整體把握教材：單元教學設計視角
——以“圓錐曲線與方程”為例*

彭 鋒 鄧元潔 王承菊

(重慶市兩江中學校 401120)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱“17標準”)明確提出：普通高中數學課程的培養目標是進一步提升學生的綜合素質，著力發展數學學科核心素養.[1]核心素養導向的課程設計采用跨章節、跨領域的主題，教學時需將教材中有關聯的知識進行整合，形成新的教學單元，進而落實問題解決式的綜合學習，對核心素養進行綜合評價.而課堂教學是培養學生核心素養的主陣地，因此開展單元教學設計將成為今后一線教師教學轉型的重要抓手.本文將闡述筆者對“單元教學設計”的理解，以“圓錐曲線與方程”的整體單元設計為例，結合“橢圓的簡單幾何性質”一節課的教學設計，為單元教學設計提供參考.

1 單元教學設計概述

所謂“單元教學設計”，呂世虎教授認為是以教材為基礎，用系統論的方法對教材中“具有某種內在關聯性”的內容進行分析、重組、整合并形成相對完整的教學單元，在教學整體觀的指導下將教學諸要素有序規劃，以優化教學效果的教學設計.[2]其特征如下：(1)單元教學設計最本質的特征就是整體性.一個單元由一些具有相互聯系的要素組成，這些要素是相互依存的，且每個要素都有自己獨特的地位.例如，進行“圓錐曲線與方程”的單元教學設計時，不管是講解橢圓、雙曲線還是拋物線，它們都遵循定義、建系求標準方程、幾何性質、考點的相似性，只要整體把握教學過程的相似性，重點講解橢圓，其他兩種圓錐曲線的學習就迎刃而解了.(2)單元教學設計要體現教學的循序漸進原則.學生接受知識的程度是由外到里、由易到難的，要充分考慮每節課之間的關聯和順序，體現教學內容的坡度，教學要有層次、有順序地進行.(3)單元教學設計注重以學生為本.“17標準” 指出高中數學課程面向全體學生，實現人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展[1].單元教學設計，注重其層次結構，通過挖掘知識點之間的聯系，讓不同層次的學生學有所獲.(4)單元教學設計具有創造性.教師可根據自己的學識和經驗對教學內容和教學方式進行不同的詮釋，其設計的伸縮性遠遠大于課時教學設計.

2 單元教學設計的基本思路

在文獻[3]的基礎上，筆者借助“17標準”將單元教學設計的基本思路分為六步，流程圖如下：

對“圓錐曲線與方程”一章進行單元教學設計，首先得對六大要素(數學要素、課標要素、學情要素、教材要素、重難點要素、教學方式要素)進行分析.分析完各要素、對教學內容整體把握以后，編制教學目標、設計教學流程，將單元教學目標具體分配到每一課時，進行系統的單元教學設計.

3 單元教學設計

3.1 六要素分析

·數學要素分析 圓錐曲線，又叫二次曲線，是利用方程的系數來確定曲線形狀，揭示數學中古老而又經典的問題.在大學數學課程中，以圓錐曲線為核心的解析幾何是最基礎的課程.圓錐曲線很重要，是因有兩個重要的物理背景支撐著它的地位：一是宇宙中，許多天體的運動軌跡可以用圓錐曲線或近似地用圓錐曲線表示；另一個是大部分光學儀器都是利用圓錐曲線(面)的原理制作的.

在“17標準”規定的數學課程內容中，圓錐曲線與方程放在選擇性必修課程主題二“幾何與代數”中，是高考的內容.本單元在學習了直線、圓的幾何特征并建立它們的標準方程后，進一步用代數方法認識圓錐曲線的性質及與直線的位置關系.體會運用解析幾何方法解決簡單的數學問題和實際問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數學思想.

·課標要素分析 對比發現，《普通高中數學課程標準(實驗)》(以下簡稱“03標準”)與“17標準”都把該內容放在選修中，二者都注重對該內容的應用，更重要的是讓學生感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用，都明確提出進一步體會數形結合的思想.但“17標準”對“曲線與方程”不單獨給出，而是通過不同的情境，建立直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程，來體現“曲線”與“方程”的關系.另外“17標準”對拋物線的定義、幾何圖形和標準方程的要求降為了解，拋物線的有關性質也由“03標準”中的掌握降為了解，對圓錐曲線的應用也只是了解橢圓、拋物線即可.

表1 “03標準”與“17標準”對比說明

·學情要素分析 筆者所在的學校是重慶市重點高中，從歷年數學高考成績看，學生整體處于重慶市中等偏上水平，但學生反映該部分內容思維難度較大，學習興趣不高.對大部分學生來說，學習該內容占用課后時間較長，但還是“吃不透”，對于三種圓錐曲線的定義及幾何性質還是不能靈活運用；部分學生的學習習慣還未養成，在學習該部分內容時，怕算、怕思考、怕歸納、怕總結；該內容對學生運算水平要求較高，運算能力欠缺是導致解不出題或解答錯誤的重大原因.

·教材要素分析 教材是學生獲取系統知識進行學習的主要材料，也是教師進行教學的主要依據.它是教學內容的載體，展現了課程標準規定的教學內容，它介紹了相關的數學背景，給學生創設了知識的問題情境，安排教師如何進行教學活動，給出該知識的合理結論并對此作出相應的解釋.下面筆者就“圓錐曲線與方程”對人教A版與即將出版的新教材的編排目錄進行對比，分析各自的特點.

表2 人教A版與新教材編排目錄比較

從表2的內容編排來看，新教材對于“曲線與方程”沒有單獨設置小節；新教材刪除了圓錐曲線的離心率與統一方程，這正符合“17標準”降低圓錐曲線學習難度的要求.

另外，人教A版共設置了八篇閱讀材料，分別有信息技術應用、探究與發現、閱讀與思考三類.新教材在這部分的設置上大同小異，只是在本章小結之前增加了文獻閱讀與數學寫作，要求學生收集、閱讀平面解析幾何形成與發展的歷史資料，論述平面解析幾何的發展過程，學會撰寫小論文.

·重難點分析 重點知識:經歷從具體情境抽象出橢圓模型的過程，掌握它的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質；了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質.

難點知識:相對于直線與圓的位置關系，直線與圓錐曲線的位置關系更難掌握，因此可通過畫圖直觀地理解其幾何性質，滲透數形結合思想.

·教學方式分析 “17標準”注重學生數學核心素養的培養，不但注重教學的結果，更注重教學的過程，倡導“以教師為主導，學生為主體”的指導思想.如今的教學要重點突出以“問題解決”為中心，提供給學生現實的問題情境材料或設計編選具有趣味性的問題，引導學生會思考、會想象和會猜測，去挖掘問題情境中的數量關系與空間形式，形成數學概念，產生數學命題，以數學思想方法為核心，揭示數學的規律.這樣不僅使學生了解了知識的“發生過程”，而且“探究發現”“思考交流”等環節更是為課堂增添了不少色彩.另外“17標準”指出應充分發揮信息技術的作用，通過多媒體向學生演示曲線軌跡的形狀變化是和方程參數的變化息息相關的.

筆者在之后的課時教學設計“橢圓的簡單幾何性質”中，充分突出以“問題解決”為中心的思想，整個設計圍繞四個問題展開，并把課堂交給學生探究討論、歸納總結.最后對學生所探究的結果進行點評，整堂課教師起著 “引導者”的作用.在多媒體輔助教學方面，運用了動態幾何軟件“超級畫板”，培養了學生的直觀想象、邏輯推理和數學抽象素養，也培養了數學探究和動手操作的能力.

3.2 單元教學目標

理清六大要素分析后，制定了如下單元教學目標.

(1)知識與技能目標 會根據條件求橢圓、拋物線及雙曲線的方程，在有關圓錐曲線性質的應用中，要強化學生的運算求解能力，提高學生分析和解決問題的能力；在思維能力方面，要引導學生善于使用函數與方程思想和數形結合思想來解決問題，特別是數形結合思想，它是解決圓錐曲線問題時必不可少的思想方法.

(2)過程與方法目標 重點是利用坐標法，根據橢圓定義，從圖形的幾何特征出發，建立適當的坐標系，研究建立橢圓的方程，再從方程出發結合圖形來研究它們的幾何性質及簡單的應用. 另外“17標準”對雙曲線、拋物線的要求相比橢圓有所降低，屬于“了解”的范疇，仿照橢圓方程及性質的研究可以研究雙曲線、拋物線的方程及相關性質.

(3)情感態度與價值觀目標 主要讓學生在了解圓錐曲線的實際背景過程中感受其在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.在建立圓錐曲線方程的過程中感受從具體情境抽象出一般規律的思想和方法，進一步體會數形結合在解析幾何中的作用與價值，經歷“坐標法”使數學的“形”和“數”有機結合的過程，體會人類研究數學時所付出的艱辛勞動，以及數學為社會所做的貢獻.

3.3 課時教學設計

本節是“圓錐曲線與方程”中“橢圓”第二節內容，主要學習橢圓的四種幾何性質：范圍、對稱性、頂點及離心率，它是本章、也是解析幾何部分的重要基礎知識.橢圓是學習三種圓錐曲線的開始，之后雙曲線和拋物線的學習需反復利用橢圓的學習方法，因此橢圓一節顯得既基礎又關鍵.本節內容也體現方程研究曲線性質，此種思想方法將貫穿這一章的學習. 具體教學過程見下.

·復習回顧

師：請回憶橢圓的定義及其標準方程.(教師用多媒體展示焦點在x軸和y軸上的橢圓圖象)

生：MF1+MF2=2a,F1F2=2c.

教師用動態幾何軟件將橢圓的兩個焦點拖到同一處，動態地為學生演示橢圓變成圓的過程.

設計意圖本節課學習的內容是在橢圓標準方程及圖象的基礎上進行的，因此在學習新知識前先復習一下橢圓的標準方程及圖象，使學生的記憶被喚醒，為新知識的習得做準備；復習橢圓的同時提醒橢圓與圓的聯系，體現其知識的關聯性，體現單元教學的整體思想.

·新課探究

師：我們如何來研究橢圓的幾何性質呢？

生：從橢圓的圖象，并借助橢圓的標準方程來研究.

問題1 橢圓的大小由什么確定？

教師在動態幾何軟件中畫一個橢圓，并畫出它的特征三角形.

設計意圖在圖象上觀察比代數方法更直觀.

師：觀察橢圓圖形并討論，橢圓的大小由什么確定？

生：橢圓總被一個矩形“圈”在其中，矩形的長是橢圓的長軸長、寬是橢圓的短軸長，因此橢圓上的點的橫坐標的范圍是-a≤x≤a，縱坐標的范圍是-b≤y≤b.

師：這只是我們在圖象上看到的，能用代數方法證明嗎？

學生思考討論，并板演證明過程.

設計意圖學生由圖象觀察出橢圓的范圍，用代數方法只是驗證結論是否準確.證明過程不繁雜，僅需對標準方程進行簡單變形.板演能增強學生的參與意識,印象會更深刻.

教師對學生的證明過程講評，強調橢圓位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形框里.

問題2 橢圓是對稱圖形嗎？

教師在動態幾何軟件中向學生演示橢圓繞x軸(圖1)、y軸以及原點(圖2)旋轉.

圖1 圖2

生：由動畫知,橢圓關于x軸、y軸都是對稱的,坐標軸是其對稱軸,原點是橢圓的對稱中心.

設計意圖學生觀察橢圓的形狀，會發現橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，再用動態幾何軟件中的動畫功能向學生演示，讓學生不僅“知其然”而且“知其所以然”.

師：這只是我們在圖象上看到的，能用代數方法證明嗎？(學生思考并討論證明過程)

設計意圖學生用“形”的方法理解了橢圓的對稱性后，再用代數方法說明橢圓的對稱性，向學生傳遞本章的重要思想：用代數方法解決幾何問題.

問題3 橢圓上有哪些特殊點？

師：由直線方程畫直線時，通常需要求出直線與x軸、y軸的交點坐標.類似地，思考如何求出橢圓與x軸、y軸的交點坐標？

學生思考討論,并總結橢圓四個頂點的坐標.

設計意圖橢圓的頂點比較容易得出，而且也容易理解，所以學生思考討論后說出自己的想法，教師稍做總結即可.

生：除了頂點，焦點也是橢圓的特殊點.

師：對！橢圓的光學性質是從一個焦點射出的光線，經橢圓反射，其反射光線過橢圓的另一個焦點，有興趣的同學可以課后證明.

設計意圖對于橢圓的光學性質，課本上并沒有進行講解，只在本章末尾的閱讀材料中有所提及，因此證明過程交給課后.但焦點是橢圓很重要的特殊點，必須讓學生明白其重要性，并為課后探究做鋪墊.

問題4 橢圓的扁平程度與什么有關？

教師將全班分成兩組：第一組在同一坐標系上畫幾個焦點相同、長軸不同的橢圓；第二組在同一坐標系上畫幾個長軸相同、焦點不同的橢圓.教師用動態幾何軟件進行展示，全班進行交流，最后討論橢圓的扁平程度如何刻畫.

圖3 圖4

生：c不變，a越小，橢圓越扁(圖3)；a不變，c越小，橢圓越圓(圖4).

設計意圖離心率的概念比較抽象，如果單純由教師講解，學生可能理解不到位，因此把課堂交給學生，讓學生自己去實驗探究并得出結果，充分反應了“教師為主導，學生為主體”的思想.

師：這只是我們從圖象上看到的，能用代數方法證明嗎？

學生興高采烈地進行回答.教師對學生的回答進行點評，并告訴學生橢圓的離心率可形象理解為在橢圓的長軸長不變的前提下，兩個焦點離開中心的程度，這正呼應了前面提到的橢圓與圓的關系.

設計意圖整個探究的過程都是學生在展開，這樣會讓學生有一種成就感，覺得新知識是自己探究學會的而不是教師強加灌輸的，可以避免學生的逆反心理.

·知識應用

例1求橢圓4x2+9y2=36的長軸長、短軸長、離心率和頂點坐標，并畫出其圖象.

設計意圖該題首要目的是向學生說明，解決此類問題先將已知方程化為標準方程，不僅是橢圓，之后要學習的雙曲線、拋物線亦是如此.同時也強化了對橢圓的范圍、對稱性、頂點坐標及離心率的理解.

例2求適合下列條件的橢圓的標準方程：

②經過點P(-6,0)和Q(0,8).

設計意圖兩題透射出圓錐曲線兩種最基本的題型，都考查了橢圓的幾何性質，需重點掌握.

設計意圖讓學生進一步加深對離心率刻畫橢圓“扁平”程度的理解.

·課后探究

基于焦點的光學特征，課后全班學生分小組進行探究討論，每組選一種實驗探究.

課題：設計一個離心率適當的橢球鏡.

問題1：將該橢球鏡放置在太陽光底下，焦點處會出現什么情況？橢球鏡會出現什么情況？

問題 2：在該橢球鏡的兩個焦點處裝置小燈泡并使其發光，會出現什么情況？

問題 3：如果將上述實驗中的橢球鏡上下取一半，再左右取一半，其他不變，又會出現什么情況？

設計意圖此探究正是教材閱讀材料中的內容,它介紹數學知識產生的背景以及與數學知識有關的奇聞趣事，或是知識的實際應用和拓展，供學生在課余時間閱讀.這些內容不但可以提高學生對學習該知識的興趣，而且對學生掌握該知識的實際背景有一定幫助.

3.4 評價與反思

(1) 學生梳理知識，教師把知識塊整理成流程圖

(2)研究展望

師：橢圓的研究經驗告訴我們，利用圖象和方程來研究曲線的性質，是圓錐曲線性質研究的基本方法.后面完全可以類比橢圓的研究過程來研究雙曲線和拋物線，比如基本性質、直線與圓錐曲線的位置關系、光學性質等.當然類比的同時可能又有不同之處，這需要我們之后的學習去慢慢挖掘.

4 結語

做好單元教學設計，對整體把握教學內容很有幫助.教師可進一步解讀教材、挖掘教材，明確對哪部分內容該用幾個課時、哪部分內容采取哪種教學方式，在教學時自然而然地為學生傳遞整體把握教材的思想，讓學生知道該知識點與之前所學過的知識點或后續所要學習的知識點之間的聯系.