基于案例與問題的解析幾何教學思考

唐俊濤

(江蘇省吳縣中學 215151)

解析幾何的本質是借助代數的方法研究幾何問題，所以對學生運算能力要求較高，學生在學習過程中常常抱怨：“方法想想應該會，但是算算就害怕.”在平時課堂教學中，教師變身為“救火員”，將冗長的解答過程進行板書，學生機械式地摘抄.當學生輪到獨立去完成運算時就難以招架，尋求不到出口.解析幾何在學生腦海中自然就留下“繁瑣的計算”“望而生畏”等印象.

佐藤學曾說過：“教育往往要在緩慢的過程中才能沉淀下一些有用的東西.”解析幾何教學更是如此，思路的探尋并非一蹴而就，需要教師教得慢一點，學生學得緩一些，才能讓解析幾何教學扎實地向前推進，讓學生不再畏懼解析幾何這只“紙老虎”.筆者發現，在解析幾何教學中應該突出概念教學，加深圓錐曲線的定義、方程及其性質的教學，對一些常見問題的通性通法需熟練掌握，這成為突破問題瓶頸的關鍵點.

1 問題與案例

下面就結合一些具體的問題將解析幾何教學進行分類匯總.

1.1 突出基本量，找到解題的關鍵

解析幾何是高中數學知識點中重要的一個板塊，它的特點是數與形兼備.在數形結合的思想下，以坐標作為解題根本立足點，而對坐標的處理無非就是“設點”或“解點”.學生的受困點在于解題思路的獲取、解題方法的選擇、數學工具(參數方程、向量、極坐標)的應用等方面.如何準確找到基本量也就成為了解題的關鍵.

圖1

處理此題不僅可通過設直線AB，還可直接設點A，B的坐標.這也是解析幾何問題中學生務必關注的地方，需要學生數學感覺要好、選擇切入點的能力要高，才能有效地避開大量運算，進而不斷地提升學生思維.

處理這類問題，教師應俯下身來等學生，讓學生參與解題過程，發現解題中的關鍵節點，這才有助于學生真正掌握解題思路.若教師將解題過程都鋪設好，讓學生按照既定路線前行，則學生表面是聽懂了，但遇到問題時卻又會“不知所措”.所以課堂并不是讓學生聽懂，不是讓學生按設定好的方式去做，而是讓學生學會獨立去探究問題、感悟過程.

1.2 重視概念理解，把握解題“命脈”

解析幾何的解題思路應該是學生自主構建、探究后獲得的，并非是教師強行灌輸后獲得.雖然通過教師的點撥，解題往往會變得較為順暢，但學生獨自面對問題時就會無從下手，不能尋找到解決問題的“命脈”.教師急于求成，課堂上過多地重視解題數量，而對問題本質、概念本身講解缺乏耐心，致使學生理解并不透徹.這種看似高效的課堂并不能幫助學生真正地提升思維.

案例2已知N為拋物線x2=4y上的任意一點，M為圓x2+(y-5)2=4上的一點，A(0,1),則2MN+MA的最小值為.

圖2

本題就是阿氏圓的逆用.學生對阿氏圓并不陌生，但是對其應用卻往往一知半解，更別說逆用了.因此，不能讓鋪天蓋地的練習將原有的教學目標淡化.能力的提升、素養的形成并非是在題海中達成的.教學中，教師應立足教材，深挖概念、公式、定理形成的“來龍去脈”，讓課堂的推進變得自然，讓方法的選擇不再顯得“突兀”.這樣學生不僅能夠聽懂，更能夠熟練自然地掌握.

1.3 關注幾何性質，簡化繁瑣運算

解析幾何具備了代數、幾何的雙重身份，問題的表征往往以數的形式給出.若在一定條件下將“數”轉化為“形”，從形的角度再分析，則會使原問題峰回路轉，大大降低運算成本，達到意想不到的效果.

案例3(2013年江蘇高考17題)在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l:y=2x-4.設圓的半徑為1，圓心在l上.

(1)若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；

(2)若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

在解決解析幾何問題時，如能突出圖形的幾何性質，一定能降低數學運算的要求.在教學中教師要讓學生善于發掘問題中所蘊含的幾何條件，將“數”化為“形”，一定程度上也加深了學生對數形結合的深入理解.

1.4 數學問題需要適當發散聯想

在解題中學生常會遇到一些陌生問題，此類問題的切入點往往至關重要，教師需要引導學生思考問題的結構和問題的源頭，對問題也要進行適當的聯想.由數思形、由形想數，這樣才能將學生思維層次提升，逐步深化.通過發散聯想，最終將教學目標聚焦在學生素養能力的提升上.

圖3

高三階段練習多、難度大，學生往往把握不住問題切入點，對條件和問題的敏感性不夠強，缺乏獨立解題的主觀能動性.所以啟發聯想是高三課堂需要重視的關鍵.教師需要從不同視角、不同高度，高屋建瓴地帶領學生抓住問題的核心，理清問題的本質，找準解題的突破口，找出問題間的共性，使學生的思維、素養進一步地強化.

1.5 熟練掌握同類題型的通性通法

章建躍博士曾經說過：“通性”就是概念所反映的數學基本性質；“通法”就是概念所蘊含的數學思想方法.由此可見，“通性通法”就是要立足于數學概念的本質，利用概念、定理、公式等手段來解決具體問題的常見思路，它具備了一般性的思維規律.所以，“通性通法”不僅僅針對一道題，還可以用來解決一類問題.如果能掌握這類題型的解題方法，等下次遇到類似問題的時候，就可以省去盲目試探方法的時間，直擊問題的核心.

(1)求橢圓的方程；

(2)點M(x0,y0)在圓x2+y2=b2上，且點M在第一象限內，過點M作圓x2+y2=b2的切線交橢圓于P,Q兩點，問F2P+F2Q+PQ是否為定值？

圖4

綜上,F2P+F2Q+PQ=4.

實際教學中，教師應該讓學生從多個解題思路中分類匯總、歸納總結出解題的通性通法,借助對典型問題的變換和拓展引申，讓學生對問題深入地理解思考，撥開問題的表象，探究問題的實質，從而發現內在的聯系，尋找出規律，觸類旁通、舉一反三.

1.6 關注相似圖形間的共性及內在聯系

橢圓與圓是一對孿生兄弟，相互之間有著很多共性.圓中所具備的結論，往往在橢圓中也有著很多類似的結論，如果能夠發現其中的內在聯系，那么在解決問題的過程中定會給我們帶來許多便利.

圖5

(1)求橢圓E的方程；

(2)直線l:y=-1交y軸于點M,過點M作直線l1交橢圓于點C(x1,y1),D(x2,y2)(y2>0), 過點M作直線l2交橢圓于點G(x3,y3),H(x4,y4)(y4>0),直線CH,GD分別交l于點P,Q,求證：MP=MQ.

由本題的圖形不難發現，該題正是著名的圓中蝴蝶定理的變形.“蝴蝶定理”是古代歐氏平面幾何中最精彩的結果之一,由圖形像一只蝴蝶而因此得名.這個定理的證法不勝枚舉，至今仍然被數學愛好者研究，在考試中有各種變形.通過投影變換，我們可以將蝴蝶定理推廣到圓錐曲線中.如果教師在教學中能多挖掘這類相似圖形的問題，那么學生學習的興趣也將被激發，學習的主動性也會進一步提升.興趣是學好一門課最重要的保障，只要能保持良好的學習主動性和積極性，那么學好解析幾何甚至學好數學都將變得并不是那么難.

2 教學過程中的注意點

教師在講解問題時所想到的“思路”“技巧”，常常是事先做好了充分準備的.所以課堂上教師都能把問題講得清清楚楚、明明白白，思路的探究過程似乎每一步都是非常地順暢.學生上完課后似乎對該類問題理解得很透徹，但當他自己獨立面對問題，需要自主選擇解題思路時，卻并非如此順暢.那么在實際教學過程中教師又應關注哪些方面呢？

2.1 教學過程中體現“慢”的藝術

解析幾何學習過程中學生抱怨的“難、煩”，其中一個重要因素就是教師講授太快，學生得不到充分時間進行消化，思路的選擇均是被告知的，不利于學生自己尋找問題突破口.解題思路是建立在對問題理解的基礎上，而理解數學問題并非是被告知的，只有學生對問題真正領悟透徹了，數學思想方法才能植入學生的思維.

現階段的數學教學中，教師往往是將數學解題方法、數學思想強行地告知學生，更多時候是針對某類問題總結了多種方法，讓學生記憶，機械地套用.這樣的教學缺少了學生參與的環節，忽視了教學的主體是學生.所以數學教學需要改變，讓學生多點參與，少點被告知的結論，思想方法要多讓學生自己感悟.例如，離心率問題是圓錐曲線中重要的一個量，它主要反映了橢圓“扁平”程度、雙曲線的“張口”大小.研究圓錐曲線的離心率問題往往涉及圓錐曲線的定義、幾何性質、位置關系，同時解決方案中也會夾雜函數、三角、向量以及不等式等知識，這就對學生的綜合應用能力和探究優化解題方案提出了很高的要求.而這些能力的提高一定是在思考感悟過程中緩慢形成的.

2.2 教學過程起點要低，落點要高

“起點低”就是要充分考慮到學生現有的水平及認知能力，把學生實際情況作為出發點，將需要學生掌握的知識點呈現給學生，讓他們能輕松地掌握這些內容，同時也讓其有繼續向下學習的信心和動力.不能以難題代替知識的掌握和鞏固，這些難題會一次次打擊學生學習的積極性，且讓他們在心理上對所要學習的內容產生恐懼.長此以往還會讓其產生厭學情緒，導致解析幾何變成了“老大難”問題，甚至對數學學習也缺乏自信心.

“高落點”是在解決好上述基本概念的基礎上，要讓學生敢于探索有難度的問題.教師通過變式、探究式的教學幫助學生打開思路，引導學生思考、發現問題的規律和本質，多角度地嘗試研究問題，優化解題思路，總結感悟解題思路.讓學生的課堂學習多點收獲，進而讓他們學得更有信心，素養能力的培養和提升也就水到渠成了.

2.3 教學方式多變,順應高考步伐

數學教學的最終目標還是要指向高考的，課堂的落腳點一定要有“高度和深度”.當然落腳點雖高，也要讓學生知道，無論多么高深的高考題，它的來源始終是教材(源于教材又高于教材).

現階段高三的課堂教學普遍利用的是例題式、變題式教學，這也是為了順應當下高考.但是隨著新課改、新高考的推進，高三教學也應該向培養學科核心素養的方向積極轉變.變題教學要重視變式的探究性，過程中要突出對問題本質的理解，才有利于學生知識的遷移能力和學科素養能力的提升.

這樣的意識獲得需要教師在平日教學中多多放手，將課堂還給學生.畢竟學生平時不思考，當其獨自面對問題時，就算給了時間讓他們思考，學生也不知從何入手，只能像只“無頭蒼蠅到處亂撞”，就算偶爾找到了解題方法，也只能是“瞎貓碰到死耗子”，并非必然，學生實際的解題能力、思維能力并不會有所提高.

2.4 讓學生學會思考，探尋思路

高三復習的過程中，常會有一類題型，學生多數時候找不到解決問題的著眼點，會受到一些無關信息迷惑，或者無法察覺所求問題與熟悉問題間的聯系.解決此類問題的教學方式，就是通過變式訓練，讓學生體會復雜問題與基本問題的聯系和區別，引導學生獨立探求解決問題的思路.

學生感覺解析幾何問題比較難尋求思路，是因為多數時候學生只會模仿教師的解題過程.教師為了多講些習題而一味地給學生灌輸，沒有讓學生獨立探尋思路形成的過程.而這樣的學習只會讓學生的問題越來越多，到最后只能放棄思考，變得越來越不會學習了.

教師應該多點耐心，多給學生思考的空間，鼓勵學生一步一步地思考，即使該思路是錯誤的，也應該幫助學生了解錯誤的緣由.這樣才能逐步讓學生的思維空間得以擴張，學習能力得以發展.

3 結語

以上這些是對解析幾何教學的思考，我們還可將其推廣到整個高中階段的數學教學中.好的教學方式可以起到以點帶面、舉一反三的效果，同時通過這樣的數學學習，也能促進學生的思維，提高其學習的積極性和主動性，讓其在潛意識中不再害怕數學.在此過程中慢慢引導學生主動探究，長此以往，學生的數學核心素養自然就在潛移默化中得到了提升.這不失為一種有效且高效的數學教學.

課堂上教師不僅要關注數學知識的基礎性，還應通過不同的教學形式拓展學生思維，關注思維的創新性，將學生引到獨立探索之路上.課堂教學始終要聚焦在提升學生的核心素養上，立足基礎，但是又不拘泥于基礎，要提高最終教學的落腳點，充分挖掘數學中蘊含的育人素材，在提升學生思維能力的同時，也不斷提升我們自身的教學品味.