnCn的圖形直觀地解釋{Sn}為遞增數(shù)列.通過概念的應(yīng)用，數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等素養(yǎng)得到了全面培養(yǎng)和提升.

5 把“認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的基本套路”落實在核心概念主題教學(xué)中

《標(biāo)準(zhǔn)(2017)》倡導(dǎo)主題(單元)教學(xué)，以核心概念為主題的教學(xué)是一個很好的做法，教師要努力把“認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的基本套路”落實在核心概念主題教學(xué)中.

案例7函數(shù)主題教學(xué)

“函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)中一個極其重要的核心概念，它的思想方法貫穿了高中數(shù)學(xué)課程的始終.回顧“函數(shù)”主題的學(xué)習(xí)，我們是按照“實際背景—函數(shù)的定義、表示—圖象和性質(zhì)—應(yīng)用—基本初等函數(shù)(函數(shù)的特例)”展開的.推而廣之，從研究數(shù)學(xué)對象的一般套路出發(fā)，認(rèn)識一個數(shù)學(xué)對象可以從“背景—定義、表示—劃分(以要素為標(biāo)準(zhǔn))—性質(zhì)(要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系)—特例(性質(zhì)和判定)—聯(lián)系(應(yīng)用)”[5]展開研究.在認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的一般規(guī)律指導(dǎo)下，當(dāng)面對一個新對象時,學(xué)生也能夠發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、形成研究思路、找到研究方法，最終成為有較高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人才.

6 結(jié)束語

章建躍博士指出，“教好數(shù)學(xué)就是落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”[3].數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是概念教學(xué)，做好數(shù)學(xué)概念教學(xué)是落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵所在.廣大數(shù)學(xué)教師應(yīng)積極引領(lǐng)學(xué)生在概念的學(xué)習(xí)中掌握“四基”，發(fā)展“四能”，培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).